Прецессия Томаса - Thomas precession

Не путать с Вращение Томаса.

Ллевеллин Томас (1903 – 1992)

В физика, то Прецессия Томаса, названный в честь Ллевеллин Томас, это релятивистский исправление, которое относится к вращение элементарной частицы или вращение макроскопического гироскоп и связывает угловая скорость спина частицы, следующей за криволинейный орбиты к угловой скорости орбитального движения.

Для данного инерциальная система отсчета, если второй кадр усилен по Лоренцеву относительно него, а третий - по сравнению со вторым, но не коллинеарен с первым усилением, то преобразование Лоренца между первым и третьим кадрами включает комбинированное усиление и вращение, известное как "Вигнер вращение "или" вращение Томаса ". Для ускоренного движения ускоренный кадр имеет инерционный кадр в каждый момент. Два увеличения на небольшой интервал времени (измеренный в лабораторном кадре) друг от друга приводят к вращению Вигнера после второго ускорения. В пределе временной интервал стремится к нулю, ускоренная рамка будет вращаться в каждый момент, поэтому ускоренная рамка вращается с угловой скоростью.

Прецессию можно понять геометрически как следствие того, что Космос скоростей в теории относительности гиперболический, и так параллельный транспорт вектора (угловая скорость гироскопа) по окружности (его линейная скорость) оставляет его направленным в другом направлении или понимается алгебраически как результат некоммутативность из Преобразования Лоренца. Прецессия Томаса вносит поправку в спин-орбитальное взаимодействие в квантовая механика, который учитывает релятивистское замедление времени между электрон и ядро из атом.

Прецессия Томаса - это кинематический эффект в плоское пространство-время из специальная теория относительности. В искривленном пространстве-времени общая теория относительности, Прецессия Томаса в сочетании с геометрическим эффектом дает прецессия де Ситтера. Хотя прецессия Томаса (чистое вращение после траектории, которая возвращается к своей начальной скорости) является чисто кинематическим эффектом, он возникает только при криволинейном движении и поэтому не может наблюдаться независимо от некоторой внешней силы, вызывающей криволинейное движение, например, вызванное электромагнитное поле, а гравитационное поле или механическая сила, поэтому прецессия Томаса обычно сопровождается динамические эффекты.^[1]

Если система не испытывает внешнего крутящего момента, например, во внешних скалярных полях, ее спиновая динамика определяется только прецессией Томаса. Одиночное дискретное вращение Томаса (в отличие от серии бесконечно малых вращений, которые складываются в прецессию Томаса) присутствует в ситуациях, когда есть три или более инерциальных системы отсчета в неколлинеарном движении, как можно увидеть, используя Преобразования Лоренца.

История

Прецессия Томаса в теории относительности была уже известна Людвик Зильберштейн,^[2] в 1914 г. Но единственное, что Томас знал о релятивистской прецессии, исходил от де Ситтер статья о релятивистской прецессии Луны, впервые опубликованная в книге Эддингтон.^[3]

В 1925 году Томас релятивистски пересчитал частоту прецессии разделения дублетов в тонкой структуре атома. Таким образом, он нашел недостающий фактор 1/2, который стал известен как половина Томаса.

Это открытие релятивистской прецессии электронного спина привело к пониманию значения релятивистского эффекта. Эффект получил название «прецессия Томаса».

Вступление

Определение

Рассмотрим движущуюся физическую систему Пространство-время Минковского. Предположим, что в любой момент существует такая инерциальная система, в которой система покоится. Это предположение иногда называют третьим постулатом относительности.^[4] Это означает, что в любой момент координаты и состояние системы могут быть преобразованы Лоренцом в лабораторную систему через немного Преобразование Лоренца.

Пусть система подчиняется внешние силы которые не производят крутящий момент относительно его центра масс в его (мгновенной) системе покоя. Условие «отсутствия крутящего момента» необходимо, чтобы изолировать явление прецессии Томаса. В качестве упрощающего предположения предполагается, что внешние силы возвращают систему к ее начальной скорости через некоторое конечное время. Исправить рамку Лоренца О такие, что начальная и конечная скорости равны нулю.

В Вектор спина Паули – Любанского S_μ определяется как (0, S_я) в системе отдых рама, с S_я трехмерный вектор углового момента относительно центра масс. При движении от исходного положения к конечному, S_μ подвергается ротации, как указано в О, от начального до конечного значения. Это непрерывное изменение - прецессия Томаса.^[5]

Заявление

Значение γ²/(γ + 1) в качестве β = v / c увеличивается, с v мгновенная величина скорости частицы. Вращение Томаса незначительно для β < 0.5, стабильно увеличивается в течение 0.5 < β < 0.8, затем быстро устремляется в бесконечность при β стремится к 1. "Половина Томаса" очевидна на пределе низкой скорости, а вращение очень отчетливо только на скоростях, приближающихся к скорости света.

Рассмотрим движение частица. Представьте лабораторная рама Σ в котором наблюдатель может измерить относительное движение частицы. В каждый момент времени частица имеет инерциальная система отсчета в котором он покоится. По отношению к этой лабораторной системе мгновенная скорость частицы равна v(т) с величиной |v| = v ограниченный скорость света c, так что 0 ≤ v < c. Здесь время т это координировать время как измерено в лабораторной раме, нет в подходящее время частицы.

Помимо верхнего предела по величине, скорость частицы является произвольной и не обязательно постоянной, соответствующий ей вектор ускорение является а = dv(т)/dt. В результате вигнеровского вращения в каждый момент времени рамка частицы прецессирует с угловая скорость предоставленный^[6][7][8][9]

Прецессия Томаса

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\text{T}}={\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\right)\mathbf {a} \times \mathbf {v} }$

где × - перекрестное произведение и

${\displaystyle \gamma ={\dfrac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {|\mathbf {v} (t)|^{2}}{c^{2}}}}}}}$

это мгновенный Фактор Лоренца, функция мгновенной скорости частицы. Как и любая угловая скорость, ω_Т это псевдовектор; его величина - угловая скорость прецессии системы координат частицы (в радианы в секунду), а направление указывает вдоль оси вращения. Как обычно, используется правое соглашение о перекрестном произведении (см. правило правой руки ).

Прецессия зависит от ускоренный движение, а неколлинеарность мгновенной скорости и ускорения частицы. Прецессии не происходит, если частица движется с постоянной скоростью (постоянная v так а = 0) или ускоряется по прямой (в этом случае v и а параллельны или антипараллельны, поэтому их перекрестное произведение равно нулю). Частица должна двигаться по кривой, скажем по дуге, спираль, спираль, или круговая орбита или же эллиптическая орбита, чтобы его каркас прецессировал. Угловая скорость прецессии максимальна, если векторы скорости и ускорения перпендикулярны на протяжении всего движения (круговая орбита), и велика, если их величины велики (величина v почти c).

В нерелятивистском пределе v → 0 так γ → 1, а угловая скорость приблизительно равна

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\text{T}}\approx {\frac {1}{2c^{2}}}\mathbf {a} \times \mathbf {v} }$

Коэффициент 1/2 оказывается критическим фактором для согласия с экспериментальными результатами. Он неофициально известен как «половина Томаса».

Математическое объяснение

Преобразования Лоренца

Описание относительного движения включает Преобразования Лоренца, и их удобно использовать в матрица форма; символьные матричные выражения суммируют преобразования и просты в использовании, а при необходимости полные матрицы могут быть записаны явно. Кроме того, чтобы предотвратить дополнительные факторы c загромождая уравнения, удобно использовать определение β(т) = v(т)/c с величиной |β| = β такой, что 0 ≤ β < 1.

Пространственно-временные координаты лабораторного кадра собираются в 4 × 1 вектор столбца, а усиление представлено как 4 × 4 симметричная матрица, соответственно

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}ct\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\,,\quad B({\boldsymbol {\beta }})={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta _{x}&-\gamma \beta _{y}&-\gamma \beta _{z}\\-\gamma \beta _{x}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{x}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\gamma \beta _{y}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}^{2}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{y}\beta _{z}}{\beta ^{2}}}\\-\gamma \beta _{z}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}\beta _{x}}{\beta ^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}\beta _{y}}{\beta ^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {\beta _{z}^{2}}{\beta ^{2}}}\\\end{bmatrix}}}$

и повернуть

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}}}}}$

это Фактор Лоренца из β. В других кадрах соответствующие координаты также расположены в векторах-столбцах. В обратная матрица повышения соответствует усилению в противоположном направлении и определяется выражением B(β)⁻¹ = B(−β).

В момент лабораторного времени т измеренный в лабораторном кадре, преобразование пространственно-временных координат из лабораторного кадра Σ в систему отсчета частицы Σ′ является

${\displaystyle X'=B({\boldsymbol {\beta }})X}$

(1)

и в более позднее время, зарегистрированное в лаборатории т + Δт мы можем определить новый фрейм Σ ′ ′ для частицы, движущейся со скоростью β + Δβ относительно Σ, и соответствующее повышение

${\displaystyle X''=B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})X}$

(2)

Векторы β и Δβ два отдельных вектора. Последний представляет собой небольшое приращение, и его можно удобно разделить на компоненты, параллельные (‖) и перпендикулярные () к β^{[nb 1]}

${\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\beta }}=\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }+\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp }}$

Объединение (1) и (2) получает преобразование Лоренца между Σ ′ и Σ ′ ′,

${\displaystyle X''=B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})B(-{\boldsymbol {\beta }})X'\,,}$

(3)

и эта композиция содержит всю необходимую информацию о движении между этими двумя лабораторными временами. Уведомление B(β + Δβ)B(−β) и B(β + Δβ) являются бесконечно малыми преобразованиями, потому что они включают небольшое увеличение относительной скорости, в то время как B(−β) не является.

Состав два бусты приравниваются к одному бусту в сочетании с Вигнер вращение вокруг оси, перпендикулярной относительным скоростям;

${\displaystyle \Lambda =B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})B(-{\boldsymbol {\beta }})=R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})B(\Delta \mathbf {b} )}$

(4)

Вращение задается матрицей вращения 4 × 4. р в ось-угол представление, а системы координат принимаются правша. Эта матрица вращает трехмерные векторы против часовой стрелки вокруг оси (активное преобразование ) или, что то же самое, вращает систему координат по часовой стрелке вокруг той же оси (пассивное преобразование). Вектор ось-угол Δθ параметризует вращение, его величина Δθ угол Σ ′ ′ повернулся, и направление параллельно оси вращения, в этом случае ось параллельна оси вращения. перекрестное произведение (−β)×(β + Δβ) = −β× Δβ. Если углы отрицательные, направление вращения меняется на противоположное. Обратная матрица имеет вид р(Δθ)⁻¹ = р(−Δθ).

Повышению соответствует вектор повышения (небольшое изменение). Δб, с величиной и направлением относительной скорости наддува (деленной на c). Повышение B(Δб) и вращение р(Δθ) вот бесконечно малые преобразования, потому что Δб и вращение Δθ маленькие.

Вращение вызывает прецессию Томаса, но здесь есть тонкость. Чтобы интерпретировать систему отсчета частицы как сопутствующую инерциальную систему отсчета относительно лабораторной системы отсчета и согласиться с нерелятивистским пределом, мы ожидаем, что преобразование между мгновенными системами отсчета частицы временами т и т + Δт быть связанным повышением без вращение. Объединение (3) и (4) и перестановка дает

${\displaystyle B(\Delta \mathbf {b} )X'=R(-\Delta {\boldsymbol {\theta }})X''=X'''\,,}$

(5)

где еще один мгновенный кадр Σ ′ ′ ′ вводится с координатами Икс′′′, чтобы предотвратить слияние с Σ ′ ′. Обобщая систему отсчета: в лабораторных условиях Σ наблюдатель измеряет движение частицы, и три мгновенных инерциальных системы отсчета, в которых частица находится в состоянии покоя, являются Σ ′ (вовремя т), Σ ′ ′ (вовремя т + Δт), и Σ ′ ′ ′ (вовремя т + Δт). Рамы Σ ′ ′ и Σ ′ ′ ′ находятся в одном месте и в одно время, они отличаются только вращением. Напротив Σ ′ и Σ ′ ′ ′ различаются ускорением и лабораторным интервалом времени Δт.

Связь координат Икс′′′ в координаты лаборатории Икс через (5) и (2);

${\displaystyle X'''=R(-\Delta {\boldsymbol {\theta }})X''=R(-\Delta {\boldsymbol {\theta }})B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})X\,,}$

(6)

рама Σ ′ ′ ′ повернут в отрицательном смысле.

Ротация происходит между двумя моментами лабораторного времени. В качестве Δт → 0, рамка частицы вращается в каждый момент, и непрерывное движение частицы составляет непрерывное вращение с угловая скорость в каждый момент. Разделение −Δθ к Δт, и принимая предел Δт → 0, угловая скорость по определению

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{T}=-\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\frac {\Delta {\boldsymbol {\theta }}}{\Delta t}}}$

(7)

Осталось найти что Δθ точно есть.

Извлечение формулы

Состав можно получить, явно вычислив матричное произведение. Матрица повышения β + Δβ потребуются величина и фактор Лоренца этого вектора. С Δβ мала, члены «второго порядка» |Δβ|², (Δβ_Икс)², (Δβ_у)², Δβ_ИксΔβ_у и выше незначительны. Воспользовавшись этим фактом, квадрат величины вектора равен

${\displaystyle |{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{2}=|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}+2{\boldsymbol {\beta }}\cdot \Delta {\boldsymbol {\beta }}}$

и расширяя фактор Лоренца β + Δβ как степенной ряд дает первому порядку в Δβ,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {1-|{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{2}}}}&=1+{\frac {1}{2}}|{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{2}+{\frac {3}{8}}|{\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }}|^{4}+\cdots \\&=\left(1+{\frac {|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}}{2}}+{\frac {3}{8}}|{\boldsymbol {\beta }}|^{4}+\cdots \right)+\left(1+{\frac {3}{2}}|{\boldsymbol {\beta }}|^{2}+\cdots \right){\boldsymbol {\beta }}\cdot \Delta {\boldsymbol {\beta }}\\&\approx \gamma +\gamma ^{3}{\boldsymbol {\beta }}\cdot \Delta {\boldsymbol {\beta }}\end{aligned}}}$

используя фактор Лоренца γ из β как указано выше.

Состав ускорителей в плоскости xy

Чтобы упростить расчет без потери общности, возьмите направление β быть полностью в Икс направление, и Δβ в ху плоскости, поэтому параллельный компонент проходит вдоль Икс направление, а перпендикулярный компонент - вдоль у направление. Ось вращения Вигнера проходит вдоль z направление. в Декартова основа е_Икс, е_у, е_z, набор взаимно перпендикулярных единичные векторы в указанном ими направлении, мы имеем

${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\beta \mathbf {e} _{x}\,,\quad \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }=\Delta \beta _{x}\mathbf {e} _{x}\,,\quad \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp }=\Delta \beta _{y}\mathbf {e} _{y}\,,\quad {\boldsymbol {\beta }}\times \Delta {\boldsymbol {\beta }}=\beta \Delta \beta _{y}\mathbf {e} _{z}}$

Эта упрощенная настройка позволяет явно задавать матрицы повышения с минимальным количеством элементов матрицы. В общем, конечно, β и Δβ может быть в любой плоскости, окончательный результат, приведенный позже, не будет отличаться.

Явно, во время т повышение отрицательное Икс направление

${\displaystyle B(-{\boldsymbol {\beta }})={\begin{bmatrix}\gamma &\gamma \beta &0&0\\\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

и повышение в то время т + Δт является

${\displaystyle B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})={\begin{bmatrix}\gamma +\gamma ^{3}\beta \Delta \beta _{x}&-(\gamma \beta +\gamma ^{3}\Delta \beta _{x})&-\gamma \Delta \beta _{y}&0\\-(\gamma \beta +\gamma ^{3}\Delta \beta _{x})&\gamma +\gamma ^{3}\beta \Delta \beta _{x}&\left({\dfrac {\gamma -1}{\beta }}\right)\Delta \beta _{y}&0\\-\gamma \Delta \beta _{y}&\left({\dfrac {\gamma -1}{\beta }}\right)\Delta \beta _{y}&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

куда γ фактор Лоренца β, нет β + Δβ. Составное преобразование - это матричное произведение

${\displaystyle \Lambda =B({\boldsymbol {\beta }}+\Delta {\boldsymbol {\beta }})B(-{\boldsymbol {\beta }})={\begin{bmatrix}1&-\gamma ^{2}\Delta \beta _{x}&-\gamma \Delta \beta _{y}&0\\-\gamma ^{2}\Delta \beta _{x}&1&\left({\dfrac {\gamma -1}{\beta }}\right)\Delta \beta _{y}&0\\-\gamma \Delta \beta _{y}&-\left({\dfrac {\gamma -1}{\beta }}\right)\Delta \beta _{y}&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Представляем буст-генераторы

${\displaystyle K_{x}={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad K_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad K_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}}$

и генераторы вращения

${\displaystyle J_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad J_{y}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad J_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

вместе с скалярное произведение · Облегчает координатно-независимое выражение

${\displaystyle \Lambda =I-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)({\boldsymbol {\beta }}\times \Delta {\boldsymbol {\beta }})\cdot \mathbf {J} -\gamma (\gamma \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }+\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp })\cdot \mathbf {K} }$

что имеет место, если β и Δβ лежать в любой плоскости. Это бесконечно малый Преобразование Лоренца в виде комбинированного разгона и вращения^{[nb 2]}

${\displaystyle \Lambda =I-\Delta {\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} -\Delta \mathbf {b} \cdot \mathbf {K} }$

куда

${\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\theta }}=\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right){\boldsymbol {\beta }}\times \Delta {\boldsymbol {\beta }}={\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\right)\mathbf {v} \times \Delta \mathbf {v} }$

${\displaystyle \Delta \mathbf {b} =\gamma (\gamma \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }+\Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp })}$

После разделения Δθ к Δт и взяв предел, как в (7), получаем мгновенную угловую скорость

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{T}={\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\right)\mathbf {a} \times \mathbf {v} }$

куда а это ускорение частицы, наблюдаемой в лабораторном кадре. Никакие силы не указывались и не использовались при выводе, поэтому прецессия - это кинематический эффект - он возникает из геометрических аспектов движения. Однако силы вызывают ускорения, поэтому прецессия Томаса наблюдается, если на частицу действуют силы.

Прецессия Томаса также может быть получена с использованием уравнения переноса Ферми-Уокера.^[10] Предполагается равномерное круговое движение в плоском пространстве-времени Минковского. 4-вектор спина ортогонален 4-вектору скорости. Транспорт Ферми-Уокера сохраняет эту связь. Обнаружено, что скалярное произведение 4-вектора ускорения с 4-вектором спина изменяется во времени синусоидально с угловой частотой Ύ ω, где ω - угловая частота кругового движения, а Ύ = 1 / √⟨1-v ^ 2 / c ^ 2). Это легко показать, взяв вторую производную по времени от этого скалярного произведения. Поскольку эта угловая частота превышает ω, спин прецессирует в ретроградном направлении. Разница (γ-1) ω представляет собой уже заданную угловую частоту прецессии Томаса, как это просто показано, понимая, что величина 3-ускорения равна ω v.

Приложения

На электронных орбиталях

В квантовой механике Прецессия Томаса это поправка к спин-орбитальное взаимодействие, который учитывает релятивистский замедление времени между электрон и ядро в водородные атомы.

По сути, он утверждает, что вращающиеся объекты прецессия когда они ускоряются в специальная теория относительности потому что Лоренц усиливает не ездят друг с другом.

Чтобы вычислить спин частицы в магнитное поле, необходимо также учитывать Ларморова прецессия.

В маятнике Фуко

Вращение плоскости качания Маятник Фуко можно рассматривать как результат параллельный транспорт маятника в двумерной сфере евклидова пространства. В гиперболический пространство скоростей в Пространство-время Минковского представляет собой трехмерную (псевдо-) сферу с мнимым радиусом и мнимой времениподобной координатой. Параллельный перенос вращающейся частицы в релятивистском пространстве скоростей приводит к прецессии Томаса, которая похожа на вращение плоскости качания маятника Фуко.^[11] Угол поворота в обоих случаях определяется интегралом площадей кривизны в соответствии с Теорема Гаусса – Бонне.

Прецессия Томаса дает поправку на прецессию маятника Фуко. Для маятника Фуко, расположенного в городе Неймеген в Нидерландах, поправка составляет:

${\displaystyle \omega \approx 9.5\cdot 10^{-7}\,\mathrm {arcseconds} /\mathrm {day} .}$

Обратите внимание, что это более чем на два порядка меньше, чем прецессия из-за общерелятивистской поправки, возникающей из перетаскивание кадра, то Прецессия Лензе-Тирринга.

Смотрите также

• Формула сложения скорости
• Релятивистский угловой момент

Замечания

1. Явно, используя векторная проекция и отклонение относительно направления β дает

   ${\displaystyle \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\parallel }={\frac {\Delta {\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}{\beta ^{2}}}{\boldsymbol {\beta }}\,,\quad \Delta {\boldsymbol {\beta }}_{\perp }=\Delta {\boldsymbol {\beta }}-{\frac {\Delta {\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}{\beta ^{2}}}{\boldsymbol {\beta }}}$

   но проще использовать параллельно-перпендикулярные компоненты.
2. Матрицы вращения и повышения (каждая бесконечно малая) задаются

   ${\displaystyle R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})=I-\Delta {\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \,,\quad B(\Delta \mathbf {b} )=I-\Delta \mathbf {b} \cdot \mathbf {K} \,,}$

   На бесконечно малом уровне они ездить друг с другом

   ${\displaystyle \Lambda =B(\Delta \mathbf {b} )R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})=R(\Delta {\boldsymbol {\theta }})B(\Delta \mathbf {b} )}$

   потому что продукты (Δθ·J) (Δб·K) и (Δб·K) (Δθ·J) незначительны. Полный наддув и вращения не ездить в общем.

Примечания

1. Малыкин 2006
2. Зильберштейн 1914, п. 169
3. Эддингтон 1924
4. Гольдштейн 1980
5. Бен-Менахем 1986
6. Джексон 1975, п. 543–546
7. Гольдштейн 1980, п. 288
8. Сард 1970, п. 280
9. Sexl & Urbantke 1992, п. 42 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFSexlUrbantke1992 (помощь)
10. Миснер, Торн и Уиллер, Гравитация, с. 165, с. 175-176.
11. Криворученко 2009 г.

Рекомендации

• Томас Л. Х. Кинематика электрона с осью, Фил. Mag. 7 1927 1-23
• Бен-Менахем, А. (1985). «Повторение вращения Вигнера». Являюсь. J. Phys. 53 (1): 62–66. Bibcode:1985AmJPh..53 ... 62B. Дои:10.1119/1.13953.
• Бен-Менахем, С. (1986). «Прецессия Томаса и кривизна скоростного пространства». J. Math. Phys. 27 (5): 1284–1286. Bibcode:1986JMP .... 27.1284B. Дои:10.1063/1.527132.
• Кушинг, Дж. Т. (1967). «Векторные преобразования Лоренца». Являюсь. J. Phys. 35 (9): 858–862. Bibcode:1967AmJPh..35..858C. Дои:10.1119/1.1974267.
• Эйнштейн, А. (1922), "Взгляд на теорию относительности", Природа, Лондон: Метуэн, 112 (2809): 319, Bibcode:1923Натура.112..319., Дои:10.1038 / 112319a0, S2CID  4094626; (Электронная книга Project Gutenberg)
• Эддингтон, А. (1924). Математическая теория относительности. Издательство Кембриджского университета; (Вступление)
• Кремер, Х. (Январь 2004 г.). «Фактор прецессии Томаса в спин-орбитальном взаимодействии» (PDF). Являюсь. J. Phys. 72 (1): 51–52. arXiv:физика / 0310016. Bibcode:2004AmJPh..72 ... 51K. Дои:10.1119/1.1615526. S2CID  119533324.
• Криворученко, М. И. (2009). «Вращение плоскости качания маятника Фуко и прецессия спина Томаса: две грани одной монеты». Phys. УСП. 52 (8): 821–829. arXiv:0805.1136. Bibcode:2009PhyU ... 52..821K. Дои:10.3367 / УФНэ.0179.200908е.0873. S2CID  118449576.
• Малыкин, Г. Б. (2006). «Прецессия Томаса: правильные и неправильные решения». Phys. УСП. 49 (8): 83 с. Bibcode:2006PhyU ... 49..837M. Дои:10.1070 / PU2006v049n08ABEH005870.
• Мокану, К. (1992). «О парадоксе релятивистского состава скоростей и вращении Томаса». Найденный. Phys. Латыш. 5 (5): 443–456. Bibcode:1992ФоФЛ ... 5..443М. Дои:10.1007 / BF00690425. ISSN  0894-9875. S2CID  122472788.
• Ребилас, К. (2013). «Комментарий к элементарному анализу специальной релятивистской комбинации скоростей, вращения Вигнера и прецессии Томаса». Евро. J. Phys. 34 (3): L55 – L61. Bibcode:2013EJPh ... 34L..55R. Дои:10.1088 / 0143-0807 / 34/3 / L55. (бесплатный доступ)
• Rhodes, J. A .; Семон, М. Д. (2005). «Релятивистское пространство скоростей, вигнеровское вращение и прецессия Томаса». Являюсь. J. Phys. 72 (7): 943–960. arXiv:gr-qc / 0501070. Bibcode:2005APS..NES..R001S. Дои:10.1119/1.1652040. S2CID  14764378.
• Зильберштейн, Л. (1914). Теория относительности. Лондон: Macmillan Publishers.
• Томас, Л. Х. (1926). «Движение вращающегося электрона». Природа. 117 (2945): 514. Bibcode:1926Натура.117..514Т. Дои:10.1038 / 117514a0. S2CID  4084303.
• Унгар, А. А. (1988). «Вращение Томаса и параметризация группы Лоренца». Основы письма по физике. 1 (1): 57–81. Bibcode:1988ФоФЛ ... 1 ... 57У. Дои:10.1007 / BF00661317. ISSN  0894-9875. S2CID  121240925.
• Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей, 1, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-55001-7
• Вигнер, Э. (1939), «Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца», Анналы математики, 40 (1): 149–204, Bibcode:1939AnMat..40..149W, Дои:10.2307/1968551, JSTOR  1968551, МИСТЕР  1503456, S2CID  121773411.

Учебники

• Гольдштейн, Х. (1980) [1950]. «Глава 7». Классическая механика (2-е изд.). Чтение MA: Эддисон-Уэсли. ISBN  978-0-201-02918-5.
• Джексон, Дж. Д. (1999) [1962]. «Глава 11». Классическая электродинамика (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-30932-1.
• Джексон, Дж. Д. (1975) [1962]. «Глава 11». Классическая электродинамика (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. стр.542–545. ISBN  978-0-471-43132-9.
• Ландау, Л.; Лифшиц, Э. (2002) [1939]. Классическая теория поля. Курс теоретической физики. 2 (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. п. 38. ISBN  0-7506-2768-9.
• Риндлер, В. (2006) [2001]. «Глава 9». Специальная, общая и космологическая теория относительности (2-е изд.). Даллас: Oxford University Press. ISBN  978-0-19-856732-5.
• Райдер, Л. Х. (1996) [1985]. Квантовая теория поля (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521478144.
• Сард, Р. Д. (1970). Релятивистская механика - специальная теория относительности и классическая динамика частиц. Нью-Йорк: В. А. Бенджамин. ISBN  978-0805384918.
• Р. У. Сексл, Х. К. Урбантке (2001) [1992]. Относительность, группы частиц. Специальная теория относительности и релятивистская симметрия в физике поля и частиц. Springer. С. 38–43. ISBN  978-3211834435.

внешняя ссылка

• Статья в Mathpages о Прецессии Томаса
• Альтернативный, подробный вывод Прецессии Томаса (Роберт Литтлджон)
• Краткий вывод прецессии Томаса