Внутренний набор - Internal set

В математическая логика, в частности в теория моделей и нестандартный анализ, внутренний набор - это набор, который является членом модели.

Концепция внутренних наборов - это инструмент для формулирования принцип передачи, который касается логической связи между свойствами действительных чисел R и свойствами большего поля, обозначенного * R, называемого гиперреальные числа. Поле * R включает, в частности, бесконечно малые («бесконечно малые») числа, что дает строгое математическое обоснование их использования. Грубо говоря, идея состоит в том, чтобы выразить анализ над R на подходящем языке математической логики, а затем указать, что этот язык одинаково хорошо применим к * R. Это оказывается возможным, потому что на теоретико-множественном уровне предложения на таком языке интерпретируются как применимые только к внутренние наборы а не для всех наборов (обратите внимание, что термин «язык» используется в более широком смысле выше).

Эдвард Нельсон теория внутренних множеств является аксиоматическим подходом к нестандартному анализу (см. также Палмгрен в конструктивный нестандартный анализ ). Обычные инфинитарные счета нестандартного анализа также используют концепцию внутренних множеств.

Внутренние гарнитуры в сверхмощной конструкции

Относительно сверхмощный строительство гиперреальные числа как классы эквивалентности последовательностей ${\displaystyle \langle u_{n}\rangle }$, внутреннее подмножество [А_п] из * R определяется последовательностью вещественных множеств ${\displaystyle \langle A_{n}\rangle }$, где гиперреальный ${\displaystyle [u_{n}]}$ говорят, что принадлежит множеству ${\displaystyle [A_{n}]\subset \;^{*}\!{\mathbb {R} }}$ тогда и только тогда, когда набор индексов n такой, что ${\displaystyle u_{n}\in A_{n}}$, является членом ультрафильтр используется при построении * R.

В более общем смысле, внутренняя сущность является частью естественного расширения реальной сущности. Таким образом, каждый элемент * R является внутренним; подмножество * R является внутренним тогда и только тогда, когда оно является членом естественного расширения ${\displaystyle {}^{*}{\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$ силовой установки ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$ R; и Т. Д.

Внутренние подмножества реалов

Каждое внутреннее подмножество ${\displaystyle \mathbb {R} }$ обязательно конечный, (например, не имеет бесконечных элементов, но может иметь бесконечно много элементов; см. теорему 3.9.1 Goldblatt, 1998). Другими словами, каждое внутреннее бесконечное подмножество гиперреалов обязательно содержит нестандартные элементы.

Смотрите также

• Стандартная функция детали
• Надстройка (математика)

Рекомендации

• Голдблатт, Роберт. Лекции по гиперреалы. Введение в нестандартный анализ. Тексты для выпускников по математике, 188. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1998.
• Авраам Робинсон (1996), Нестандартный анализ, Достопримечательности Принстона в области математики и физики, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-04490-3