Разложение Риччи - Ricci decomposition

В математических областях Риманов и псевдориманова геометрия, то Разложение Риччи это способ разбить Тензор кривизны Римана из Риманов или же псевдориманово многообразие на части с особыми алгебраическими свойствами. Это разложение имеет фундаментальное значение в римановой и псевдоримановой геометрии.

Определение разложения

Позволять (M,грамм) быть римановым или псевдоримановым п-многообразие. Рассмотрим его риманову кривизну как (0,4) -тензорное поле. Эта статья будет следовать соглашению о знаках

${\displaystyle R_{ijkl}=g_{lp}{\Big (}\partial _{i}\Gamma _{jk}^{p}-\partial _{j}\Gamma _{ik}^{p}+\Gamma _{iq}^{p}\Gamma _{jk}^{q}-\Gamma _{jq}^{p}\Gamma _{ik}^{q}{\Big )};}$

написано многолинейно, это соглашение

${\displaystyle \operatorname {Rm} (W,X,Y,Z)=g{\Big (}\nabla _{W}\nabla _{X}Y-\nabla _{X}\nabla _{W}Y-\nabla _{[W,X]}Y,Z{\Big )}.}$

С этим соглашением тензор Риччи представляет собой (0,2) -тензорное поле, определяемое формулой р_jk=грамм^ilр_ijkl а скалярная кривизна определяется формулой р=грамм^jkр_jk. Определите бесследный тензор Риччи

${\displaystyle Z_{jk}=R_{jk}-{\frac {1}{n}}Rg_{jk},}$

а затем определить три (0,4) -тензорных поля S, E, и W к

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{ijkl}&={\frac {R}{n(n-1)}}{\big (}g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl}{\big )}\\E_{ijkl}&={\frac {1}{n-2}}{\big (}Z_{il}g_{jk}-Z_{jl}g_{ik}-Z_{ik}g_{jl}+Z_{jk}g_{il}{\big )}\\W_{ijkl}&=R_{ijkl}-S_{ijkl}-E_{ijkl}.\end{aligned}}}$

«Разложение Риччи» - это утверждение

${\displaystyle R_{ijkl}=S_{ijkl}+E_{ijkl}+W_{ijkl}.}$

Как уже говорилось, это бессмысленно, поскольку это просто реорганизация определения W. Важность разложения заключается в свойствах трех новых тензоров S, E, и W.

Терминологическое примечание. Тензор W называется Тензор Вейля. Обозначение W является стандартным в математической литературе, а C чаще встречается в физической литературе. Обозначение р является стандартным для обоих, в то время как стандартизированные обозначения для S, Z, и E.

Основные свойства

Свойства фигур

Каждый из тензоров S, E, и W имеет те же алгебраические симметрии, что и тензор Римана. То есть:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{ijkl}&=-S_{jikl}=-S_{ijlk}=S_{klij}\\E_{ijkl}&=-E_{jikl}=-E_{ijlk}=E_{klij}\\W_{ijkl}&=-W_{jikl}=-W_{ijlk}=W_{klij}\end{aligned}}}$

вместе с

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{ijkl}+S_{jkil}+S_{kijl}&=0\\E_{ijkl}+E_{jkil}+E_{kijl}&=0\\W_{ijkl}+W_{jkil}+W_{kijl}&=0.\end{aligned}}}$

Тензор Вейля обладает той дополнительной симметрией, что он полностью бесследный:

${\displaystyle g^{il}W_{ijkl}=0.}$

Герман Вейль показало, что W обладает замечательным свойством измерения отклонения риманова или псевдориманова многообразия от локальная конформная плоскостность; если он равен нулю, то M могут быть покрыты диаграммами, относительно которых грамм имеет форму грамм_ij= e^жδ_ij для какой-то функции ж определенная диаграмма диаграммой.

Свойства разложения

Можно проверить, что разложение Риччи ортогонально в том смысле, что

${\displaystyle S_{ijkl}E^{ijkl}=S_{ijkl}W^{ijkl}=E_{ijkl}W^{ijkl}=0,}$

напоминая общее определение ${\displaystyle T^{ijkl}=g^{ip}g^{jq}g^{kr}g^{ls}T_{pqrs}.}$ Это имеет следствие, которое может быть доказано напрямую, что

${\displaystyle R_{ijkl}R^{ijkl}=S_{ijkl}S^{ijkl}+E_{ijkl}E^{ijkl}+W_{ijkl}W^{ijkl}.}$

Терминологическое примечание. Было бы чисто символически представить эту ортогональность как выражение

${\displaystyle \langle S,E\rangle _{g}=\langle S,W\rangle _{g}=\langle E,W\rangle _{g}=0,}$

вместе с

${\displaystyle |\operatorname {Rm} |_{g}^{2}=|S|_{g}^{2}+|E|_{g}^{2}+|W|_{g}^{2}.}$

Однако с такими обозначениями неизбежно возникает двусмысленность в зависимости от того, просматривает ли ${\displaystyle \operatorname {Rm} ,S,E,W}$ как многолинейные карты ${\displaystyle T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} }$ или как линейные карты ${\displaystyle \wedge ^{2}T_{p}M\to \wedge ^{2}T_{p}M,}$ в этом случае соответствующие нормы и внутренние продукты будут отличаться на постоянный коэффициент. Хотя это не приведет к каким-либо противоречиям в приведенных выше уравнениях, поскольку все термины будут изменены одним и тем же фактором, это может привести к путанице в более сложных контекстах. По этой причине индексные обозначения часто легче понять.

Связанные формулы

Можно вычислить «формулы нормы»

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{ijkl}S^{ijkl}&={\frac {2R^{2}}{n(n-1)}}\\E_{ijkl}E^{ijkl}&={\frac {4R_{ij}R^{ij}}{n-2}}-{\frac {4R^{2}}{n(n-2)}}\\W_{ijkl}W^{ijkl}&=R_{ijkl}R^{ijkl}-{\frac {4R_{ij}R^{ij}}{n-2}}+{\frac {2R^{2}}{(n-1)(n-2)}}\end{aligned}}}$

и "формулы следа"

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{il}S_{ijkl}&={\frac {1}{n}}Rg_{jk}\\g^{il}E_{ijkl}&=R_{jk}-{\frac {1}{n}}Rg_{jk}\\g^{il}W_{ijkl}&=0.\end{aligned}}}$

Математическое объяснение разложения

Математически разложение Риччи - это разложение пространства всех тензоры имеющий симметрии тензора Римана в его неприводимые представления за действие ортогональная группа (Besse 1987, Глава 1, §G). Позволять V быть п-размерный векторное пространство, оборудованный метрический тензор (возможно, смешанной подписи). Здесь V построен по образцу котангенс пространство в точке, так что тензор кривизны р (со всеми пониженными индексами) является элементом тензорное произведение V⊗V⊗V⊗V. Тензор кривизны кососимметричен в своих первых и последних двух элементах:

${\displaystyle R(x,y,z,w)=-R(y,x,z,w)=-R(x,y,w,z)\,}$

и подчиняется симметрии взаимообмена

${\displaystyle R(x,y,z,w)=R(z,w,x,y),\,}$

для всех Икс,у,z,ш ∈ V^∗. Как результат, р является элементом подпространства ${\displaystyle S^{2}\Lambda ^{2}V}$, второй симметричная мощность второй внешняя сила из V. Тензор кривизны также должен удовлетворять тождеству Бианки, что означает, что он находится в ядро линейной карты ${\displaystyle b:S^{2}\Lambda ^{2}V\to \Lambda ^{4}V}$ данный

${\displaystyle b(R)(x,y,z,w)=R(x,y,z,w)+R(y,z,x,w)+R(z,x,y,w).\,}$

Космос рV = ker б в S²Λ²V - пространство алгебраических тензоров кривизны. Разложение Риччи - это разложение этого пространства на неприводимые множители. Отображение сжатия Риччи

${\displaystyle c:S^{2}\Lambda ^{2}V\to S^{2}V}$

дан кем-то

${\displaystyle c(R)(x,y)=\operatorname {tr} R(x,\cdot ,y,\cdot ).}$

Это связывает симметричную 2-форму с алгебраическим тензором кривизны. И наоборот, учитывая пару симметричных 2-форм час и k, то Кулькарни – Номидзу из час и k

${\displaystyle (h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}k)(x,y,z,w)=h(x,z)k(y,w)+h(y,w)k(x,z)-h(x,w)k(y,z)-h(y,z)k(x,w)}$

дает тензор алгебраической кривизны.

Если п > 4, то существует ортогональное разложение на (единственные) неприводимые подпространства

рV = SV ⊕ EV ⊕ CV

куда

${\displaystyle \mathbf {S} V=\mathbb {R} g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}g}$, куда ${\displaystyle \mathbb {R} }$ это пространство настоящий скаляры

${\displaystyle \mathbf {E} V=g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}S_{0}^{2}V}$, куда S²
₀V пространство бесследовых симметрических 2-форм

${\displaystyle \mathbf {C} V=\ker c\cap \ker b.}$

Части S, E, и C разложения Риччи данного тензора Римана р ортогональные проекции р на эти инвариантные факторы. Особенно,

${\displaystyle R=S+E+C}$

является ортогональным разложением в том смысле, что

${\displaystyle |R|^{2}=|S|^{2}+|E|^{2}+|C|^{2}.}$

Это разложение выражает пространство тензоров с симметриями Римана как прямую сумму скалярного подмодуля, подмодуля Риччи и подмодуля Вейля соответственно. Каждый из этих модулей представляет собой неприводимое представление для ортогональная группа (Певица и Торп 1968 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFSingerThorpe1968 (помощь), и, таким образом, разложение Риччи является частным случаем расщепления модуля для полупростая группа Ли в его несводимые факторы. В размерности 4 модуль Вейля далее разлагается на пару неприводимых множителей для специальная ортогональная группа: the самодвойственный и антисамодуальный части W⁺ и W⁻.

Физическая интерпретация

Разложение Риччи можно физически интерпретировать в теории Эйнштейна. общая теория относительности, где его иногда называют Разложение Жениу-Дебевера. В этой теории Уравнение поля Эйнштейна

${\displaystyle G_{ab}=8\pi \,T_{ab}}$

куда ${\displaystyle T_{ab}}$ это тензор энергии-импульса описывая количество и движение всей материи, а также всю энергию и импульс негравитационного поля, утверждает, что тензор Риччи - или, что эквивалентно, тензор Эйнштейна - представляет ту часть гравитационного поля, которая возникает из-за немедленное присутствие негравитационной энергии и импульса. Тензор Вейля представляет собой часть гравитационного поля, которая может распространяться как гравитационная волна через область, содержащую неважные или негравитационные поля. Области пространства-времени, в которых тензор Вейля обращается в нуль, не содержат гравитационное излучение и также являются конформно плоскими.

Смотрите также

• Bel разложение из Тензор Римана
• Конформная геометрия
• Классификация Петрова
• Тензор Плебанского
• Исчисление Риччи
• Тензор Схоутена
• Бесследный тензор Риччи

Рекомендации

• Бесс, Артур Л. (1987), Многообразия Эйнштейна, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], т. 10, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xii + 510, ISBN  978-3-540-15279-8.
• Шарп, Р. В. (1997), Дифференциальная геометрия: Картановское обобщение Эрлангенской программы Клейна, Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, ISBN  0-387-94732-9. В разделе 6.1 обсуждается декомпозиция. Варианты декомпозиции также входят в обсуждение конформной и проективной геометрий в главах 7 и 8.
• Певец, И.; Торп, Дж. (1969), "Кривизна 4-мерных пространств Эйнштейна", Глобальный анализ (Статьи в честь К. Кодаира), Univ. Tokyo Press, стр. 355–365.