Cours dAnalyse - Cours dAnalyse - Wikipedia

Титульная страница

Cours d'Analyse de l’École Royale Polytechnique; I.re Partie. Анализируйте algébrique является оригинальным учебником в исчисление бесконечно малых опубликовано Огюстен-Луи Коши в 1821 г. В статье следует перевод описания ее содержания Брэдли и Сандифер.

Вступление

На странице 1 Введения Коши пишет: «Говоря о непрерывность из функции, Я не мог обойтись без рассмотрения основных свойств бесконечно маленький количества, свойства, которые служат основой исчисления бесконечно малых ». Переводчики комментируют в сноске:« Интересно, что Коши также не упоминает пределы здесь."

Коши продолжает: «Что касается методов, я стремился дать им все строгость который требует от геометрия, так что никогда не нужно полагаться на аргументы, взятые из общность алгебры."

Предварительные мероприятия

На странице 6 Коши сначала обсуждает переменные величины, а затем вводит понятие предела в следующих терминах: «Когда значения, последовательно приписываемые определенной переменной, бесконечно приближаются к фиксированному значению таким образом, что в конечном итоге они отличаются от него как минимум на малую величину. как мы желаем, это фиксированное значение называется предел всех остальных ценностей ".

На странице 7 Коши определяет бесконечно малый следующим образом: «Когда последовательные числовые значения такой переменной бесконечно уменьшаются таким образом, чтобы упасть ниже любого заданного числа, эта переменная становится тем, что мы называем бесконечно малый, или бесконечно малое количествоКоши добавляет: «Предел такого рода переменной равен нулю».

На странице 10 Брэдли и Сандифер путают разбирающийся косинус с покрытый синус. Коши первоначально определил синус против (Версина ) как siv (θ) = 1 - cos (θ) и косинус против (то, что сейчас также известно как Coverine ) как cosiv (θ) = 1 - грех (θ). Однако в переводе косинус против (и cosiv) неправильно связаны с разбирающийся косинус (то, что сейчас также известно как веркозин ), а не покрытый синус.

Обозначение

Lim

вводится на странице 12. Переводчики отмечают в сноске: «Обозначение« Лим ». для лимита был впервые использован Симон Антуан Жан Л'Юилье (1750–1840) в [L’Huilier 1787, p. 31]. Коши написал это как «lim». в [Cauchy 1821, p. 13]. Период исчез к [Cauchy 1897, p. 26] ».

Глава 2

Эта глава имеет длинное название «О бесконечно малых и бесконечно больших величинах и о непрерывности функций. Сингулярные значения функций в различных частных случаях». На странице 21 Коши пишет: «Мы говорим, что переменная величина становится бесконечно маленький когда ее числовое значение бесконечно уменьшается таким образом, чтобы сходиться к пределу нуля ". На той же странице мы находим единственный явный пример такой переменной, который можно найти у Коши, а именно

${\displaystyle {\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{6}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{7}},\ldots }$

На странице 22 Коши начинает обсуждение порядков бесконечно малых величин следующим образом: «Пусть ${\displaystyle \alpha }$ - бесконечно малая величина, то есть переменная, числовое значение которой бесконечно убывает. Когда различные целое число полномочия ${\displaystyle \alpha }$, а именно

${\displaystyle \alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\ldots }$

входят в тот же расчет, эти различные мощности называются, соответственно, бесконечно малыми первый, то второй, то третий порядоки т. д. Коши отмечает, что «общий вид бесконечно малых величин порядка п (куда п представляет собой целое число) будет

${\displaystyle k\alpha ^{n}\quad {}}$ или по крайней мере ${\displaystyle {}\quad k\alpha ^{n}(1\pm \varepsilon )}$.

На страницах 23-25 ​​Коши представляет восемь теорем о свойствах бесконечно малых различных порядков.

Раздел 2.2

Этот раздел озаглавлен «Непрерывность функций». Коши пишет: «Если, начиная со значения Икс содержащиеся между этими пределами, мы добавляем к переменной Икс бесконечно малое приращение ${\displaystyle \alpha }$, сама функция увеличивается на разность

${\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)}$"

и заявляет, что

"функция ж(Икс) является непрерывной функцией Икс между заданными пределами, если для каждого значения Икс между этими пределами численное значение разницы ${\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)}$ неограниченно убывает с числовым значением ${\displaystyle \alpha }$."

Коши далее дает определение непрерывности, выделенное курсивом, в следующих терминах:

"функция f(Икс) является непрерывным по x между заданными пределами, если между этими пределами бесконечно малое приращение переменной всегда приводит к бесконечно малому приращению самой функции."

На странице 32 Коши утверждает теорема о промежуточном значении.

Теорема о сумме

В теореме I в разделе 6.1 (стр. 90 в переводе Брэдли и Сандифера) Коши представляет теорему о суммах в следующих терминах.

Когда различные члены ряда (1) являются функциями одной и той же переменной x, непрерывными по отношению к этой переменной в район конкретного значения, для которого ряд сходится, сумма s ряда также является непрерывной функцией x в окрестности этого конкретного значения.

Здесь серия (1) появляется на странице 86: (1) ${\displaystyle u_{0},u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n},u_{n+1},\ldots }$

Библиография

• Коши, Огюстен-Луи (1821). «Анализируйте Альгебрик». Cours d'Analyse de l'Ecole Royale политехническая. 1. L'Imprimerie Royale, Debure frères, Libraires du Roi et de la Bibliothèque du Roi. Получено 2015-11-07. * Бесплатная версия в archive.org
• Брэдли, Роберт Э .; Сандифер, К. Эдвард (14 января 2010 г.) [2009]. Бухвальд, Дж. (ред.). Курс анализа Коши: аннотированный перевод. Источники и исследования по истории математики и физических наук. Коши, Огюстен-Луи. Springer Science + Business Media, LLC. С. 10, 285. Дои:10.1007/978-1-4419-0549-9. ISBN  978-1-4419-0548-2. LCCN  2009932254. 1441905499, 978-1-4419-0549-9. Получено 2015-11-09.
• Грабинер, Джудит В. (1981). Истоки строгого исчисления Коши. Кембридж: MIT Press. ISBN  0-387-90527-8.