Калибровочная теория гравитации - Gauge theory gravity

Калибровочная теория гравитации (GTG) является теорией гравитация на математическом языке геометрическая алгебра. Тем, кто знаком с общая теория относительности, это очень напоминает тетрадный формализм хотя есть существенные концептуальные отличия. В частности, фон в GTG плоский, Пространство-время Минковского. В принцип эквивалентности не предполагается, а следует из того факта, что калибровочная ковариантная производная является минимально связанный. Как и в общей теории относительности, уравнения структурно идентичны уравнениям Уравнения поля Эйнштейна выводятся из вариационный принцип. А спиновый тензор также может поддерживаться аналогично Теория Эйнштейна – Картана – Сиамы – Киббла.. ГТГ был впервые предложен Ласенби, Доран, и Gull в 1998 г.^[1] как выполнение частичных результатов, представленных в 1993 году.^[2] Теория не получила широкого распространения среди остального физического сообщества, которое в основном выбрало дифференциальная геометрия подходы, подобные подходу калибровочная теория гравитации.

Математическая основа

В основе GTG лежат два принципа. Первый, позиционно-калибровочная инвариантность требует, чтобы произвольные локальные смещения полей не влияли на физическое содержание уравнений поля. Второй, калибровочно-вращательная инвариантность требует, чтобы произвольные локальные повороты полей не влияли на физическое содержание уравнений поля. Эти принципы приводят к введению новой пары линейных функций, позиционно-калибровочного поля и вращательно-калибровочного поля. Смещение произвольной функцией ж

${\displaystyle x\mapsto x'=f(x)}$

дает начало позиционно-калибровочному полю, определяемому отображением на его сопряженном,

${\displaystyle {\bar {\mathsf {h}}}(a,x)\mapsto {\bar {\mathsf {h}}}'(a,x)={\bar {\mathsf {h}}}(f^{-1}(a),f(x)),}$

которая линейна по первому аргументу и а - постоянный вектор. Аналогично вращение произвольным ротором р рождает вращательно-калибровочное поле

${\displaystyle {\bar {\mathsf {\Omega }}}(a,x)\mapsto {\bar {\mathsf {\Omega }}}'(a,x)=R{\bar {\mathsf {\Omega }}}(a,x)R^{\dagger }-2a\cdot \nabla RR^{\dagger }.}$

Мы можем определить две разные ковариантные производные по направлению

${\displaystyle a\cdot D=a\cdot {\bar {\mathsf {h}}}(\nabla )+{\tfrac {1}{2}}{\mathsf {\Omega }}({\mathsf {h}}(a))}$

${\displaystyle a\cdot {\mathcal {D}}=a\cdot {\bar {\mathsf {h}}}(\nabla )+{\mathsf {\Omega }}({\mathsf {h}}(a))}$

или с указанием системы координат

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }+{\tfrac {1}{2}}\Omega _{\mu }}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }=\partial _{\mu }+\Omega _{\mu }\times ,}$

где × обозначает коммутаторное произведение.

Первая из этих производных лучше подходит для работы непосредственно с спиноры тогда как второй лучше подходит для наблюдаемые. Аналог GTG Тензор Римана строится из правил коммутации этих производных.

${\displaystyle [D_{\mu },D_{\nu }]\psi ={\tfrac {1}{2}}{\mathsf {R}}_{\mu \nu }\psi }$

${\displaystyle {\mathcal {R}}(a\wedge b)={\mathsf {R}}({\mathsf {h}}(a\wedge b))}$

Полевые уравнения

Уравнения поля выводятся, постулируя Действие Эйнштейна – Гильберта управляет эволюцией калибровочных полей, т.е.

${\displaystyle S=\int \left[{1 \over 2\kappa }\left({\mathcal {R}}-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right](\det {\mathsf {h}})^{-1}\,\mathrm {d} ^{4}x.}$

Минимизация вариации действия по отношению к двум калибровочным полям приводит к уравнениям поля

${\displaystyle {\mathcal {G}}(a)-\Lambda a=\kappa {\mathcal {T}}(a)}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}\wedge {\bar {\mathsf {h}}}(a)=\kappa {\mathcal {S}}\cdot {\bar {\mathsf {h}}}(a),}$

куда ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ковариантный тензор энергии-импульса и ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ковариантный спиновый тензор. Важно отметить, что эти уравнения не дают развивающейся кривизны пространства-времени, а скорее просто дают эволюцию калибровочных полей в плоском пространстве-времени.

Отношение к общей теории относительности

Для тех, кто более знаком с общей теорией относительности, можно определить метрический тензор из поля позиционера аналогично тетрадам. В формализме тетрад набор из четырех векторов ${\displaystyle \{{e_{(a)}}^{\mu }\}}$ вводятся. Греческий индекс μ является поднят или опущен путем умножения и сжатия метрического тензора пространства-времени. Латинский индекс в скобках (а) - метка для каждой из четырех тетрад, которая поднимается и опускается, как если бы она умножалась и сокращалась с отдельным метрическим тензором Минковского. GTG, грубо говоря, меняет роли этих индексов. Неявно предполагается, что метрика является метрикой Минковского при выборе алгебра пространства-времени. Информация, содержащаяся в другом наборе индексов, учитывается поведением калибровочных полей.

Мы можем создавать ассоциации

${\displaystyle g_{\mu }={\mathsf {h}}^{-1}(e_{\mu })}$

${\displaystyle g^{\mu }={\bar {\mathsf {h}}}(e^{\mu })}$

для ковариантный вектор и контравариантный вектор в искривленном пространстве-времени, где теперь единичные векторы ${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$ - выбранный координатный базис. Они могут определять метрику с помощью правила

${\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{\mu }\cdot g_{\nu }.}$

Следуя этой процедуре, можно показать, что по большей части наблюдаемые предсказания GTG согласуются с теорией Эйнштейна – Картана – Скиамы – Киббла для ненулевого спина и сводятся к общей теории относительности для исчезающего спина. Однако GTG делает разные прогнозы относительно глобальных решений. Например, при изучении точечной массы выбор «ньютоновской калибровки» дает решение, подобное Метрика Шварцшильда в Координаты Гуллстранда – Пенлеве. Общая теория относительности допускает расширение, известное как Координаты Крускала – Секереса. GTG, с другой стороны, запрещает любое такое продление.^{[Почему? ]}

Рекомендации

1. Ласенби, Энтони; Крис Доран; Стивен Галл (1998), "Гравитация, калибровочные теории и геометрическая алгебра", Философские труды Королевского общества A, 356: 487–582, arXiv:gr-qc / 0405033, Bibcode:1998RSPTA.356..487L, Дои:10.1098 / rsta.1998.0178
2. Доран, Крис; Энтони Ласенби; Стивен Галл (1993), Ф. Браккс; Р. Деланге; Х. Серрас (ред.), "Гравитация как калибровочная теория в алгебре пространства-времени", Третья международная конференция по алгебрам Клиффорда и их приложениям в математической физике, Дои:10.1007/978-94-011-2006-7_42

внешняя ссылка

• Дэвид Хестенес: Исчисление пространства-времени для теории гравитации - описание математического формализма, явно направленного на GTG