Лезвие (геометрия) - Blade (geometry)

При изучении геометрические алгебры, а лезвие является обобщением концепции скаляры и векторов включать просто бивекторы, тривекторы и т. д. В частности, k-blade - любой объект, который можно выразить как внешний продукт (неофициально клин) из k векторов, и имеет оценка k.

В деталях:^[1]

• 0-лезвие - это скаляр.
• 1-лезвие - это вектор. Каждый вектор прост.
• 2-лезвие - это просто бивектор. Линейные комбинации двух лопастей также являются бивекторами, но не обязательно должны быть простыми и, следовательно, не обязательно являются двумя лопастями. 2-лопасть может быть выражена как произведение двух векторов. а и б:

  ${displaystyle awedge b.}$

• Трехлопастный элемент - это простой тривектор, то есть его можно выразить как произведение трех векторов. а, б, и c:

  ${displaystyle awedge bwedge c.}$

• В векторное пространство из измерение п, лезвие класса п − 1 называется псевдовектор^[2] или противовоспалительное средство.^[3]
• Элемент высшего класса в пространстве называется псевдоскалярный, и в пространстве измерения п является п-лезвие.^[4]
• В векторном пространстве размерности п, Существуют k(п − k) + 1 измерения свободы в выборе k- лезвие, одно измерение которого является общим множителем масштабирования.^[5]

Для п-мерное пространство, есть лопасти всех классов от 0 до п включительно. А векторное подпространство конечной размерности k может быть представлен k-клинок образован как клиновидное произведение всех элементов основы этого подпространства.^[6]

Примеры

Например, в 2-мерном пространстве скаляры описываются как 0-лезвия, векторы - как 1-лезвия, а элементы области - как 2-лезвия, известные как псевдоскаляры, в том, что они являются элементами одномерного пространства, отличного от правильных скаляров.

В трехмерном пространстве 0-лезвия снова являются скалярами, а 1-лезвия - трехмерными векторами, а 2-лезвия - элементами ориентированной области. 3-лопасти представляют собой объемные элементы и в трехмерном пространстве; они подобны скалярам, ​​т. е. 3-лопасти в трех измерениях образуют одномерное векторное пространство.

Смотрите также

• Грассманиан
• Мультивектор
• Внешняя алгебра
• Геометрическая алгебра
• Алгебра Клиффорда

Примечания

1. Маркос А. Родригес (2000). «§1.2 Геометрическая алгебра: набросок». Инварианты для распознавания образов и классификации. World Scientific. п. 3 ff. ISBN  981-02-4278-6.
2. Уильям Э. Бейлис (2004). "§4.2.3 Мультивекторы высшего уровня в Cℓ_п: Duals ". Лекции по (геометрическим) алгебрам Клиффорда и их приложениям. Birkhäuser. п. 100. ISBN  0-8176-3257-3.
3. Ленгьел, Эрик (2016). Основы разработки игрового движка, Том 1: Математика. ООО «Терафон Софтвер». ISBN  978-0-9858117-4-7.
4. Джон А. Винс (2008). Геометрическая алгебра для компьютерной графики. Springer. п. 85. ISBN  1-84628-996-3.
5. Для грассманианцев (включая результат о размерности) хорошая книга: Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии, Библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, ISBN  978-0-471-05059-9, МИСТЕР  1288523. Доказательство размерности на самом деле несложно. Брать k векторы и соединить их вместе ${displaystyle v_{1}wedge cdots wedge v_{k}}$ и выполните над ними элементарные операции с столбцами (вычлените точки поворота), пока верхний k × k block - это элементарные базисные векторы ${displaystyle mathbb {F} ^{k}}$. Затем продукт клина параметризуется произведением шарниров и нижнего k × (п − k) блокировать.
6. Дэвид Хестенес (1999). Новые основы классической механики: фундаментальные теории физики. Springer. п. 54. ISBN  0-7923-5302-1.

Рекомендации

• Дэвид Хестенес; Гаррет Собчик (1987). «Глава 1: Геометрическая алгебра». От алгебры Клиффорда до геометрического исчисления: единый язык математики и физики. Springer. п. 1 ff. ISBN  90-277-2561-6.
• Крис Доран и Энтони Ласенби (2003). Геометрическая алгебра для физиков. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-48022-1.
• А. Ласенби, Дж. Ласенби и Р. Уэрхэм (2004) Ковариантный подход к геометрии с использованием геометрической алгебры Технический отчет. Инженерный факультет Кембриджского университета, Кембридж, Великобритания.
• R Wareham; Дж. Кэмерон и Дж. Ласенби (2005). «Приложения конформной геометрической алгебры к компьютерному зрению и графике». В Хунбо Ли; Питер Дж. Олвер И Джеральд Соммер (ред.). Компьютерная алгебра и геометрическая алгебра с приложениями. Springer. п. 329 ff. ISBN  3-540-26296-2.

внешняя ссылка

• Учебник по геометрической алгебре, особенно для компьютерных ученых.