Инвариант кривизны (общая теория относительности) - Curvature invariant (general relativity)

В общая теория относительности, инварианты кривизны представляют собой набор скаляры сформированный из Риман, Weyl и Риччи тензоры - которые представляют кривизна, отсюда и название, - и, возможно, операции над ними, такие как сокращение, ковариантное дифференцирование и дуализация.

Определенные инварианты, образованные из этих тензоров кривизны, играют важную роль в классификации время. На самом деле инварианты менее эффективны для различения локально не-изометрический Лоренцевы многообразия чем они для различения Римановы многообразия. Это означает, что они более ограничены в своих приложениях, чем для коллекторов, наделенных положительно определенный метрический тензор.

Основные инварианты

Основные инварианты тензоров Римана и Вейля определены квадратичный многочлен инварианты (то есть суммы квадратов компонентов).

Основные инварианты Тензор Римана четырехмерного лоренцевого многообразия являются

то Скаляр Кречмана ${ Displaystyle K_ {1} = R_ {abcd} , R ^ {abcd}}$
то Скаляр Черна – Понтрягина ${ displaystyle K_ {2} = {{} ^ { star} R} _ {abcd} , R ^ {abcd}}$
то Скаляр Эйлера ${ displaystyle K_ {3} = {{} ^ { star} R ^ { star}} _ {abcd} , R ^ {abcd}}$

Это квадратичные полиномиальные инварианты (суммы квадратов компонент). (Некоторые авторы определяют скаляр Черна – Понтрягина, используя правый двойной вместо левый двойной.)

Первый из них был введен Эрих Кречманн. Вторые два названия несколько анахроничны, но поскольку интегралы последних двух связаны с Немедленное включение число и Эйлерова характеристика соответственно они имеют какое-то обоснование.

Основные инварианты Тензор Вейля находятся

${ Displaystyle I_ {1} = C_ {abcd} , C ^ {abcd}}$
${ displaystyle I_ {2} = {{} ^ { star} C} _ {abcd} , C ^ {abcd}}$

(Потому что ${ displaystyle {{} ^ { star} C ^ { star}} _ {abcd} = - C_ {abcd}}$ , нет необходимости определять третий главный инвариант для тензора Вейля.)

Связь с разложением Риччи

Как и следовало ожидать от Разложение Риччи тензора Римана в тензор Вейля плюс сумма тензоров четвертого ранга, построенная по второму рангу Тензор Риччи и из Скаляр Риччи, эти два набора инвариантов связаны (в d = 4):

{ displaystyle K_ {1} = I_ {1} +2 , R_ {ab} , R ^ {ab} - { tfrac {1} {3}} , R ^ {2}}

{ displaystyle K_ {3} = - I_ {1} +2 , R_ {ab} , R ^ {ab} - { tfrac {2} {3}} , R ^ {2}}

Связь с разложением Беля

В четырех измерениях Bel разложение тензора Римана относительно времениподобного единичного векторного поля ${ displaystyle { vec {X}}}$ , не обязательно геодезическая или ортогональная гиперповерхность, состоит из трех частей

то электрогравитационный тензор ${ displaystyle E [{ vec {X}}] _ {ab} = R_ {ambn} , X ^ {m} , X ^ {n}}$
то магнитогравитационный тензор ${ displaystyle B [{ vec {X}}] _ {ab} = {{} ^ { star} R} _ {ambn} , X ^ {m} , X ^ {n}}$
то топогравитационный тензор ${ Displaystyle L [{ vec {X}}] _ {ab} = {{} ^ { star} R ^ { star}} _ {ambn} , X ^ {m} , X ^ {n }}$

Потому что это все поперечный (т.е. проецируемые на элементы пространственной гиперплоскости, ортогональные нашему времениподобному единичному векторному полю), они могут быть представлены как линейные операторы над трехмерными векторами или как три на трех реальных матрицах. Они соответственно симметричны, бесследный, и симметричный (6,8,6 линейно независимых компонентов, всего 20). Если мы запишем эти операторы как E, B, L соответственно, главные инварианты тензора Римана получаются следующим образом:

${ displaystyle K_ {1} / 4}$ это след E² + L² - 2 B B^Т,
${ displaystyle -K_ {2} / 8}$ это след B ( E - L ),
${ displaystyle K_ {3} / 8}$ это след E L - B².

Выражение в формализме Ньюмена – Пенроуза.

Что касается Скаляры Вейля в Формализм Ньюмана – Пенроуза, главные инварианты тензора Вейля можно получить, взяв действительную и мнимую части выражения

{ Displaystyle I_ {1} -i , I_ {2} = 16 , left (3 Psi _ {2} ^ {2} + Psi _ {0} , Psi _ {4} -4 , Psi _ {1} Psi _ {3} right)}

(Но обратите внимание на знак минус!)

Главный квадратичный инвариант Тензор Риччи, ${ Displaystyle R_ {ab} , R ^ {ab}}$ , может быть получено как более сложное выражение, включающее Скаляры Риччи (см. статью Cherubini et al., цитируемую ниже).

Выделение лоренцевых многообразий

Важный вопрос, связанный с инвариантами кривизны, заключается в том, когда набор полиномиальных инвариантов кривизны может использоваться для (локального) различения многообразий. Для этого необходимо включить инварианты более высокого порядка, включая производные тензора Римана, но в лоренцевом случае известно, что существуют пространства-времени, которые нельзя выделить; например, Время пространства VSI для которого все такие инварианты кривизны обращаются в нуль и, таким образом, не могут быть отделены от плоского пространства. Эта неспособность различать лоренцевы многообразия связана с тем, что Группа Лоренца некомпактный.

Еще есть примеры случаев, когда мы можем различать лоренцевы многообразия, используя их инварианты. Примеры таковы полностью общие Тип Петрова I пространство-время без векторов Киллинга, см. Coley и другие. ниже. В самом деле, здесь было обнаружено, что все пространства-времени, которые нельзя различить по их набору инвариантов кривизны, являются Пространства Кундта.

Смотрите также

Тензор Баха, для иногда полезного тензора, порожденного ${ displaystyle I_ {2}}$ по вариационному принципу.
Инварианты Карминати-Макленагана, для множества полиномиальных инвариантов тензора Римана четырехмерного лоренцевого многообразия, которое, как известно, полный при некоторых обстоятельствах.
Инвариант кривизны, для инвариантов кривизны в более общем контексте.