Бикомплексный номер - Bicomplex number

"Тессарин" перенаправляется сюда. Для настоящих тессаринов см. Сплит-комплексное число.

В абстрактная алгебра, а бикомплексное число пара (ш, z) из сложные числа построенный Процесс Кэли-Диксона который определяет бикомплексное сопряжение ${displaystyle (w,z)^{*}=(w,-z)}$, и произведение двух бикомплексных чисел как

${displaystyle (u,v)(w,z)=(uw-vz,uz+vw).}$

Тогда бикомплексная норма дан кем-то

${displaystyle (w,z)^{*}(w,z)=(w,-z)(w,z)=(w^{2}+z^{2},0),}$ а квадратичная форма в первом компоненте.

Бикомплексные числа образуют коммутативную алгебра над C второго измерения, которое изоморфный к прямая сумма алгебр C ⊕ C.

Произведение двух бикомплексных чисел дает значение квадратичной формы, которое является произведением отдельных квадратичных форм чисел: проверка этого свойства квадратичной формы произведения относится к Тождество Брахмагупты – Фибоначчи. Это свойство квадратичной формы бикомплексного числа указывает на то, что эти числа образуют композиционная алгебра. Фактически, бикомплексные числа возникают на бинарином уровне конструкции Кэли – Диксона, основанной на ℂ, с формой z².

Общее бикомплексное число можно представить матрицей ${displaystyle {egin{pmatrix}w&iziz&wend{pmatrix}}}$, у которого есть детерминант ${displaystyle w^{2}+z^{2}}$. Таким образом, составляющее свойство квадратичной формы согласуется с составляющим свойством определителя.

Как настоящая алгебра

Умножение Тессарина

×	1	я	j	k
1	1	я	j	k
я	я	−1	k	−j
j	j	k	1	я
k	k	−j	я	−1

Бикомплексные числа образуют алгебру над C размерности два, и поскольку C имеет размерность два больше р, бикомплексные числа являются алгеброй над р четвертого измерения. На самом деле настоящая алгебра старше комплексной; это было помечено тессарины в 1848 году, а комплексная алгебра не была представлена ​​до 1892 года.

А основа для тессариновой 4-алгебры над р указывает z = 1 и z = −я, давая матрицы ${displaystyle k={egin{pmatrix}0&ii&0end{pmatrix}},quad j={egin{pmatrix}0&11&0end{pmatrix}}}$, которые умножаются в соответствии с данной таблицей. Когда единичная матрица отождествляется с 1, то тессарин т = ш + z j .

В качестве коммутативные гиперкомплексные числа, тессариновую алгебру отстаивал Клайд М. Дэвенпорт (1978,^[1] 1991,^[2] 2008^[3]) (обмен j и -k в его таблице умножения). В частности, Дэвенпорт отмечает полезность изоморфного соответствия между бикомплексными числами и прямой суммой пары комплексных плоскостей. Тессарины также применялись в цифровая обработка сигналов.^[4][5][6]

В 2009 году математики доказали фундаментальная теорема тессариновой алгебры: многочлен степени п с коэффициентами тессарина имеет п² корни, считая множественность.^[7]

История

Тема нескольких мнимые единицы был исследован в 1840-х гг. В длинной серии «О кватернионах, или о новой системе воображаемых в алгебре», начиная с 1844 г. Философский журнал, Уильям Роуэн Гамильтон сообщила систему, умножающуюся в соответствии с группа кватернионов. В 1848 г. Томас Киркман сообщил^[8] о его переписке с Артур Кэли об уравнениях на блоки, определяющие систему гиперкомплексных чисел.

Тессаринс

В 1848 г. Джеймс Кокл представил тессарины в серии статей в Философский журнал.^[9]

А тессарин гиперкомплексное число вида

${displaystyle t=w+xi+yj+zk,quad w,x,y,zin mathbb {R} }$

куда ${displaystyle ij=ji=k,quad i^{2}=-1,quad j^{2}=+1.}$Кокл использовал тессарины, чтобы выделить ряд гиперболических косинусов и ряд гиперболических синусов в экспоненциальном ряду. Он также показал, как делители нуля возникают в тессаринах, вдохновляя его использовать термин «невозможное». Тессарины сейчас наиболее известны своей подалгеброй настоящие тессарины ${displaystyle t=w+yj }$, также называемый разделенные комплексные числа, которые выражают параметризацию гипербола единиц.

Бикомплексные числа

В 1892 г. Коррадо Сегре представил^[10] бикомплексные числа в Mathematische Annalen, которые образуют алгебру, изоморфную тессаринам.

Коррадо Сегре читать В. Р. Гамильтон с Лекции по кватернионам (1853) и труды В. К. Клиффорд. Сегре использовал некоторые обозначения Гамильтона для разработки своей системы бикомплексные числа: Позволять час и я - элементы, равные −1 и коммутирующие. Затем, предполагая ассоциативность умножения, произведение Здравствуй должен возводиться в квадрат +1. Алгебра, построенная на основе { 1, час, я, Здравствуй } то же самое, что и тессарины Джеймса Кокла, представленные с использованием другой основы. Сегре отметил, что элементы

${displaystyle g=(1-hi)/2,quad g'=(1+hi)/2}$ находятся идемпотенты.

Когда бикомплексные числа выражаются через базис { 1, час, я, −Здравствуй }, очевидна их эквивалентность тессаринам. Глядя на линейное представление этих изоморфный алгебры показывают согласие в четвертом измерении, когда используется отрицательный знак; рассмотрите приведенный выше образец продукта в линейном представлении.

В Канзасский университет внес свой вклад в развитие бикомплексного анализа. В 1953 г. Диссертация студента Джеймса Д. Райли «Вклад в теорию функций бикомплексной переменной» была опубликована в Математический журнал Тохоку (2-я сер., 5: 132–165). В 1991 г. Г. Бейли Прайс опубликовал книгу^[11] на бикомплексные числа, многокомплексные числа, и их теория функций. Профессор Прайс также рассказывает об истории этого предмета в предисловии к своей книге. Еще одна книга, посвященная бикомлексным числам и их приложениям, написана Катони, Бокалетти, Канната, Ничелатти и Зампетти (2008).^[12]

Фактор-кольца многочленов

Одно сравнение двухкомплексных чисел и тессаринов использует кольцо многочленов р[Икс,Y], куда XY = YX. В идеальный ${displaystyle A=(X^{2}+1, Y^{2}-1)}$ затем предоставляет кольцо частного представляющие тессарины. В этом методе фактор-кольца элементы тессаринов соответствуют смежные классы относительно идеала А. Точно так же идеальный ${displaystyle B=(X^{2}+1, Y^{2}+1)}$ производит частное, представляющее бикомплексные числа.

Обобщение этого подхода использует свободная алгебра р⟨Икс,Y⟩ в двоем не ездящий на работу неопределенный Икс и Y. Рассмотрим эти три второй степени многочлены ${displaystyle X^{2}+1, Y^{2}-1, XY-YX}$. Позволять А быть идеалом, порожденным ими. Тогда фактор-кольцо р⟨Икс,Y⟩/А изоморфна кольцу тессаринов.

Чтобы увидеть это ${displaystyle (XY)^{2}+1in A}$ Обратите внимание, что

${displaystyle XY^{2}X=X(Y^{2}-1)X+(X^{2}+1)-1,}$ так что

${displaystyle XY^{2}X+1=X(Y^{2}-1)X+(X^{2}+1)in A.}$ Но потом

${displaystyle XY(XY-YX)+XY^{2}X+1in A.}$ как требуется.

Теперь рассмотрим альтернативный идеал B создано ${displaystyle X^{2}+1, Y^{2}+1, XY-YX}$.В этом случае можно доказать ${displaystyle (XY)^{2}-1in B}$. В изоморфизм колец р⟨Икс,Y⟩/А ≅ р⟨Икс,Y⟩/B включает в себя изменение основы обмен ${displaystyle Yleftrightarrow XY}$.

В качестве альтернативы предположим, что поле C обыкновенных комплексных чисел считается заданным, и C[Икс] - кольцо многочленов от Икс с комплексными коэффициентами. Тогда частное C[Икс]/(Икс² + 1) это еще одно представление бикомплексных чисел.

Полиномиальные корни

Написать ²C = C ⊕ C и представим его элементы упорядоченными парами (ты,v) комплексных чисел. Поскольку алгебра тессаринов Т изоморфен ²C, то кольца многочленов Т[X] и ²C[Икс] также изоморфны, однако многочлены в последней алгебре расщепляются:

${displaystyle sum _{k=1}^{n}(a_{k},b_{k})(u,v)^{k}quad =quad left({sum _{k=1}^{n}a_{i}u^{k}},quad sum _{k=1}^{n}b_{k}v^{k}ight).}$

Следовательно, когда полиномиальное уравнение ${displaystyle f(u,v)=(0,0)}$ в этой алгебре, она сводится к двум полиномиальным уравнениям на C. Если степень п, то есть п корни для каждого уравнения: ${displaystyle u_{1},u_{2},dots ,u_{n}, v_{1},v_{2},dots ,v_{n}.}$Любая заказанная пара ${displaystyle (u_{i},v_{j})!}$ из этого набора корней будет удовлетворять исходному уравнению в ²C[Икс], так что п² корни.

В силу изоморфизма с Т[Икс], имеется соответствие многочленов и соответствие их корней. Следовательно, многочлены тессарина степени п Также есть п² корни, считая множественность корней.

Рекомендации

1. Давенпорт, Клайд М. (1978). Расширение сложного исчисления до четырех вещественных измерений с применением в специальной теории относительности (Магистерская диссертация). Ноксвилл, Теннесси: Университет Теннесси, Ноксвилл.
2. Давенпорт, Клайд М. (1991). Гиперсложное исчисление с приложениями к специальной теории относительности. Ноксвилл, Теннесси: Университет Теннесси, Ноксвилл. ISBN  0-9623837-0-8.
3. Давенпорт, Клайд М. (2008). "Коммутативная гиперкомплексная математика". Архивировано из оригинал 2 октября 2015 г.
4. Пей, Су-Чанг; Чанг, Джа-Хан; Дин, Цзянь-Цзюн (21 июня 2004 г.). «Коммутативные редуцированные бикватернионы и их преобразование Фурье для обработки сигналов и изображений» (PDF). Транзакции IEEE при обработке сигналов. IEEE. 52 (7): 2012–2031. Дои:10.1109 / TSP.2004.828901. ISSN  1941-0476.
5. Альфсманн, Даниэль (4–8 сентября 2006 г.). На семьи из 2 человек^N размерные гиперкомплексные алгебры, подходящие для цифровой обработки сигналов (PDF). 14-я Европейская конференция по обработке сигналов, Флоренция, Италия: EURASIP.
6. Альфсманн, Даниэль; Геклер, Хайнц Г. (2007). О гиперболических сложных цифровых системах LTI (PDF). ЕВРАЗИП.
7. Poodiack, Роберт Д.; ЛеКлер, Кевин Дж. (Ноябрь 2009 г.). «Основные теоремы алгебры для недоумений». Математический журнал колледжа. MAA. 40 (5): 322–335. Дои:10.4169 / 074683409X475643. JSTOR  25653773.
8. Томас Киркман (1848) "О плюкватернионах и гомоидных продуктах п Квадраты », Лондонский и Эдинбургский философский журнал 1848, стр 447 Ссылка на книги Google
9. Джеймс Кокл в Лондоне-Дублин-Эдинбурге Философский журнал, серия 3
   • 1848 О некоторых функциях, подобных кватернионам, и о новом воображаемом в алгебре, 33:435–9.
   • 1849 О новом воображаемом в алгебре 34:37–47.
   • 1849 О символах алгебры и теории Тессаринов 34:406–10.
   • 1850 Об истинной амплитуде тессарина 36:290-2.
   • 1850 О невозможных уравнениях, о невозможных количествах и тессаринах 37:281–3.
   Ссылки из Библиотека наследия биоразнообразия.
10. Сегре, Коррадо (1892), "Le rappresentazioni reali delle forme complesse e gli enti iperalgebrici" [Реальное представление сложных элементов и гипералгебраических объектов], Mathematische Annalen, 40: 413–467, Дои:10.1007 / bf01443559. (особенно смотри страницы 455–67)
11. Г. Бейли Прайс (1991) Введение в мультикомплексные пространства и функции, Марсель Деккер ISBN  0-8247-8345-X
12. Ф. Катони, Д. Боккалетти, Р. Канната, В. Катони, Э. Ничелатти, П. Зампетти. (2008) Математика пространства-времени Минковского с введением в коммутативные гиперкомплексные числа, Birkhäuser Verlag, Базель ISBN  978-3-7643-8613-9