Метрика Гёделя - Gödel metric

«Вселенная Гёделя» перенаправляется сюда. Не следует путать с Конструируемая вселенная Гёделя.

В Метрика Гёделя является точное решение из Уравнения поля Эйнштейна в которой тензор энергии-импульса содержит два члена, первый из которых представляет плотность вещества однородного распределения закрученных пылевых частиц (раствор пыли ), а второй - ненулевой космологическая постоянная (видеть лямбдавакуумный раствор ). Он также известен как Решение Гёделя или же Вселенная Гёделя.

Это решение обладает множеством необычных свойств, в частности, наличием замкнутые времяподобные кривые это позволило бы путешествие во времени во вселенной, описываемой решением. Его определение несколько искусственно в том смысле, что значение космологической постоянной должно быть тщательно выбрано, чтобы соответствовать плотности пылинок, но это пространство-время является важным педагогическим примером.

Решение было найдено в 1949 г. Курт Гёдель.^[1]

Определение

Как и любой другой Лоренцево пространство-время, решение Гёделя представляет метрический тензор с точки зрения некоторых местных карта координат. Возможно, проще всего понять вселенную Гёделя с помощью цилиндрической системы координат (представленной ниже), но в этой статье используется диаграмма, которую первоначально использовал Гёдель. На этой диаграмме метрика (или эквивалентно линейный элемент ) является

${\displaystyle g={\frac {1}{2\omega ^{2}}}\left[-(dt+e^{x}\,dy)^{2}+dx^{2}+{\tfrac {1}{2}}e^{2x}\,dy^{2}+dz^{2}\right],\qquad -\infty <t,x,y,z<\infty ,}$

куда ${\displaystyle \omega }$ - ненулевая действительная константа, которая оказывается угловой скоростью окружающих пылинок вокруг у ось, измеренная "невращающимся" наблюдателем, едущим на одной из пылинок. «Не вращающийся» означает, что он не чувствует центробежных сил, но в этой системе координат он фактически будет вращаться по оси, параллельной оси у ось. Как мы увидим, пылинки остаются на постоянных значениях Икс, у, и z. Их плотность на этой координатной карте увеличивается с увеличением Икс, но их плотность в их собственных системах отсчета везде одинакова.

Характеристики

Для изучения свойств решения Гёделя воспользуемся поле кадра (двойная к coframe считайте метрику, как указано выше),

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}={\sqrt {2}}\omega \,\partial _{t}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{1}={\sqrt {2}}\omega \,\partial _{x}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{2}={\sqrt {2}}\omega \,\partial _{y}}$

${\displaystyle {\vec {e}}_{3}=2\omega \,\left(\exp(-x)\,\partial _{z}-\partial _{t}\right).}$

Этот кадр определяет семейство инерционных наблюдателей, которые Сочинение с пылинками. Однако вычисление Производные Ферми – Уокера относительно ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$ показывает, что пространственные рамки прядение о ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}}$ с угловой скоростью ${\displaystyle -\omega }$. Отсюда следует, что некрутящаяся инерциальная рамка сопутствующие частицы пыли

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\vec {e}}_{0}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{1}=\cos(\omega t)\,{\vec {e}}_{1}-\sin(\omega t)\,{\vec {e}}_{3}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{2}={\vec {e}}_{2}}$

${\displaystyle {\vec {f}}_{3}=\sin(\omega t)\,{\vec {e}}_{1}+\cos(\omega t)\,{\vec {e}}_{3}.}$

Тензор Эйнштейна

Компоненты Тензор Эйнштейна (по отношению к любому кадру выше) являются

${\displaystyle G^{{\hat {a}}{\hat {b}}}=\omega ^{2}\operatorname {diag} (-1,1,1,1)+2\omega ^{2}\operatorname {diag} (1,0,0,0).}$

Здесь первое слагаемое характерно для лямбдавакуумный раствор а второе слагаемое характерно для Негерметического идеальная жидкость или раствор пыли. Обратите внимание, что космологическая постоянная тщательно выбрана, чтобы частично компенсировать плотность вещества пыли.

Топология

Пространство-время Гёделя - редкий пример обычный (без сингулярностей) решение полевого уравнения Эйнштейна. Исходная таблица Гёделя (приведенная здесь) является геодезически полный и без сингулярности; следовательно, это глобальная карта, а пространство-время гомеоморфный к р⁴, а значит, односвязный.

Инварианты кривизны

В любом лоренцевом пространстве-времени четвертый ранг Тензор Римана является полилинейным оператором в четырехмерном пространстве касательные векторы (на каком-то мероприятии), но линейный оператор на шестимерном пространстве бивекторы на этом мероприятии. Соответственно, у него есть характеристический многочлен, корнями которых являются собственные значения. В пространстве-времени Гёделя эти собственные значения очень просты:

• тройное собственное значение ноль,
• двойное собственное значение ${\displaystyle -\omega ^{2}}$,
• единственное собственное значение ${\displaystyle \omega ^{2}}$.

Векторы убийства

Это пространство-время допускает пятимерное Алгебра Ли из Векторы убийства, который может быть сгенерирован перевод времени ${\displaystyle \partial _{t}}$, два пространственные переводы ${\displaystyle \partial _{y},\;\partial _{z}}$, плюс два дополнительных векторных поля Киллинга:

${\displaystyle \partial _{x}-z\,\partial _{z}}$

и

${\displaystyle -2\exp(-x)\,\partial _{t}+z\,\partial _{x}+\left(\exp(-2x)-z^{2}/2\right)\,\partial _{z}.}$

Группа изометрий действует переходно (поскольку мы можем перевести на ${\displaystyle t,y,z}$, а с помощью четвертого вектора мы можем двигаться по ${\displaystyle x}$ также), поэтому пространство-время однородный. Однако это не так изотропный, как мы увидим.

Из генераторов очевидно, что срезы ${\displaystyle x=x_{0}}$ признать переходный абелевский трехмерный группа трансформации, поэтому частное решения можно интерпретировать как стационарное цилиндрически симметричное решение. Менее очевидно, что ломтики ${\displaystyle y=y_{0}}$ признать SL (2,р) действие, и кусочки ${\displaystyle t=t_{0}}$ допускают Бьянки III (см. четвертое векторное поле Киллинга). Мы можем повторить это, сказав, что наша группа симметрии включает в себя в качестве трехмерных подгрупп примеры типов Бьянки I, III и VIII. Четыре из пяти векторов Киллинга, а также тензор кривизны не зависят от координаты y. В самом деле, решение Гёделя - это Декартово произведение фактора р с трехмерным лоренцевым многообразием (подпись −++).

Можно показать, что решение Гёделя с точностью до локальная изометрия, то Только идеальное жидкое решение уравнения поля Эйнштейна, допускающее пятимерную алгебру Ли векторов Киллинга.

Тип Петрова и разложение Беля

В Тензор Вейля решения Гёделя имеет Тип Петрова D. Это означает, что для правильно выбранного наблюдателя приливные силы имеют Кулоновская форма.

Для более подробного изучения приливных сил мы вычисляем Bel разложение тензора Римана на три части, приливный или электрогравитационный тензор (который представляет приливные силы), магнитогравитационный тензор (который представляет спин-спиновые силы на вращающихся пробных частицах и других гравитационных эффектах, аналогичных магнетизму), и топогравитационный тензор (который представляет собой пространственные поперечные кривизны).

Наблюдатели, сопровождающие частицы пыли, обнаруживают, что приливный тензор (относительно ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {e}}_{0}}$, компоненты которого оцениваются в нашем фрейме) имеет вид

${\displaystyle {E\left[{\vec {u}}\right]}_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=\omega ^{2}\operatorname {diag} (1,0,1).}$

То есть они измеряют изотропное приливное напряжение, ортогональное выделенному направлению. ${\displaystyle \partial _{y}}$.

Гравитомагнитный тензор исчезает одинаково

${\displaystyle {B\left[{\vec {u}}\right]}_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=0.}$

Это артефакт необычной симметрии этого пространства-времени и подразумевает, что предполагаемое «вращение» пыли не имеет гравитомагнитных эффектов, обычно связанных с гравитационным полем, создаваемым вращением материи.

Главный Инварианты Лоренца тензора Римана равны

${\displaystyle R_{abcd}\,R^{abcd}=12\omega ^{4},\;R_{abcd}{{}^{\star }R}^{abcd}=0.}$

Исчезновение второго инварианта означает, что некоторые наблюдатели не измеряют гравитомагнетизм, что согласуется с тем, что только что было сказано. Тот факт, что первый инвариант ( Инвариант Кречмана ) константа отражает однородность гёделевского пространства-времени.

Жесткое вращение

Приведенные выше поля кадра являются инерционный, ${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{0}=0}$, но вектор завихренности времениподобной геодезической конгруэнции, определяемой времяподобными единичными векторами, есть

${\displaystyle -\omega {\vec {e}}_{2}}$

Это означает, что мировые линии соседних пылевых частиц изгибаются друг относительно друга. Кроме того, тензор сдвига соответствия ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$ исчезает, поэтому частицы пыли демонстрируют жесткое вращение.

Оптические эффекты

Если мы изучим прошлое световой конус данного наблюдателя, мы обнаруживаем, что нулевые геодезические движутся ортогонально к ${\displaystyle \partial _{y}}$ спираль внутрь к наблюдателю, так что если он посмотрит радиально, он видит другие пылинки в позиции с отставанием во времени. Однако решение является стационарным, поэтому может показаться, что наблюдатель, едущий на пылинке, будет нет увидеть, как другие зерна вращаются вокруг него. Однако напомним, что хотя первый кадр, приведенный выше ( ${\displaystyle {\vec {e}}_{j}}$) выглядит статичным в нашем графике, производные Ферми – Уокера показывают, что на самом деле это прядение относительно гироскопов. Второй кадр ( ${\displaystyle {\vec {f}}_{j}}$), кажется, вращается на нашем графике, но это гиростабилизированный, и не вращающийся инерционный наблюдатель, едущий на пылинке, действительно увидит другие пылинки, вращающиеся по часовой стрелке с угловой скоростью ${\displaystyle \omega }$ вокруг его оси симметрии. Оказывается, кроме того, оптические изображения расширяются и срезаются в направлении вращения.

Если невращающийся инерционный наблюдатель смотрит вдоль своей оси симметрии, он видит, что его коаксиальные невращающиеся инерционные сверстники явно не вращаются относительно себя, как мы и ожидали.

Форма абсолютного будущего

Согласно Хокингу и Эллису, еще одной примечательной особенностью этого пространства-времени является тот факт, что, если мы подавляем несущественную координату y, свет, излучаемый событием на мировой линии данной пылевой частицы, уходит по спирали наружу, образует круговой куспид, затем спиралью внутрь и воссоединяется в последующем событии на мировой линии исходной пылинки. Это означает, что наблюдатели, смотрящие перпендикулярно ${\displaystyle {\vec {e}}_{2}}$ направление может видеть только очень далеко, а также видеть себя в более раннее время.

Куспид - это негеодезическая замкнутая нулевая кривая. (См. Более подробное обсуждение ниже с использованием альтернативной таблицы координат.)

Замкнутые времяподобные кривые

Из-за однородности пространства-времени и взаимного скручивания нашего семейства времениподобных геодезических более или менее неизбежно, что пространство-время Гёделя должно иметь замкнутые времяподобные кривые (ЦКО). В самом деле, есть СТК через каждое событие в пространстве-времени Гёделя. Эта причинная аномалия, по-видимому, рассматривалась как суть модели самим Гёделем, который, по-видимому, стремился доказать и, возможно, преуспел в этом, что уравнения пространства-времени Эйнштейна не согласуются с тем, что мы интуитивно понимаем под временем (т. Е. что он проходит и прошлое больше не существует, философы называют презентизм, в то время как Гёдель, похоже, отстаивал нечто большее, чем философию вечность ), так же как ему, наоборот, удалось с его теоремы о неполноте в демонстрации того, что интуитивные математические концепции не могут быть полностью описаны формальными математическими системами доказательства. Посмотреть книгу Мир без времени.^[2]

Эйнштейн знал о решении Гёделя и прокомментировал его в Альберт Эйнштейн: философ-ученый^[3] что если существует серия причинно-связанных событий, в которых «серия замкнута сама по себе» (другими словами, замкнутая времениподобная кривая), то это говорит о том, что нет хорошего физического способа определить, является ли данное событие в серия произошла «раньше» или «позже», чем другое событие в серии:

В этом случае различение «раньше-позже» отказывается от мировых точек, которые лежат далеко друг от друга в космологическом смысле, и возникают те парадоксы, касающиеся направления причинной связи, о которых говорил г-н Гёдель.

Такие космологические решения уравнений гравитации (с ненулевой A-постоянной) были найдены г-ном Гёделем. Будет интересно взвесить, нельзя ли их исключать по физическим причинам.

Глобально негиперболический

Если бы пространство-время Гёделя допускало какие-либо безграничные временные гиперпластинки (например, Поверхность Коши ) любой такой СТС должен пересекать его нечетное количество раз, что противоречит тому факту, что пространство-время односвязно. Следовательно, это пространство-время не глобально гиперболический.

Цилиндрическая диаграмма

В этом разделе мы представляем другую координатную диаграмму для решения Гёделя, в которой легче увидеть некоторые из упомянутых выше особенностей.

Вывод

Гёдель не объяснил, как он нашел свое решение, но на самом деле существует множество возможных выводов. Мы сделаем набросок одного здесь и заодно проверим некоторые из утверждений, сделанных выше.

Начните с простой рамки в цилиндрический типовая диаграмма с двумя неопределенными функциями радиальной координаты:

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}=\partial _{z},\;{\vec {e}}_{2}=\partial _{r},\,{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{b(r)}}\,\left(-a(r)\,\partial _{t}+\partial _{\varphi }\right)}$

Здесь мы думаем о времениподобном единичном векторном поле ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$ как касательные к мировым линиям пылевых частиц, и их мировые линии, как правило, демонстрируют ненулевую завихренность, но исчезающие расширение и сдвиг. Давайте потребуем, чтобы тензор Эйнштейна соответствовал члену пыли и члену энергии вакуума. Это эквивалентно требованию, чтобы он соответствовал идеальной жидкости; т.е. мы требуем, чтобы компоненты тензора Эйнштейна, вычисленные относительно нашей системы отсчета, имели вид

${\displaystyle G^{{\hat {i}}{\hat {j}}}=\mu \operatorname {diag} (1,0,0,0)+p\operatorname {diag} (0,1,1,1)}$

Это дает условия

${\displaystyle b^{\prime \prime \prime }={\frac {b^{\prime \prime }\,b^{\prime }}{b}},\;\left(a^{\prime }\right)^{2}=2\,b^{\prime \prime }\,b}$

Подставляя их в тензор Эйнштейна, мы видим, что на самом деле теперь у нас есть ${\displaystyle \mu =p}$. В простейшем нетривиальном пространстве-времени, которое мы можем построить таким образом, очевидно, что этот коэффициент был бы некоторым ненулевым, но постоянный функция радиальной координаты. В частности, с некоторой долей предвидения выберем ${\displaystyle \mu =\omega ^{2}}$. Это дает

${\displaystyle b(r)={\frac {\sinh({\sqrt {2}}\omega \,r)}{{\sqrt {2}}\omega }},\;a(r)={\frac {\cosh({\sqrt {2}}\omega r)}{\omega }}+c}$

Наконец, потребуем, чтобы этот каркас удовлетворял

${\displaystyle {\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\varphi }+O\left({\frac {1}{r^{2}}}\right)}$

Это дает ${\displaystyle c=-1/\omega }$, и наша рамка станет

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}=\partial _{z},\;{\vec {e}}_{2}=\partial _{r},\;{\vec {e}}_{3}={\frac {{\sqrt {2}}\omega }{\sinh({\sqrt {2}}\omega r)}}\,\partial _{\varphi }-{\frac {{\sqrt {2}}\sinh({\sqrt {2}}\omega r)}{1+\cosh({\sqrt {2}}\omega r)}}\,\partial _{t}}$

Внешний вид световых конусов

Из метрического тензора находим, что векторное поле ${\displaystyle \partial _{\varphi }}$, который космический для малых радиусов становится ноль в ${\displaystyle r=r_{c}}$ куда

${\displaystyle r_{c}={\frac {\operatorname {arccosh} (3)}{{\sqrt {2}}\omega }}}$

Это потому, что на этом радиусе мы находим, что ${\displaystyle {\vec {e}}_{3}={\frac {\omega }{2}}\,\partial _{\varphi }-\partial _{t},}$ так ${\displaystyle {\frac {\omega }{2}}\,\partial _{\varphi }={\vec {e}}_{3}+{\vec {e}}_{0}}$ и поэтому имеет значение null. Круг ${\displaystyle r=r_{c}}$ при данном т замкнутая нулевая кривая, но не нулевая геодезическая.

Изучая кадр выше, мы видим, что координата ${\displaystyle z}$ несущественно; наше пространство-время является прямым продуктом фактора р с подписью - ++ трёхмерное многообразие. Подавление ${\displaystyle z}$ Чтобы сфокусировать наше внимание на этом трехмерном многообразии, давайте рассмотрим, как меняется внешний вид световых конусов, когда мы удаляемся от оси симметрии. ${\displaystyle r=0}$:

Два световых конуса (с соответствующими векторами кадров) на цилиндрической диаграмме для решения лямбда-пыли Гёделя. При движении наружу от номинальной оси симметрии конусы наклониться вперед и расширяться. Вертикальные координатные линии (представляющие мировые линии пылевых частиц): подобный времени.

Когда мы подходим к критическому радиусу, конусы становятся касательными к замкнутой нулевой кривой.

Конгруэнтность замкнутых времениподобных кривых

На критическом радиусе ${\displaystyle r=r_{c}}$, векторное поле ${\displaystyle \partial _{\varphi }}$ становится нулевым. Для больших радиусов это подобный времени. Таким образом, в соответствии с нашей осью симметрии мы имеем времяподобное соответствие состоит из круги и соответствует определенным наблюдателям. Однако это соответствие определяется только вне цилиндра ${\displaystyle r=r_{c}}$.

Это не геодезическая конгруэнтность; скорее, каждый наблюдатель в этой семье должен поддерживать постоянное ускорение чтобы держать свой курс. Наблюдатели с меньшими радиусами должны сильнее ускоряться; в качестве ${\displaystyle r\rightarrow r_{c}}$ величина ускорения расходится, что и ожидается, учитывая, что ${\displaystyle r=r_{c}}$ - нулевая кривая.

Нулевые геодезические

Если мы исследуем световой конус события на оси симметрии в прошлом, мы обнаружим следующую картину:

Нулевые геодезические вращаются по спирали против часовой стрелки по направлению к наблюдателю на оси симметрии. Это показывает их "сверху".

Напомним, что вертикальные координатные линии на нашей диаграмме представляют собой мировые линии пылевых частиц, но несмотря на их прямое появление в нашей таблице, конгруэнция, образованная этими кривыми, имеет ненулевую завихренность, поэтому мировые линии на самом деле крутить друг друга. Тот факт, что нулевые геодезические закручиваются внутрь, как показано выше, означает, что когда наш наблюдатель смотрит радиально наружу, он видит близлежащие частицы пыли, но не в их текущем местоположении, а в их более ранних местах. Это именно то, чего можно было бы ожидать, если бы частицы пыли действительно вращались друг относительно друга.

Нулевые геодезические геометрически прямой; на рисунке они кажутся спиралями только потому, что координаты «вращаются», чтобы частицы пыли оставались неподвижными.

Абсолютное будущее

Согласно Хокингу и Эллису (см. Цитируемую ниже монографию), все световые лучи, испускаемые событием на оси симметрии, снова сходятся в более позднем событии на оси, при этом нулевые геодезические образуют круговой куспид (который является нулевой кривой, но не кривой). нулевая геодезическая):

Картина Хокинга и Эллиса расширения и обратного схождения света, излучаемого наблюдателем на оси симметрии.

Это означает, что в решении лямбдадуста Гёделя абсолютное будущее каждого события имеет характер, очень отличный от того, что мы могли бы наивно ожидать.

Космологическая интерпретация

Следуя Гёделю, мы можем интерпретировать пылевые частицы как галактики, так что решение Гёделя становится космологическая модель вращающейся Вселенной. Помимо вращения, эта модель не имеет Расширение телескопа Хаббла, так что это не реалистичная модель Вселенной, в которой мы живем, но ее можно рассматривать как иллюстрацию альтернативной Вселенной, что в принципе допускается общей теорией относительности (если допустить законность ненулевой космологической постоянной). Менее известные решения Гёделя демонстрируют как вращение, так и расширение Хаббла, а также обладают другими качествами его первой модели, но путешествие в прошлое невозможно. По словам С. В. Хокинга, эти модели вполне могут быть разумным описанием вселенной, которую мы наблюдаем., однако данные наблюдений совместимы только с очень низкой скоростью вращения.^[4] Качество этих наблюдений постоянно улучшалось вплоть до смерти Гёделя, и он всегда спрашивал: «Вращается ли вселенная?» и получить ответ «нет, это не так».^[5]

Мы видели, что наблюдатели, лежащие на у ось (на исходной диаграмме) - остальная часть Вселенной вращается вокруг этой оси по часовой стрелке. Однако однородность пространства-времени показывает, что направление но не позиция этой «оси» выделяется.

Некоторые интерпретировали вселенную Гёделя как контрпример к надеждам Эйнштейна на то, что общая теория относительности должна демонстрировать некую Принцип маха,^[4] ссылаясь на тот факт, что материя вращается (мировые линии изгибаются друг вокруг друга) способом, достаточным для выбора предпочтительного направления, хотя и без выделенной оси вращения.

Другие^{[нужна цитата ]} возьмем принцип Маха как некоторый физический закон, связывающий определение невращающейся инерциальной системы отсчета в каждом событии с глобальным распределением и движением материи повсюду во Вселенной, и скажем, что, поскольку невращающиеся инерциальные системы отсчета точно связаны с вращением пыли в как следует из такого принципа Маха, эта модель делает согласуются с идеями Маха.

Известно множество других точных решений, которые можно интерпретировать как космологические модели вращающихся вселенных. Посмотреть книгу Однородные релятивистские космологии (1975) Райана и Шепли для некоторых из этих обобщений.

Смотрите также

• van Stockum пыль, для другого вращающегося пылевого раствора с (истинной) цилиндрической симметрией,
• Раствор для пыли, статья о пылевых растворах в общей теории относительности.

Примечания

1. Гёдель, К., "Пример нового типа космологических решений полевых уравнений гравитации Эйнштейна", Ред. Мод. Phys. 21, 447, опубликовано 1 июля 1949 г.
2. Yourgrau, Palle (2005). Мир без времени: забытое наследие Гёделя и Эйнштейна. Нью-Йорк: Основные книги. ISBN  0465092942.
3. Эйнштейн, Альберт (1949). «Ответ Эйнштейна на критику». Альберт Эйнштейн: философ-ученый. Издательство Кембриджского университета. Получено 29 ноября 2012.
4. С. В. Хокинг, Вступительная записка к 1949 и 1952 гг. в Курте Гёделе, Собрание сочинений, Том II (С. Феферман и др., Ред.).
5. Размышления о Курте Гёделе, Хао Ван, MIT Press, (1987), стр. 183.

Рекомендации

• Г. Дауткур и М. Абдель-Мегиед (2006). «Возвращаясь к световому конусу вселенной Геделя». Классическая и квантовая гравитация. 23 (4): 1269–1288. arXiv:gr-qc / 0511015. Bibcode:2006CQGra..23.1269D. Дои:10.1088/0264-9381/23/4/013.
• Стефани, Ганс; Крамер, Дитрих; Маккаллум, Малькольм; Хенселаерс, Корнелиус; Герлт, Эдуард (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-46136-7. Видеть Раздел 12.4 для теоремы единственности.
• Ryan, M. P .; Шепли, Л. С. (1975). Однородные релятивистские космологии. Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-08153-0.
• Хокинг, Стивен; Эллис, Г. Ф. Р. (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-09906-4. Видеть Раздел 5.7 для классического обсуждения СТС в пространстве-времени Гёделя. Предупреждение: на рис. 31 световые конусы действительно опрокидываются, но они также расширяются, так что вертикальные линии координат всегда похожи на время; действительно, они представляют мировые линии пылевых частиц, поэтому они похожи на временные геодезические.
• Гёдель, К. (1949). «Пример нового типа космологического решения полевых уравнений гравитации Эйнштейна». Ред. Мод. Phys. 21 (3): 447–450. Bibcode:1949РвМП ... 21..447Г. Дои:10.1103 / RevModPhys.21.447.
• Вселенная Гёделя на arxiv.org.
• Вукович Р. (2014): Тензорная модель вращающейся Вселенной., Упражнения по специальной теории относительности.