Стандартная функция детали - Standard part function

В нестандартный анализ, то стандартная функция детали является функцией от ограниченного (конечного) гиперреальные числа к действительным числам. Вкратце, стандартная функция части «округляет» конечное гиперреальное число до ближайшего действительного. Он ассоциируется с каждым таким гиперреальным ${\displaystyle x}$, уникальный настоящий ${\displaystyle x_{0}}$ бесконечно близко к нему, т.е. ${\displaystyle x-x_{0}}$ является бесконечно малый. Таким образом, это математическая реализация исторической концепции адекватность представлен Пьер де Ферма,^[1] а также Лейбниц с Трансцендентальный закон однородности.

Стандартная функция детали была впервые определена Авраам Робинсон кто использовал обозначения ${\displaystyle {}^{\circ }x}$ для стандартной части гиперреального ${\displaystyle x}$ (см. Робинсон 1974). Эта концепция играет ключевую роль в определении таких понятий исчисления, как непрерывность, производная и интеграл, в нестандартный анализ. Последняя теория представляет собой строгую формализацию расчетов с бесконечно малые. Стандартная часть Икс иногда называют его тень.

Определение

Стандартная функция части «округляет» конечное гиперреальное число до ближайшего действительного числа. «Микроскоп бесконечно малых» используется для просмотра бесконечно малых окрестностей стандартного действительного объекта.

Нестандартный анализ касается в первую очередь пары ${\displaystyle \mathbb {R} \subset {}^{\ast }\mathbb {R} }$, где гиперреалы ${\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {R} }$ являются упорядоченное поле расширение реалов ${\displaystyle \mathbb {R} }$, и содержат бесконечно малые числа в дополнение к действительным числам. В гиперреальной строке каждое действительное число содержит набор чисел (называемый монада, или гало) бесконечно близких к нему гиперреалов. Стандартная функция детали ассоциируется с конечный гиперреальный Икс, уникальное стандартное действительное число Икс₀ что бесконечно близко к нему. Отношения символически выражаются написанием

${\displaystyle \,\mathrm {st} (x)=x_{0}.}$

Стандартная часть любого бесконечно малый равно 0. Таким образом, если N бесконечный сверхъестественный, то 1 /N бесконечно малая, а st (1 /N) = 0.

Если гиперреальный ${\displaystyle u}$ представлена ​​последовательностью Коши ${\displaystyle \langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle }$ в сверхмощный строительство, то

${\displaystyle {\text{st}}(u)=\lim _{n\to \infty }u_{n}.}$

В более общем смысле каждый конечный ${\displaystyle u\in {}^{\ast }\mathbb {R} }$ определяет Дедекинда вырезать на подмножестве ${\displaystyle \mathbb {R} \subset {}^{\ast }\mathbb {R} }$ (через общий заказ на ${\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {R} }$) и соответствующее действительное число является стандартной частью ты.

Не внутренний

Стандартная функция детали "st" не определяется внутренний набор. Есть несколько способов объяснить это. Возможно, самым простым является то, что его область L, представляющая собой набор ограниченных (то есть конечных) гиперреалов, не является внутренним множеством. А именно, поскольку L ограничен (например, любым бесконечным сверхъестественным), L должен был бы иметь наименьшую верхнюю границу, если бы L был внутренним, но L не имеет наименьшей верхней границы. В качестве альтернативы диапазон «st» равен ${\displaystyle \mathbb {R} \subset {}^{*}\mathbb {R} }$ который не является внутренним; на самом деле каждый внутренний набор в ${\displaystyle {}^{\ast }\mathbb {R} }$ который является подмножеством ${\displaystyle \mathbb {R} }$ обязательно конечныйсм. (Goldblatt, 1998).

Приложения

Все традиционные понятия исчисления выражаются в терминах стандартной функции части следующим образом.

Производная

Стандартная функция части используется для определения производной функции. ж. Если ж - реальная функция, и час бесконечно малая, а если ж′(Икс) существует, то

${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right).}$

В качестве альтернативы, если ${\displaystyle y=f(x)}$, берется бесконечно малое приращение ${\displaystyle \Delta x}$, и вычисляет соответствующий ${\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)}$. Один образует соотношение ${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$. Затем производная определяется как стандартная часть отношения:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\mathrm {st} \left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)}$.

интеграл

Учитывая функцию ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle [a,b]}$, определяется интеграл ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}$ как стандартная часть бесконечной суммы Римана ${\displaystyle S(f,a,b,\Delta x)}$ когда ценность ${\displaystyle \Delta x}$ считается бесконечно малым, используя гиперконечный разбиение интервала [a, b].

Предел

Учитывая последовательность ${\displaystyle (u_{n})}$, его предел определяется ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }u_{n}={\text{st}}(u_{H})}$ где ${\displaystyle H\in {}^{\ast }\mathbb {N} \setminus \mathbb {N} }$ - бесконечный индекс. Здесь говорят, что предел существует, если стандартная часть одинакова, независимо от выбранного бесконечного индекса.

Непрерывность

Настоящая функция ${\displaystyle f}$ непрерывно в реальной точке ${\displaystyle x}$ тогда и только тогда, когда композиция ${\displaystyle {\text{st}}\circ f}$ является постоянный на гало из ${\displaystyle x}$. Увидеть микропрерывность Больше подробностей.

Смотрите также

• Адекватность
• Нестандартное исчисление

Заметки

1. Карин Усади Кац и Михаил Г. Кац (2011) Берджесская критика номиналистических тенденций в современной математике и ее историографии. Основы науки. Дои:10.1007 / s10699-011-9223-1 [1] Увидеть arxiv. Авторы ссылаются на стандартную часть Ферма-Робинсона.

использованная литература

• Х. Джером Кейслер. Элементарное исчисление: бесконечно малый подход. Первое издание 1976 г .; 2-е издание 1986 г. (Эта книга сейчас больше не издается. Издатель вернул авторские права автору, который предоставил 2-е издание в формате .pdf, доступное для скачивания по адресу http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html.)
• Голдблатт, Роберт. Лекции по гиперреалы. Введение в нестандартный анализ. Тексты для выпускников по математике, 188. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1998.
• Авраам Робинсон. Нестандартный анализ. Репринт второго (1974 г.) издания. С предисловием Вильгельм А. Дж. Люксембург. Достопримечательности Принстона в математике. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1996. xx + 293 pp. ISBN  0-691-04490-2