Действие Эйнштейна – Гильберта - Einstein–Hilbert action

В Действие Эйнштейна – Гильберта (также называемый Действие Гильберта^[1]) в общая теория относительности это действие что дает Уравнения поля Эйнштейна сквозь принцип наименьшего действия. С (− + + +) метрическая подпись, гравитационная часть действия имеет вид^[2]

${\displaystyle S={1 \over 2\kappa }\int R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x,}$

куда ${\displaystyle g=\det(g_{\mu \nu })}$ является определителем метрический тензор матрица ${\displaystyle R}$ это Скаляр Риччи, и ${\displaystyle \kappa =8\pi Gc^{-4}}$ это Гравитационная постоянная Эйнштейна (${\displaystyle G}$ это гравитационная постоянная и ${\displaystyle c}$ это скорость света в вакууме). Если он сходится, интеграл берется по всей пространство-время. Если не сходится, ${\displaystyle S}$ больше не является четко определенным, но модифицированное определение, при котором интегрирование по произвольно большим, относительно компактным областям, по-прежнему дает уравнение Эйнштейна как Уравнение Эйлера – Лагранжа. действия Эйнштейна – Гильберта.

Действие было впервые предложено Дэвид Гильберт в 1915 г.

Обсуждение

Вывод уравнений движения из действия имеет несколько преимуществ. Во-первых, это позволяет легко объединить общую теорию относительности с другими классическими теориями поля (такими как Теория Максвелла ), которые также формулируются в терминах действия. При этом вывод определяет естественного кандидата на роль источника, связывающего метрику с полями материи. Более того, симметрия действия позволяет легко идентифицировать сохраняемые величины с помощью Теорема Нётер.

В общей теории относительности действие обычно считается функциональный метрики (и полей материи), а связь дается Леви-Чивита связь. В Состав Palatini Общая теория относительности предполагает, что метрика и связь независимы, и изменяется по отношению к обоим независимо, что позволяет включать поля фермионной материи с нецелочисленным спином.

Уравнения Эйнштейна в присутствии вещества задаются путем добавления действия вещества к действию Эйнштейна-Гильберта.

Вывод уравнений поля Эйнштейна.

Предположим, что полное действие теории дается членом Эйнштейна – Гильберта плюс член ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}$ описывающих любые поля материи, встречающиеся в теории.

${\displaystyle S=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}R+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right]{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$.

(1)

В принцип действия затем говорит нам, что для восстановления физического закона мы должны потребовать, чтобы вариация этого действия по отношению к обратной метрике была равна нулю, что дает

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\delta S\\&=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}R)}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}\left({\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}\right)+{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x\end{aligned}}}$.

Поскольку это уравнение должно выполняться для любой вариации ${\displaystyle \delta g^{\mu \nu }}$, это означает, что

${\displaystyle {\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2\kappa {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}}$

(2)

это уравнение движения для метрического поля. Правая часть этого уравнения (по определению) пропорциональна тензор энергии-импульса,^[3]

${\displaystyle T_{\mu \nu }:={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}$.

Для вычисления левой части уравнения нам потребуются вариации скаляра Риччи ${\displaystyle R}$ и определитель метрики. Их можно получить с помощью стандартных расчетов из учебника, таких как приведенный ниже, который сильно основан на расчетах, приведенных в Кэрролл 2004 Ошибка harvnb: нет цели: CITEREFCarroll2004 (помощь).

Вариация тензора Римана, тензора Риччи и скаляра Риччи

Для расчета вариации Скаляр Риччи сначала вычисляем вариацию Тензор кривизны Римана, а затем вариация тензора Риччи. Итак, тензор кривизны Римана определяется как

${\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }}$.

Поскольку кривизна Римана зависит только от Леви-Чивита связь ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$, вариацию тензора Римана можно рассчитать как

${\displaystyle \delta {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\delta \Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\delta \Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }}$.

Теперь, поскольку ${\displaystyle \delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }}$ это разность двух связей, это тензор, и поэтому мы можем вычислить ее ковариантная производная,

${\displaystyle \nabla _{\mu }\left(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }\right)=\partial _{\mu }(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho })+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }\delta \Gamma _{\lambda \sigma }^{\rho }-\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }\delta \Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }}$.

Теперь мы можем заметить, что приведенное выше выражение для изменения тензора кривизны Римана равно разности двух таких членов:

${\displaystyle \delta {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\nabla _{\mu }\left(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }\right)-\nabla _{\nu }\left(\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }\right)}$.

Теперь мы можем получить вариацию Тензор кривизны Риччи просто сжав два индекса вариации тензора Римана, и получим Фирменный стиль Палатини:

${\displaystyle \delta R_{\sigma \nu }\equiv \delta {R^{\rho }}_{\sigma \rho \nu }=\nabla _{\rho }\left(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }\right)-\nabla _{\nu }\left(\delta \Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }\right)}$.

В Скаляр Риччи определяется как

${\displaystyle R=g^{\sigma \nu }R_{\sigma \nu }}$.

Следовательно, его вариация относительно обратной метрики ${\displaystyle g^{\sigma \nu }}$ дан кем-то

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta R&=R_{\sigma \nu }\delta g^{\sigma \nu }+g^{\sigma \nu }\delta R_{\sigma \nu }\\&=R_{\sigma \nu }\delta g^{\sigma \nu }+\nabla _{\rho }\left(g^{\sigma \nu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-g^{\sigma \rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\mu }\right)\end{aligned}}}$

Во второй строке мы использовали метрическую совместимость ковариантной производной, ${\displaystyle \nabla _{\sigma }g^{\mu \nu }=0}$, а ранее полученный результат для изменения кривизны Риччи (во втором члене, переименовав фиктивные индексы ${\displaystyle \rho }$ и ${\displaystyle \nu }$ к ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \rho }$ соответственно).

Последний срок,

${\displaystyle \nabla _{\rho }\left(g^{\sigma \nu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-g^{\sigma \rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\mu }\right)}$, т.е. ${\displaystyle \nabla _{\rho }A^{\rho }\equiv A^{\lambda }{}_{;\lambda }}$ с ${\displaystyle A^{\rho }=g^{\sigma \nu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-g^{\sigma \rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\mu }}$,

умножается на ${\displaystyle {\sqrt {-g}}}$, становится полная производная, поскольку для любого вектор ${\displaystyle A^{\lambda }}$ и любой тензорная плотность ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,A^{\lambda }}$ у нас есть:

${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,A_{;\lambda }^{\lambda }=({\sqrt {-g}}\,A^{\lambda })_{;\lambda }=({\sqrt {-g}}\,A^{\lambda })_{,\lambda }}$ или же ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,\nabla _{\mu }A^{\mu }=\nabla _{\mu }\left({\sqrt {-g}}\,A^{\mu }\right)=\partial _{\mu }\left({\sqrt {-g}}\,A^{\mu }\right)}$

и таким образом Теорема Стокса дает только граничный член при интегрировании. Граничный член, как правило, не равен нулю, поскольку подынтегральное выражение зависит не только от ${\displaystyle \delta g^{\mu \nu },}$ но и на его частных производных ${\displaystyle \partial _{\lambda }\,\delta g^{\mu \nu }\equiv \delta \,\partial _{\lambda }g^{\mu \nu }}$; посмотреть статью Граничный член Гиббонса – Хокинга – Йорка для подробностей. Однако когда вариация метрики ${\displaystyle \delta g^{\mu \nu }}$ обращается в нуль в окрестности границы или когда границы нет, этот член не вносит вклад в изменение действия. Таким образом, получаем

${\displaystyle {\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}=R_{\mu \nu }}$.

(3)

в События не в закрытие границы.

Вариация определителя

Формула Якоби, правило дифференцирования детерминант, дает:

${\displaystyle \delta g=\delta \det(g_{\mu \nu })=gg^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }}$,

или можно было бы преобразовать в систему координат, где ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ является диагональным, а затем примените правило произведения, чтобы дифференцировать произведение факторов на главной диагонали. Используя это, мы получаем

${\displaystyle \delta {\sqrt {-g}}=-{\frac {1}{2{\sqrt {-g}}}}\delta g={\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}\left(g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }\right)=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}\left(g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }\right)}$

В последнем равенстве мы использовали тот факт, что

${\displaystyle g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }}$

которое следует из правила дифференцирования обратной матрицы

${\displaystyle \delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \alpha }\left(\delta g_{\alpha \beta }\right)g^{\beta \nu }}$.

Таким образом, мы заключаем, что

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}=-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }}$.

(4)

Уравнение движения

Теперь, когда в нашем распоряжении есть все необходимые варианты, мы можем вставить (3) и (4) в уравнение движения (2) для метрического поля, чтобы получить

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}$,

(5)

какой Уравнения поля Эйнштейна, и

${\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}}$

был выбран таким образом, что нерелятивистский предел дает обычная форма закона тяготения Ньютона, куда ${\displaystyle G}$ это гравитационная постоянная (видеть здесь подробнее).

Космологическая постоянная

Когда космологическая постоянная Λ входит в Лагранжиан, Действие:

${\displaystyle S=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}(R-2\Lambda )+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right]{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$

Варианты относительно обратной метрики:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\delta S=\int \left[{\frac {\sqrt {-g}}{2\kappa }}{\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{2\kappa }}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}-{\frac {\Lambda }{\kappa }}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\sqrt {-g}}{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }\mathrm {d} ^{4}x=\\&=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}{\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{2\kappa }}{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}-{\frac {\Lambda }{\kappa }}{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x\end{aligned}}}$

С использованием принцип действия:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\delta S=0\\&{\frac {1}{2\kappa }}{\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{2\kappa }}{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}-{\frac {\Lambda }{\kappa }}{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}=0\\\end{aligned}}}$

Объединяя это выражение с результатами, полученными ранее:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}=R_{\mu \nu }\\&{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}={\frac {-g_{\mu \nu }}{2}}\\&T_{\mu \nu }={\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }g_{\mu \nu }-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}\\\end{aligned}}}$

Мы можем получить:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2\kappa }}R_{\mu \nu }+{\frac {R}{2\kappa }}{\frac {-g_{\mu \nu }}{2}}-{\frac {\Lambda }{\kappa }}{\frac {-g_{\mu \nu }}{2}}+\left({\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }{\frac {-g_{\mu \nu }}{2}}\right)=0\\&R_{\mu \nu }-{\frac {R}{2}}g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }+\kappa \left(2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}-{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }g_{\mu \nu }\right)=0\\&R_{\mu \nu }-{\frac {R}{2}}g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }-\kappa T_{\mu \nu }=0\end{aligned}}}$

С ${\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}}$, выражение переходит в уравнения поля с космологическая постоянная:

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }.}$

Смотрите также

• Тензор Белинфанте – Розенфельда
• Теория Бранса – Дике (в котором постоянная k заменяется скалярным полем).
• Теория Эйнштейна – Картана
• Уравнения Эйнштейна – Максвелла – Дирака.
• f (R) гравитация (в котором скаляр Риччи заменен функцией кривизны Риччи)
• Граничный член Гиббонса – Хокинга – Йорка
• Теория Калуцы – Клейна
• Комар суперпотенциал
• Палатини действие
• Телепараллелизм
• Tetradic Palatini действие
• Вариационные методы в общей теории относительности
• Теорема Вермейля

Примечания

1. Гильберт, Дэвид (1915), "Die Grundlagen der Physik" [Основы физики], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen - Mathematisch-Physikalische Klasse (на немецком), 3: 395–407
2. Фейнман, Ричард П. (1995). Лекции Фейнмана по гравитации. Эддисон-Уэсли. п. 136, ур. (10.1.2). ISBN  0-201-62734-5.
3. Блау, Матиас (27 июля 2020 г.), Конспект лекций по общей теории относительности (PDF), п. 196

Библиография

• Миснер, Чарльз В.; Торн, Кип. С.; Уилер, Джон А. (1973), Гравитация, У. Х. Фриман, ISBN  978-0-7167-0344-0
• Вальд, Роберт М. (1984), Общая теория относительности, Издательство Чикагского университета, ISBN  978-0-226-87033-5
• Кэрролл, Шон М. (2004), Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности, Сан-Франциско: Аддисон-Уэсли, ISBN  978-0-8053-8732-2
• Гильберт, Д. (1915) Die Grundlagen der Physik (Немецкий оригинал бесплатно) (Перевод на английский за 25 долларов), Конигл. Гезелл. d. Wiss. Göttingen, Nachr. Math.-Phys. Kl. 395-407
• Соколов, Д. (2001) [1994], «Космологическая постоянная», Энциклопедия математики, EMS Press
• Фейнман, Ричард П. (1995), Лекции Фейнмана по гравитации, Эддисон-Уэсли, ISBN  0-201-62734-5
• Кристофер М. Хирата Лекция 33: Лагранжева формулировка ОТО (27 апреля 2012 г.).