Ван Стокум пыль - Van Stockum dust

В общая теория относительности, то van Stockum пыль является точным решением Уравнение поля Эйнштейна в котором гравитационное поле создается пыль вращающийся вокруг оси цилиндрической симметрии. Поскольку плотность пыли равна увеличение с удалением от этой оси решение довольно искусственное, но как одно из простейших известных решений в общей теории относительности, оно стоит как педагогически важный пример.

Это решение названо в честь Виллем Якоб ван Стокум, который открыл его заново в 1937 году независимо от гораздо более раннего открытия Корнелиус Ланцош в 1924 году. В настоящее время рекомендуется называть это решение Пыль Ланцоша – ван Штокума.

Вывод

Один из способов получить это решение - найти цилиндрически симметричный идеальный жидкий раствор в которой жидкость проявляет жесткое вращение. То есть мы требуем, чтобы мировые линии жидких частиц образовывали времяподобное сравнение, имеющее ненулевое значение. завихренность но исчезает расширение и сдвиг. (На самом деле, поскольку частицы пыли не чувствуют сил, это будет похоже на времяподобное геодезический совпадение, но нам не нужно предполагать это заранее.)

Простой Анзац соответствующая этому спросу выражается следующим поле кадра, который содержит две неопределенные функции от ${\displaystyle r}$:

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}=f(r)\,\partial _{z},\;{\vec {e}}_{2}=f(r)\,\partial _{r},\;{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\varphi }-h(r)\,\partial _{t}}$

Во избежание недоразумений следует подчеркнуть, что двойная рама

${\displaystyle \sigma ^{0}=dt+h(r)r\,d\varphi ,\;\sigma ^{1}={\frac {1}{f(r)}}\,dz,\;\sigma ^{2}={\frac {1}{f(r)}}\,dr,\;\sigma ^{3}=rd\varphi }$

дает метрический тензор в терминах тех же двух неопределенных функций:

${\displaystyle g=-\sigma ^{0}\otimes \sigma ^{0}+\sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}+\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{2}+\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{3}}$

Умножение дает

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}-2h(r)r\,dt\,d\varphi +(1-h(r)^{2})r^{2}\,d\varphi ^{2}+{\frac {dz^{2}+dr^{2}}{f(r)^{2}}}}$

${\displaystyle -\infty <t,z<\infty ,\;0<r<\infty ,\;-\pi <\varphi <\pi }$

Мы вычисляем тензор Эйнштейна относительно этой системы отсчета в терминах двух неопределенных функций и требуем, чтобы результат имел форму, подходящую для идеального жидкого решения с единичным времяподобным вектором ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$ всюду по касательной к мировой линии жидкой частицы. То есть мы требуем, чтобы

${\displaystyle G^{{\hat {m}}{\hat {n}}}=8\pi \mu \operatorname {diag} (1,0,0,0)+8\pi p\operatorname {diag} (0,1,1,1)}$

Это дает условия

${\displaystyle f^{\prime \prime }={\frac {(f^{\prime })^{2}}{f}}+{\frac {f^{\prime }}{r}},\;(h^{\prime })^{2}+{\frac {2h^{\prime }h}{r}}+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}={\frac {4f^{\prime }}{rf}}}$

Решение для ${\displaystyle f}$ а затем для ${\displaystyle h}$ дает желаемый фрейм, определяющий решение van Stockum:

${\displaystyle {\vec {e}}_{0}=\partial _{t},\;{\vec {e}}_{1}=\exp(a^{2}r^{2}/2)\,\partial _{z},\;{\vec {e}}_{2}=\exp(a^{2}r^{2}/2)\,\partial _{r},\;{\vec {e}}_{3}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\phi }-ar\,\partial _{t}}$

Обратите внимание, что этот фрейм определен только на ${\displaystyle r>0}$.

Характеристики

Вычисление тензора Эйнштейна относительно нашей системы отсчета показывает, что на самом деле давление исчезает, так что у нас есть пыль решение. Массовая плотность пыли оказывается равной

${\displaystyle \mu ={\frac {a^{2}}{2\pi }}\exp(a^{2}r^{2})}$

К счастью, это конечно на оси симметрии ${\displaystyle r=0}$, но плотность увеличивается с радиусом - особенностью, которая, к сожалению, сильно ограничивает возможные астрофизические приложения.

Решение Уравнения убийства показывает, что это пространство-время допускает трехмерное абелева алгебра Ли из Вектор убийства поля, созданные

${\displaystyle {\vec {\xi }}_{1}=\partial _{t},\;{\vec {\xi }}_{2}=\partial _{z},\;{\vec {\xi }}_{3}=\partial _{\phi }}$

Здесь, ${\displaystyle {\vec {\xi }}_{1}}$ имеет ненулевую завихренность, поэтому имеем стационарное пространство-время инвариантен относительно трансляции по мировым линиям пылевых частиц, а также относительно трансляции по оси цилиндрической симметрии и вращения вокруг этой оси.

Обратите внимание, что в отличие от Раствор для пыли Гёделя, в пыли ван Стокума частицы пыли вращаются вокруг геометрически выделенная ось.

Как и было обещано, расширение и сдвиг времениподобной геодезической конгруэнтности ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$ исчезает, но вектор завихренности равен

${\displaystyle {\vec {\Omega }}=-a\exp(a^{2}r^{2}/2){\vec {e}}_{1}}$

Это означает, что хотя на нашей сопутствующей карте мировые линии пылевых частиц выглядят как вертикальные линии, на самом деле они закручиваются друг вокруг друга, когда пылевые частицы вращаются вокруг оси симметрии. Другими словами, если мы проследим эволюцию маленького шара пыли, мы обнаружим, что он вращается вокруг своей оси (параллельно ${\displaystyle r=0}$), но не сдвигается и не расширяется; последние свойства определяют, что мы подразумеваем под жесткое вращение. Обратите внимание, что на самой оси величина вектора завихренности становится просто ${\displaystyle a}$.

Приливный тензор

${\displaystyle E_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=a^{2}\exp(a^{2}r^{2})\operatorname {diag} (0,1,1)}$

который показывает, что наблюдатели, едущие на частицах пыли, испытывают изотропное приливное напряжение в плоскости вращения. Магнитогравитационный тензор

${\displaystyle B_{{\hat {m}}{\hat {n}}}=-a^{3}\exp(a^{2}r^{2})\left[{\begin{matrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{matrix}}\right]}$

Очевидный парадокс

Рассмотрим мысленный эксперимент изображено на следующем рисунке, на котором несущественная координата ${\displaystyle z}$ был подавлен:

На этом рисунке изображен мысленный эксперимент, в котором наблюдатель, едущий на пылинке, сидящей на оси симметрии, смотрит на частицы пыли с положительной радиальной координатой. Видит ли он их вращающийся, или нет?

Поскольку верхний массив нулевых геодезических получается простым перемещением вверх нижнего массива, и поскольку все три мировые линии вертикальны (инвариантны относительно перевод времени ) может показаться, что ответ - «нет». Однако, хотя кадр, приведенный выше, является инерциальная система отсчета, вычисляя ковариантные производные

${\displaystyle \nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{1},\;\nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{2},\;\nabla _{{\vec {e}}_{0}}{\vec {e}}_{3}}$

показывает, что тождественно обращается в нуль только первое. Другими словами, остальные пространственные векторы равны прядение о ${\displaystyle {\vec {e}}_{1}}$ (т.е. вокруг оси, параллельной оси цилиндрической симметрии этого пространства-времени).

Таким образом, чтобы получить некрутящаяся инерциальная рамка нам нужно раскрутить наш исходный фрейм, например:

${\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\vec {e}}_{0},\;{\vec {f}}_{1}={\vec {e}}_{1},\;{\vec {f}}_{2}=\cos(\theta ){\vec {e}}_{2}+\sin(\theta ){\vec {e}}_{3},\;{\vec {f}}_{3}=-\sin(\theta ){\vec {e}}_{2}+\cos(\theta ){\vec {e}}_{3}}$

куда ${\displaystyle \theta =tq(r)}$ где q - новая неопределенная функция r. Подставляя требование об обращении в нуль ковариантных производных, получаем

${\displaystyle \theta =at\exp(a^{2}r^{2}/2)}$

В нашей сопутствующей таблице координат новый кадр кажется вращающимся, но на самом деле он гиростабилизирован. В частности, поскольку наш наблюдатель с зеленой мировой линией на рисунке предположительно едет на не вращается пылинка (иначе спин-спиновые силы было бы очевидно в динамике пыли), он фактически наблюдает, как соседние радиально разделенные частицы пыли вращаются по часовой стрелке вокруг его местоположения с угловой скоростью a. Это объясняет физический смысл параметра, который мы нашли в нашем предыдущем выводе первого кадра.

(Педантическая заметка: Внимательные читатели заметят, что мы проигнорировали тот факт, что ни одно из наших полей фрейма не определено четко на оси. Однако мы можем определить рамку для осевого наблюдателя с помощью соответствующего одностороннего ограничения; это дает прерывистое поле кадра, но нам нужно только определить кадр вдоль мировой линии нашего осевого наблюдателя для продолжения мысленного эксперимента, рассматриваемого в этом разделе.)

Стоит отметить, что нулевые геодезические спираль внутрь на рисунке выше. Это означает, что наш осевой наблюдатель видит другие частицы пыли на места с запозданием, чего, конечно, и следовало ожидать. Тот факт, что нулевые геодезические выглядят "изогнутыми" на этой диаграмме, конечно же, является артефактом нашего выбора сопутствующий координаты, в которых мировые линии пылевых частиц выглядят как вертикальные координатные линии.

Настоящий парадокс

Давайте нарисуем световые конусы для некоторых типичных событий в пыли Ван Стокума, чтобы увидеть, как их внешний вид (на нашей цилиндрической диаграмме) зависит от радиальной координаты:

Как видно из рисунка, при ${\displaystyle r=a^{-1}}$, конусы касаются координатной плоскости ${\displaystyle t=t_{0}}$, и мы получаем замкнутую нулевую кривую (красный кружок). Обратите внимание, что это нет нулевая геодезическая.

По мере продвижения наружу мы видим, что горизонтальные круги с большим радиусом замкнутые времяподобные кривые. На парадоксальную природу этих СТС, по-видимому, впервые указал ван Штокум: наблюдатели, мировые линии которых образуют замкнутую временноподобную кривую, могут, по-видимому, пересмотреть свое прошлое или повлиять на него. Хуже того, очевидно, нет ничего, что могло бы помешать такому наблюдателю решить, скажем, в его третьей жизни прекратить ускоряться, что дало бы ему несколько биографий.

Эти замкнутые времениподобные кривые нет временные геодезические, поэтому эти парадоксальные наблюдатели должны ускоряться испытать эти эффекты. Действительно, как и следовало ожидать, необходимое ускорение расходится когда эти времениподобные круги приближаются к нулевым окружностям, лежащим в критическом цилиндре ${\displaystyle r=a^{-1}}$.

Оказалось, что замкнутые времениподобные кривые существуют во многих других точных решениях общей теории относительности, и их обычное появление является одним из наиболее тревожных теоретических возражений против этой теории. Однако очень немногие физики вообще отказываются использовать общую теорию относительности на основании таких возражений; скорее большинство из них придерживается прагматической позиции, согласно которой использование общей теории относительности имеет смысл всякий раз, когда это сходит с рук, из-за относительной простоты и хорошо установленной надежности этой теории во многих астрофизических ситуациях. Это мало чем отличается от того факта, что многие физики используют ньютоновскую механику каждый день, хотя им хорошо известно, что кинематика Галилея была «свергнута» релятивистской кинематикой.

Смотрите также

• Раствор для пыли
• Раствор для пыли Гёделя

Рекомендации

• Ланцош, Корнелиус (1924). "Uber eine stationäre Kosmologie im Sinne der Einsteinschen Gravitationstheorie". Zeitschrift für Physik. 21 (1): 73. Bibcode:1924ZPhy ... 21 ... 73L. Дои:10.1007 / BF01328251. Статья Ланцоша, объявляющая о первом открытии этого решения.
• ван Стокум, Виллем Якоб (1937). «Гравитационное поле распределения частиц, вращающихся вокруг оси симметрии». Proc. Рой. Soc. Эдинбург А. 57: 135. Статья Ван Стокума, в которой он объявляет о повторном открытии этого решения.