Двойной номер - Dual number

О двойном грамматическом числе в некоторых языках см. Dual (грамматическое число).

В линейная алгебра, то двойные числа продлить действительные числа присоединяя один новый элемент ε (эпсилон) со свойством ε² = 0 (ε является нильпотентный ). Таким образом, умножение двойственных чисел дается выражением

${\displaystyle (a+b\varepsilon )(c+d\varepsilon )=ac+(ad+bc)\varepsilon }$

(а добавление производится покомпонентно).

Набор двойных чисел образует особую двумернуюразмерный коммутативный единый ассоциативная алгебра над реальными числами. Каждое двойное число имеет вид z = а + bε где а и б однозначно определенные действительные числа. Двойные числа также можно рассматривать как внешняя алгебра одномерного векторного пространства; общий случай п размеры приводят к Числа Грассмана.

В алгебра двойных чисел - это кольцо это местное кольцо так как главный идеал Сгенерированно с помощью ε это единственный максимальный идеал. Двойные числа образуют коэффициенты из двойные кватернионы.

Словно сложные числа и разделенные комплексные числа двойственные числа образуют алгебра которая является двумерной над полем действительных чисел.

История

Двойные числа были введены в 1873 г. Уильям Клиффорд, и использовались в начале двадцатого века немецким математиком Эдуард Этюд, который использовал их для представления двойного угла, который измеряет относительное положение двух наклонных линий в пространстве. Исследование определило двойной угол как ϑ + dε, где ϑ угол между направлениями двух линий в трехмерном пространстве и d расстояние между ними. В п-мерное обобщение, Число Грассмана, был представлен Герман Грассманн в конце 19 века.

Линейное представление

С помощью матрицы, двойные числа могут быть представлены как

${\displaystyle \varepsilon ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad a+b\varepsilon ={\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}.}$

Альтернативное представление, обозначенное как ${\textstyle {\hat {\varepsilon }}_{-}}$^[1] (с первым, отмеченным также как ${\textstyle {\hat {\varepsilon }}_{+}}$):

${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{-}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}={\hat {\varepsilon }}_{+}^{\operatorname {T} }\quad {\text{and}}\quad a+b{\hat {\varepsilon }}_{-}={\begin{pmatrix}a&0\\b&a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}^{\operatorname {T} }.}$

Затем сумма и произведение двойных чисел вычисляются с помощью обычного матрица сложения и матричное умножение; обе операции коммутативны и ассоциативны в алгебре двойственных чисел.

Это соответствие аналогично обычному матричное представление комплексных чисел.Однако это не единственное представление с 2 × 2 вещественные матрицы, как показано на профиль вещественных матриц 2 × 2.

Геометрия

«Единичный круг» двойных чисел состоит из чисел с а = ±1 поскольку они удовлетворяют zz* = 1 где z* = а − bε. Однако обратите внимание, что

${\displaystyle e^{b\varepsilon }=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(b\varepsilon \right)^{n}}{n!}}\right)=1+b\varepsilon ,}$

так что экспоненциальная карта применяется к ε- ось покрывает только половину «круга».

Позволять z = а + bε. Если а ≠ 0 и м = б/а, тогда z = а(1 + mε) это полярное разложение двойного числа z, а наклон м это его угловая часть. Концепция вращение в плоскости двойственных чисел эквивалентен вертикали картирование сдвига поскольку (1 + pε)(1 + qε) = 1 + (п + q)ε.

В абсолютное пространство и время то Преобразование Галилея

${\displaystyle \left(t',x'\right)=(t,x){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\,,}$

это

${\displaystyle t'=t,\quad x'=vt+x,}$

связывает систему координат покоя с движущейся системой отсчета скорость v. С двойными числами т + xε представляющий События вдоль одного измерения пространства и времени то же преобразование производится с умножением на 1 + vε.

Циклы

Учитывая два двойных числа п и q, они определяют набор z такая, что разница в наклонах («угол Галилея») между линиями от z к п и q постоянно. Этот набор представляет собой цикл в двузначной плоскости; поскольку уравнение, устанавливающее постоянную разницу в наклонах линий, является квадратное уровненеие в реальной части z, цикл - это парабола. «Циклическое вращение» двойной числовой плоскости происходит как движение его проективная линия. Согласно с Исаак Яглом,^[2]:92–93 цикл Z = {z : у = αx²} инвариантна относительно композиции сдвига

${\displaystyle x_{1}=x,\quad y_{1}=vx+y}$

с перевод

${\displaystyle x'=x_{1}={\frac {v}{2a}},\quad y'=y_{1}+{\frac {v^{2}}{4a}}.}$

Эта композиция представляет собой циклическое вращение; концепция получила дальнейшее развитие в Kisil.^[3]

Алгебраические свойства

В абстрактная алгебра термины, двойные числа можно описать как частное из кольцо многочленов ℝ [Икс] посредством идеальный генерируется многочлен Икс²,

${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\left(X^{2}\right).}$

Образ Икс в частном ε. Из этого описания ясно, что двойственные числа образуют коммутативное кольцо с участием характеристика 0. Унаследованное умножение придает двойственным числам структуру коммутатора и ассоциативная алгебра над реалами второго измерения. Алгебра не а алгебра с делением или поле поскольку элементы формы 0 + bε не обратимы. Все элементы этой формы делители нуля (также см. раздел "Деление "). Алгебра двойственных чисел изоморфна внешняя алгебра из ℝ¹.

Обобщение

Такую конструкцию можно провести и в более общем плане: для коммутативное кольцо р можно определить двойственные числа над р как частное из кольцо многочленов р[Икс] посредством идеальный (Икс²): изображение Икс тогда имеет квадрат равный нулю и соответствует элементу ε сверху.

Двойственные числа над произвольным кольцом

Это кольцо и его обобщения играют важную роль в алгебраической теории производные и Дифференциалы Kähler (чисто алгебраический дифференциальные формы ). А именно, касательное расслоение схемы над аффинной базой р можно отождествить с точками Икс(р[ε]). Например, рассмотрим аффинную схему

${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (S)=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(xy)}}\right)\in ({\operatorname {Sch} }/\mathbb {C} )_{\text{Zar}}}$

Напомним, что карты Spec (ℂ [ε]) → Икс эквивалентны картам S → ℂ [ε]. Затем каждая карта φ можно определить как отправку генераторов

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (x)&=x_{0}+x_{1}\varepsilon \\\varphi (y)&=y_{0}+y_{1}\varepsilon \end{aligned}}}$

где отношение

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (xy)&=\varphi (x)\varphi (y)\\&=(x_{0}+x_{1}\varepsilon )(y_{0}+y_{1}\varepsilon )\\&=x_{0}y_{0}+(x_{0}y_{1}+x_{1}y_{0})\varepsilon \\&=0\end{aligned}}}$

держит. Это дает нам представление о TX так как

${\displaystyle TX={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},y_{0},x_{1},y_{1}]}{(x_{0}y_{0},x_{0}y_{1}+x_{1}y_{0})}}\right)}$

Явные касательные векторы

Например, касательный вектор в точке ${\displaystyle (x,y)\in X}$ можно найти, ограничив

${\displaystyle TX|_{(x,y)}={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},y_{0},x_{1},y_{1}]}{(x_{0}y_{0},x_{0}y_{1}+x_{1}y_{0},x_{0}-x,y_{0}-y)}}\right)}$

и взяв точку в волокне. Например, над началом координат ${\displaystyle (0,0)}$, это дается схемой

${\displaystyle {\begin{aligned}TX|_{(0,0)}&\cong {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},y_{0},x_{1},y_{1}]}{(x_{0}y_{0},x_{0}y_{1}+x_{1}y_{0},x_{0},y_{0})}}\right)\\&\cong {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{1},y_{1}]}{(0\cdot y_{1}+x_{1}\cdot 0)}}\right)\\&\cong {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x_{1},y_{1}])\end{aligned}}}$

и касательный вектор ${\displaystyle x:{\text{Spec}}(\mathbb {C} [\varepsilon ])\to X}$ задается морфизмом колец ${\displaystyle x^{*}}$ отправка

${\displaystyle {\begin{aligned}x&\mapsto 0+\varepsilon x_{1}\\y&\mapsto 0+\varepsilon y_{1}\end{aligned}}}$

В точке ${\displaystyle (a,0)}$ касательное пространство

${\displaystyle {\begin{aligned}TX|_{(a,0)}&\cong {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{0},y_{0},x_{1},y_{1}]}{(x_{0}y_{0},x_{0}y_{1}+x_{1}y_{0},x_{0}-a,y_{0})}}\right)\\&\cong {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x_{1},y_{1}]}{(a\cdot y_{1})}}\right)\\&\cong {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x_{1}])\end{aligned}}}$

следовательно, касательный вектор ${\displaystyle x:{\text{Spec}}(\mathbb {C} [\varepsilon ])\to X}$ задается морфизмом колец ${\displaystyle x^{*}}$ отправка

${\displaystyle {\begin{aligned}x&\mapsto a+\varepsilon x_{1}\\y&\mapsto 0\end{aligned}}}$

чего и следовало ожидать. Обратите внимание, что это дает только один свободный параметр, по сравнению с последним вычислением, показывая, что касательное пространство имеет только размерность один, как и ожидалось, поскольку это гладкая точка размерности один.

Над любым кольцом р, двойное число а + bε это единица измерения (т.е. мультипликативно обратимый) тогда и только тогда, когда а единица в р. В этом случае обратное а + bε является а⁻¹ − ба⁻²ε. Как следствие, мы видим, что двойственные числа над любыми поле (или любой коммутативный местное кольцо ) образуют локальное кольцо с максимальным идеалом главный идеал Сгенерированно с помощьюε.

Более узкое обобщение - введение п антикоммутирующие генераторы; эти Числа Грассмана или сверхчисла, обсуждается ниже.

Двойные числа с произвольными коэффициентами

Существует более общая конструкция двойственных чисел с более общими бесконечно малыми коэффициентами. Учитывая кольцо ${\displaystyle R}$ и модуль ${\displaystyle I}$, есть кольцо ${\displaystyle R[I]}$ называется кольцом двойственных чисел, которое имеет следующие структуры:

1. Он имеет основную ${\displaystyle R}$-модуль ${\displaystyle R\oplus I}$
2. Структура алгебры задается умножением колец ${\displaystyle (r,i)\cdot (r',i')=(rr',ri'+r'i)}$ для ${\displaystyle r,r'\in R}$ и ${\displaystyle i,i'\in I}$

Это обобщило предыдущую конструкцию, где ${\displaystyle I=R}$ дает кольцо ${\displaystyle R[R]}$ который имеет ту же структуру умножения, что и ${\displaystyle R[\varepsilon ]}$ поскольку любой элемент ${\displaystyle f+\varepsilon g}$ это просто сумма двух элементов в ${\displaystyle R}$, но второй индексируется в другой позиции.

Двойное количество шкивов

Если у нас есть топологическое пространство ${\displaystyle X}$ со связкой колец ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ и пачка ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-модули ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$, есть связка колец ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}[{\mathcal {I}}]}$ чьи разделы над открытым набором ${\displaystyle U\subset X}$ находятся ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)[{\mathcal {I}}(U)]}$. Это очевидным образом обобщается на окольцованных топоев в Теория топоса.

Двойные числа на схеме

Схема - частный пример окольцованного пространства. ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$. Эту же конструкцию можно использовать для построения схемы ${\displaystyle X[{\mathcal {I}}]}$ базовое топологическое пространство которого задается формулой ${\displaystyle X}$ но чей пучок колец ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}[{\mathcal {I}}]}$.

Суперпространство

Двойные числа находят применение в физика, где они представляют собой один из простейших нетривиальных примеров суперпространство. Эквивалентно, они сверхчисла всего с одним генератором; сверхчисла обобщают концепцию на п отдельные генераторы ε, каждый антикоммутирующий, возможно, п до бесконечности. Суперпространство слегка обобщает сверхчисла, допуская несколько коммутирующих измерений.

Мотивация введения двойственных чисел в физику следует из Принцип исключения Паули для фермионов. Направление по ε называется «фермионным» направлением, а реальная составляющая - «бозонным» направлением. Фермионное направление получило свое название от того факта, что фермионы подчиняться принципу исключения Паули: при обмене координатами квантово-механическая волновая функция меняет знак и, таким образом, обращается в нуль, если две координаты сближаются; эта физическая идея фиксируется алгебраическим соотношениемε² = 0.

Дифференциация

Одно применение двойных чисел автоматическая дифференциация. Рассмотрим действительные двойные числа выше. Для любого действительного полинома п(Икс) = п₀ + п₁Икс + п₂Икс² + ... + п_пИкс^п, легко расширить область определения этого многочлена с вещественных до двойственных чисел. Тогда у нас есть такой результат:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(a+b\varepsilon )={}&p_{0}+p_{1}(a+b\varepsilon )+\cdots +p_{n}(a+b\varepsilon )^{n}\\[5pt]={}&p_{0}+p_{1}a+p_{2}a^{2}+\cdots +p_{n}a^{n}+p_{1}b\varepsilon +2p_{2}ab\varepsilon +\cdots +np_{n}a^{n-1}b\varepsilon \\[5pt]={}&P(a)+bP^{\prime }(a)\varepsilon ,\end{aligned}}}$

где п′ является производной от п.^[4]

Вычисляя двойные числа, а не действительные числа, мы можем использовать это для вычисления производных многочленов.

В более общем смысле, мы можем расширить любую (аналитическую) действительную функцию на двойственные числа, посмотрев на ее Серия Тейлор:

${\displaystyle f(a+b\varepsilon )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)b^{n}\varepsilon ^{n}}{n!}}=f(a)+bf'(a)\varepsilon ,}$

так как все условия привлечения ε² или больше тривиально равны 0 по определению ε.

Вычисляя композиции этих функций по двойственным числам и исследуя коэффициент при ε в результате мы обнаруживаем, что автоматически вычислили производную композиции.

Аналогичный метод работает для многочленов от п переменных, используя внешнюю алгебру п-мерное векторное пространство.

Деление

Деление двойных чисел определяется, когда действительная часть знаменателя отлична от нуля. Процесс деления аналогичен сложное деление в том, что знаменатель умножается на его сопряжение, чтобы исключить нереальные части.

Следовательно, разделив уравнение вида

${\displaystyle {\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}}$

умножаем верх и низ на сопряжение знаменателя:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}&={\frac {(a+b\varepsilon )(c-d\varepsilon )}{(c+d\varepsilon )(c-d\varepsilon )}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -bd\varepsilon ^{2}}{c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -0}{c^{2}-0}}\\[5pt]&={\frac {ac+\varepsilon (bc-ad)}{c^{2}}}\\[5pt]&={\frac {a}{c}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}}}\varepsilon \end{aligned}}}$

который определяется когда c ненулевой.

Если же, с другой стороны, c равно нулю, а d нет, то уравнение

${\displaystyle {a+b\varepsilon =(x+y\varepsilon )d\varepsilon }={xd\varepsilon +0}}$

1. не имеет решения, если а ненулевой
2. иначе решается любым двойственным числом вида б/d + yε.

Это означает, что нереальная часть «частного» является произвольной, и поэтому деление не определено для чисто нереальных двойственных чисел. Действительно, они (тривиально) делители нуля и четко сформировать идеальный ассоциативного алгебра (и поэтому кольцо ) двойственных чисел.

Проективная линия

Идею проективной прямой над двойственными числами выдвинул Грюнвальд.^[5] и Коррадо Сегре.^[6]

Так же, как Сфера Римана нужен северный полюс точка в бесконечности закрыть сложная проективная линия, так что линия на бесконечности удается закрыть плоскость двойных чисел до цилиндр.^{[2]:149–153}

Предположим D кольцо двойных чисел Икс + yε и U это подмножество с Икс ≠ 0. потом U это группа единиц из D. Позволять B = {(а,б) ∈ D × D : а ∈ U или б ∈ U}. А связь определяется на B следующим образом: (а,б) ~ (c,d) когда есть ты в U такой, что ua = c и уб = d. Это отношение фактически отношение эквивалентности. Точки проективной прямой над D находятся классы эквивалентности в B в этом отношении: п(D) = B/~. Они представлены проективные координаты [а, б].

Рассмотрим встраивание D → п(D) от z → [z, 1]. Тогда очки [1, п], для п² = 0, находятся в п(D) но не являются изображением какой-либо точки под вложением. п(D) отображается на цилиндр от проекция: Проведите цилиндр, касательный к плоскости с двойными числами на прямой {yε : у ∈ ℝ}, ε² = 0. Теперь возьмите противоположную линию на цилиндре за ось карандаш самолетов. Плоскости, пересекающие плоскость с двойными числами и цилиндр, обеспечивают соответствие точек между этими поверхностями. Плоскость, параллельная плоскости двойных чисел, соответствует точкам [1, п], п² = 0 в проективной прямой над двойственными числами.

Приложения в механике

Двойные числа находят применение в механика, особенно для кинематического синтеза. Например, двойные числа позволяют преобразовать уравнения ввода / вывода сферической связи с четырьмя стержнями, которая включает только ротоидальные соединения, в пространственный механизм с четырьмя стержнями (ротоид, ротоид, ротоид, цилиндр). Дуализированные углы состоят из примитивной части, углов и двойной части, имеющей единицы длины.^[7]

Смотрите также

• Гладкий анализ бесконечно малых
• Теория возмущений
• Теория винта
• Двойное комплексное число
• Преобразования Лагерра
• Число Грассмана

использованная литература

1. Dattoli, G .; Licciardi, S .; Pidatella, R.M .; Сабия, Э. (июль 2018 г.). «Гибридные комплексные числа: матричная версия». Успехи в прикладных алгебрах Клиффорда. 28 (3): 58. Дои:10.1007 / s00006-018-0870-у. ISSN  0188-7009.
2. Яглом, И. М. (1979). Простая неевклидова геометрия и ее физическая основа. Springer. ISBN  0-387-90332-1. Г-Н  0520230.
3. Кисиль, В. В. (2007). «Изобретая колесо, параболическое». arXiv:0707.4024 [математика ].
4. Берляндия, Гавард. «Автоматическое дифференцирование» (PDF). Получено 13 мая 2013.
5. Грюнвальд, Йозеф (1906). "Über duale Zahlen und ihre Anwendung in der Geometrie". Monatshefte für Mathematik. 17: 81–136.
6. Сегре, Коррадо (1912). "XL. Le geometrie proiettive nei campi di numeri duali". Опере. Также в Атти делла Реале Accademia della Scienze di Torino 47.
7. Анхелес, Хорхе (1998), Анхелес, Хорхе; Захариев, Евтим (ред.), "Применение двойственной алгебры к кинематическому анализу", Вычислительные методы в механических системах: анализ механизмов, синтез и оптимизация, Серия НАТО ASI, Springer Berlin Heidelberg, стр. 3–32, Дои:10.1007/978-3-662-03729-4_1, ISBN  9783662037294

дальнейшее чтение

• Бенчивенга, Ульдерико (1946). "Sulla rappresentazione geometrya delle algebre doppie dotate di modulo". Atti della Reale Accademia delle Scienze e Belle-Lettere di Napoli. 3. 2 (7). Г-Н  0021123.
• Клиффорд, Уильям Кингдон (1873 г.). «Предварительный набросок би-кватернионов». Труды Лондонского математического общества. 4: 381–395.
• Харкин, Энтони А .; Харкин, Джозеф Б. (2004). «Геометрия обобщенных комплексных чисел» (PDF). Математический журнал. 77 (2): 118–129.
• Миллер, Уильям; Бенинг, Рошель (1968). «Гауссовы, параболические и гиперболические числа». Учитель математики. 61 (4): 377–382.
• Этюд, Эдуард (1903). Geometrie der Dynamen. п. 196. От Историко-математические монографии Корнелла в Корнелл Университет.
• Яглом, Исаак (1968). Комплексные числа в геометрии. Академическая пресса. п.12 –18.
• ""Высшее «касательное пространство». math.stackexchange.com.