Bel разложение - Bel decomposition

В полуриманова геометрия, то Bel разложение, взятые с учетом конкретного подобие времени, это способ разбить Тензор Римана из псевдориманово многообразие в тензоры более низкого порядка со свойствами, аналогичными тензорам электрическое поле и магнитное поле. Такое разложение было частично описано Альфонсом Матте в 1953 г.^[1] и по Луис Бел в 1958 г.^[2]

Это разложение особенно важно в общая теория относительности.^{[нужна цитата ]} Это случай четырехмерного Лоренцевы многообразия, для которых есть всего три пьесы с простыми свойствами и индивидуальными физическими интерпретациями.

Разложение тензора Римана

В четырехмерном разложении Беля тензора Римана относительно времениподобного единичного векторного поля ${\displaystyle {\vec {X}}}$, не обязательно геодезическая или ортогональная гиперповерхность, состоит из трех частей:

1. то электрогравитационный тензор ${\displaystyle E[{\vec {X}}]_{ab}=R_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$
   • Также известен как приливный тензор. Его можно физически интерпретировать как возникновение приливных напряжений на маленьких кусочках материального объекта (на которые также могут действовать другие физические силы) или приливных ускорений небольшого облака тестовые частицы в вакуумный раствор или же электровакуумный раствор.
2. то магнитогравитационный тензор ${\displaystyle B[{\vec {X}}]_{ab}={{}^{\star }R}_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$
   • Физически может интерпретироваться как уточняющая возможность спин-спиновые силы на вращающихся кусочках материи, таких как вращение тестовые частицы.
3. то топогравитационный тензор ${\displaystyle L[{\vec {X}}]_{ab}={{}^{\star }R^{\star }}_{ambn}\,X^{m}\,X^{n}}$
   • Может интерпретироваться как представление кривизны сечения для пространственной части поля кадра.

Потому что это все поперечный (т.е. проецируемые на элементы пространственной гиперплоскости, ортогональные нашему времениподобному единичному векторному полю), они могут быть представлены как линейные операторы над трехмерными векторами или как вещественные матрицы размером три на три. Они соответственно симметричны, бесследный, и симметричный (6,8,6 линейно независимых компонентов, всего 20). Если мы запишем эти операторы как E, B, L соответственно, главные инварианты тензора Римана получаются следующим образом:

• ${\displaystyle K_{1}/4}$ это след E² + L² - 2 B B^Т,
• ${\displaystyle -K_{2}/8}$ это след B ( E - L ),
• ${\displaystyle K_{3}/8}$ это след E L - B².

Смотрите также

• Тензор Беля – Робинсона
• Разложение Риччи
• Приливный тензор
• Уравнения Папапетру – Диксона
• Инвариант кривизны

Рекомендации

1. Мэтт, A. (1953), "Новые осциллирующие решения уравнений гравитации", Может. J. Math., 5: 1, Дои:10.4153 / CJM-1953-001-3
2. Бел, Л. (1958), "Определение общей плотности энергии и общей общей радиации", Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences, 246: 3015