Алгебра пространства-времени - Spacetime algebra

В математическая физика, алгебра пространства-времени (STA) - это название Алгебра Клиффорда Cl_1,3(р), или, что то же самое, геометрическая алгебра ГРАММ(M⁴ ). В соответствии с Дэвид Хестенес, алгебра пространства-времени может быть особенно тесно связана с геометрией специальная теория относительности и релятивистский пространство-время.

Это векторное пространство что позволяет не только векторов, но также бивекторы (направленные величины, связанные с конкретными плоскостями, такими как площади или вращения) или лезвия (количества, связанные с определенными гиперобъемами), которые необходимо объединить, а также повернутый, отраженный, или же Лоренц усилен. Это также естественная родительская алгебра спиноры в специальной теории относительности. Эти свойства позволяют выразить многие из наиболее важных уравнений физики в особенно простых формах и могут быть очень полезны для более геометрического понимания их значений.

Структура

Алгебра пространства-времени может быть построена из ортогонального базиса одного времениподобного вектора ${displaystyle gamma _{0}}$ и три пространственноподобных вектора, ${displaystyle {gamma _{1},gamma _{2},gamma _{3}}}$, с правилом умножения

${displaystyle gamma _{mu }gamma _{u }+gamma _{u }gamma _{mu }=2eta _{mu u }}$

куда ${displaystyle eta _{mu u }}$ это Метрика Минковского с подписью (+ − − −).

Таким образом, ${displaystyle gamma _{0}^{2}={+1}}$, ${displaystyle gamma _{1}^{2}=gamma _{2}^{2}=gamma _{3}^{2}={-1}}$, иначе ${displaystyle gamma _{mu }gamma _{u }=-gamma _{u }gamma _{mu }}$.

Базисные векторы ${displaystyle gamma _{k}}$ поделитесь этими свойствами с Матрицы Дирака, но в STA нет необходимости использовать явное матричное представление.

Это создает основу для одного скаляр ${displaystyle {1}}$, четыре векторов ${displaystyle {gamma _{0},gamma _{1},gamma _{2},gamma _{3}}}$, шесть бивекторы ${displaystyle {gamma _{0}gamma _{1},,gamma _{0}gamma _{2},,gamma _{0}gamma _{3},,gamma _{1}gamma _{2},,gamma _{2}gamma _{3},,gamma _{3}gamma _{1}}}$, четыре псевдовекторы ${displaystyle {igamma _{0},igamma _{1},igamma _{2},igamma _{3}}}$ и один псевдоскалярный ${displaystyle {i}}$, куда ${displaystyle i=gamma _{0}gamma _{1}gamma _{2}gamma _{3}}$.

Ответная рамка

Связанный с ортогональным базисом ${displaystyle {gamma _{mu }}}$ это взаимная основа ${displaystyle {gamma ^{mu }={gamma _{mu }}^{-1}}}$ за ${displaystyle mu =0,dots ,3}$, удовлетворяющая соотношению

${displaystyle gamma _{mu }cdot gamma ^{u }={delta _{mu }}^{u }.}$

Эти векторы обратной системы отсчета различаются только знаком, причем ${displaystyle gamma ^{0}=gamma _{0}}$, и ${displaystyle gamma ^{k}=-gamma _{k}}$ за ${displaystyle k=1,dots ,3}$.

Вектор может быть представлен как в верхнем, так и в нижнем индексных координатах. ${displaystyle a=a^{mu }gamma _{mu }=a_{mu }gamma ^{mu }}$ с суммированием по ${displaystyle mu =0,dots ,3}$, согласно Обозначения Эйнштейна, где координаты можно извлечь, взяв скалярные произведения с базисными векторами или их обратными величинами.

${displaystyle {egin{aligned}acdot gamma ^{u }&=a^{u }acdot gamma _{u }&=a_{u }.end{aligned}}}$

Градиент пространства-времени

Градиент пространства-времени, как и градиент в евклидовом пространстве, определяется таким образом, что производная по направлению отношения довольны:

${displaystyle acdot abla F(x)=lim _{ au ightarrow 0}{frac {F(x+a au )-F(x)}{ au }}.}$

Это требует, чтобы определение градиента было

${displaystyle abla =gamma ^{mu }{frac {partial }{partial x^{mu }}}=gamma ^{mu }partial _{mu }.}$

Написано явно с ${displaystyle x=ctgamma _{0}+x^{k}gamma _{k}}$, эти частичные

${displaystyle partial _{0}={frac {1}{c}}{frac {partial }{partial t}},quad partial _{k}={frac {partial }{partial {x^{k}}}}}$

Разделение пространства-времени

Разделение пространства-времени - примеры:

${displaystyle xgamma _{0}=x^{0}+mathbf {x} }$

${displaystyle pgamma _{0}=E+mathbf {p} }$[1]

${displaystyle vgamma _{0}=gamma (1+mathbf {v} )}$[1]

куда ${displaystyle gamma }$ это Фактор Лоренца

${displaystyle abla gamma _{0}=partial _{t}-abla }$[2]

В алгебре пространства-времени a разделение пространства-времени - это проекция из четырехмерного пространства в (3 + 1) -мерное пространство с выбранной системой отсчета с помощью следующих двух операций:

• коллапс выбранной оси времени с образованием трехмерного пространства, охваченного бивекторами, и
• проекция четырехмерного пространства на выбранную временную ось, что дает одномерное пространство скаляров.^[3]

Это достигается пре- или пост-умножением на времениподобный базисный вектор ${displaystyle gamma _{0}}$, который служит для разделения четырехвектора на скалярную времениподобную и бивекторную пространственноподобную компоненты. С ${displaystyle x=x^{mu }gamma _{mu }}$ у нас есть

${displaystyle {egin{aligned}xgamma _{0}&=x^{0}+x^{k}gamma _{k}gamma _{0}gamma _{0}x&=x^{0}-x^{k}gamma _{k}gamma _{0}end{aligned}}}$

Как эти бивекторы ${displaystyle gamma _{k}gamma _{0}}$ квадрат к единице, они служат пространственной основой. Используя Матрица Паули обозначения, они написаны ${displaystyle sigma _{k}=gamma _{k}gamma _{0}}$. Пространственные векторы в STA выделены жирным шрифтом; затем с ${displaystyle mathbf {x} =x^{k}sigma _{k}}$ то ${displaystyle gamma _{0}}$-пространственно-временное разделение ${displaystyle xgamma _{0}}$ и его обратное ${displaystyle gamma _{0}x}$ находятся:

${displaystyle {egin{aligned}xgamma _{0}&=x^{0}+x^{k}sigma _{k}=x^{0}+mathbf {x} gamma _{0}x&=x^{0}-x^{k}sigma _{k}=x^{0}-mathbf {x} end{aligned}}}$

Мультивекторное деление

Алгебра пространства-времени не является алгебра с делением, потому что он содержит идемпотентные элементы ${displaystyle { frac {1}{2}}(1pm gamma _{0}gamma _{i})}$ и ненулевой делители нуля: ${displaystyle (1+gamma _{0}gamma _{i})(1-gamma _{0}gamma _{i})=0}$. Их можно интерпретировать как проекторы на световой конус и соотношения ортогональности для таких проекторов соответственно. Но в некоторых случаях это является Можно разделить одну многовекторную величину на другую и понять результат: так, например, направленная область, разделенная на вектор в той же плоскости, дает другой вектор, ортогональный первому.

Описание нерелятивистской физики алгеброй пространства-времени

Нерелятивистская квантовая механика

Алгебра пространства-времени позволяет описать Частица Паули с точки зрения настоящий теория вместо теории матриц. Матричная теория описывает частицы Паули:^[4]

${displaystyle ihbar ,partial _{t}Psi =H_{S}Psi -{frac {ehbar }{2mc}},{hat {sigma }}cdot mathbf {B} Psi ,}$

куда ${displaystyle i}$ это воображаемая единица без геометрической интерпретации, ${displaystyle {hat {sigma }}_{i}}$ - матрицы Паули (с обозначением шляпы, указывающим, что ${displaystyle {hat {sigma }}}$ является матричным оператором, а не элементом геометрической алгебры), и ${displaystyle H_{S}}$ - гамильтониан Шредингера. В алгебре пространства-времени частица Паули описывается вещественное уравнение Паули – Шредингера:^[4]

${displaystyle partial _{t}psi ,isigma _{3},hbar =H_{S}psi -{frac {ehbar }{2mc}},mathbf {B} psi sigma _{3},}$

где сейчас ${displaystyle i}$ псевдоскалярная единица ${displaystyle i=sigma _{1}sigma _{2}sigma _{3}}$, и ${displaystyle psi }$ и ${displaystyle sigma _{3}}$ элементы геометрической алгебры, причем ${displaystyle psi }$ ровный многовекторный; ${displaystyle H_{S}}$ снова является гамильтонианом Шредингера. Гестен называет это реальная теория Паули – Шредингера чтобы подчеркнуть, что эта теория сводится к теории Шредингера, если опустить член, включающий магнитное поле.

Описание релятивистской физики на алгебре пространства-времени

Релятивистская квантовая механика

Релятивистская квантовая волновая функция иногда выражается как спинорное поле, т.е.^{[нужна цитата ]}

${displaystyle psi =e^{{frac {1}{2}}(mu +eta i+phi )},}$

куда ${displaystyle phi }$ это бивектор, и^[5][6]

${displaystyle psi =R(ho e^{ieta })^{frac {1}{2}},}$

где, согласно его выводу Дэвид Хестенес, ${displaystyle psi =psi (x)}$ является четной многовекторной функцией в пространстве-времени, ${displaystyle R=R(x)}$ унимодулярный спинор (или «ротор»^[7]), и ${displaystyle ho =ho (x)}$ и ${displaystyle eta =eta (x)}$ - скалярные функции.^[5]

Это уравнение интерпретируется как связывающее спин с мнимым псевдоскаляром.^[8] ${displaystyle R}$ рассматривается как вращение Лоренца, которое представляет собой систему векторов ${displaystyle gamma _{mu }}$ в другую систему векторов ${displaystyle e_{mu }}$ по операции ${displaystyle e_{mu }=Rgamma _{mu }{ ilde {R}}}$,^[7] где символ тильды указывает на обеспечить регресс (реверс также часто обозначается символом кинжала, см. также Вращения в геометрической алгебре ).

Это было расширено, чтобы обеспечить основу для локально изменяющихся векторных и скалярных наблюдаемых и поддержки для Zitterbewegung интерпретация квантовой механики, первоначально предложенная Шредингер.

Гестен сравнил свое выражение с ${displaystyle psi }$ с выражением Фейнмана для этого в формулировке интеграла по путям:

${displaystyle psi =e^{iPhi _{lambda }/hbar },}$

куда ${displaystyle Phi _{lambda }}$ - классическое действие вдоль ${displaystyle lambda }$-дорожка.^[5]

Алгебра пространства-времени позволяет описать Частица Дирака с точки зрения настоящий теория вместо теории матриц. Описание матричной теории частицы Дирака:^[9]

${displaystyle {hat {gamma }}^{mu }(mathbf {j} partial _{mu }-emathbf {A} _{mu })|psi angle =m|psi angle ,}$

куда ${displaystyle {hat {gamma }}}$ - матрицы Дирака. В алгебре пространства-времени частица Дирака описывается уравнением:^[9]

${displaystyle abla psi ,isigma _{3}-mathbf {A} psi =mpsi gamma _{0}}$

Здесь, ${displaystyle psi }$ и ${displaystyle sigma _{3}}$ элементы геометрической алгебры, а ${displaystyle abla =gamma ^{mu }partial _{mu }}$ - производная вектора пространства-времени.

Новая формулировка общей теории относительности

Ласенби, Доран, и Гулл из Кембриджского университета предложили новую формулировку гравитации, названную калибровочная теория гравитации (GTG), в котором алгебра пространства-времени используется, чтобы вызвать кривизну на Пространство Минковского признавая калибровочная симметрия при «произвольном плавном переносе событий в пространство-время» (Ласенби и др.); тогда нетривиальный вывод приводит к уравнению геодезических,

${displaystyle {frac {d}{d au }}R={frac {1}{2}}(Omega -omega )R}$

и ковариантная производная

${displaystyle D_{ au }=partial _{ au }+{frac {1}{2}}omega ,}$

куда ${displaystyle omega }$ - связь, связанная с гравитационным потенциалом, а ${displaystyle Omega }$ это внешнее взаимодействие, такое как электромагнитное поле.

Теория показывает многообещающие перспективы обращения с черными дырами как с их формой Решение Шварцшильда не ломается в особенностях; большинство результатов общая теория относительности были математически воспроизведены, и релятивистская формулировка классическая электродинамика был расширен до квантовая механика и Уравнение Дирака.

Смотрите также

• Геометрическая алгебра
• Алгебра Дирака
• Уравнение Дирака
• Общая теория относительности

Рекомендации

• Lasenby, A .; Doran, C .; Галл, С. (1998), "Гравитация, калибровочные теории и геометрическая алгебра", Фил. Пер. R. Soc. Лондон. А, 356 (1737): 487–582, arXiv:gr-qc / 0405033, Bibcode:1998RSPTA.356..487L, Дои:10.1098 / rsta.1998.0178
• Доран, Крис; Ласенби, Энтони (2003), Геометрическая алгебра для физиков, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-48022-2
• Хестенес, Дэвид (2015) [1966], Алгебра пространства-времени (2-е изд.), Birkhäuser
• Гестен, Дэвид; Собчик (1984), Алгебра Клиффорда в геометрическое исчисление, Springer Verlag, ISBN  978-90-277-1673-6
• Хестен, Дэвид (1973), "Локальные наблюдаемые в теории Дирака", Журнал математической физики, 14 (7): 893–905, Bibcode:1973JMP .... 14..893H, CiteSeerX  10.1.1.412.7214, Дои:10.1063/1.1666413
• Хестенс, Дэвид (1967), «Настоящие спинорные поля», Журнал математической физики, 8 (4): 798–808, Bibcode:1967JMP ..... 8..798H, Дои:10.1063/1.1705279

1. Lasenby, A.N .; Доран, C.J.L. (2002). «Геометрическая алгебра, волновые функции Дирака и черные дыры». В Bergmann, P.G .; Де Саббата, Венцо (ред.). Успехи во взаимодействии квантовой физики и физики гравитации. Springer. стр. 256–283, см. стр. 257. ISBN  978-1-4020-0593-0.
2. Ласенби и Доран 2002, п.259
3. Артур, Джон В. (2011). Понимание геометрической алгебры для теории электромагнетизма. Серия изданий IEEE Press по теории электромагнитных волн. Вайли. п. 180. ISBN  978-0-470-94163-8.
4. См. Экв. (75) и (81) в: Лекция, посвященная медали Хестенеса и Эрстеда, 2002 г.
5. См. Ур. (3.1) и аналогично ур. (4.1) и на последующих страницах в: Hestenes, D. (2012) [1990]. «Об отделении вероятности от кинематики в квантовой механике». В Фужере П.Ф. (ред.). Максимальная энтропия и байесовские методы. Springer. С. 161–183. ISBN  978-94-009-0683-9. (PDF )
6. См. Также ур. (5.13) из Gull, S .; Lasenby, A .; Доран, К. (1993). «Мнимые числа не реальны - геометрическая алгебра пространства-времени» (PDF).
7. См. Ур. (205) в Хестенес, Д. (июнь 2003 г.). «Физика пространства-времени с геометрической алгеброй» (PDF). Американский журнал физики. 71 (6): 691–714. Bibcode:2003AmJPh..71..691H. Дои:10.1119/1.1571836.
8. Хестенес, Дэвид (2003). "Лекция, посвященная медали Эрстеда, 2002 г .: Реформа математического языка физики" (PDF). Американский журнал физики. 71 (2): 104. Bibcode:2003AmJPh..71..104H. CiteSeerX  10.1.1.649.7506. Дои:10.1119/1.1522700.
9. См. Экв. (3.43) и (3.44) в: Доран, Крис; Ласенби, Энтони; Чайка, Стивен; Сомару, Шьямал; Чаллинор, Энтони (1996). Хоукс, Питер У. (ред.). Алгебра пространства-времени и электронная физика. Достижения в области визуализации и электронной физики. 95. Академическая пресса. стр. 272–386, 292. ISBN  0-12-014737-8.

внешняя ссылка

• Мнимые числа не реальны - геометрическая алгебра пространства-времени, учебное введение в идеи геометрической алгебры, написанное С. Гуллом, А. Ласенби, К. Дораном.
• Физические приложения геометрической алгебры примечания к курсу, особенно см. часть 2.
• Группа геометрической алгебры Кембриджского университета
• Исследования и разработки в области геометрического исчисления