Линеаризованная гравитация - Linearized gravity

В теории общая теория относительности, линеаризованная гравитация это применение теория возмущений к метрический тензор который описывает геометрию пространство-время. Как следствие, линеаризованная гравитация является эффективным методом моделирования эффектов гравитации, когда гравитационное поле слабый. Использование линеаризованной силы тяжести является неотъемлемой частью исследования гравитационные волны и слабое поле гравитационное линзирование.

Приближение слабого поля

В Уравнение поля Эйнштейна (EFE), описывающий геометрию пространство-время дается как (используя натуральные единицы )

{ displaystyle R _ { mu nu} - { frac {1} {2}} Rg _ { mu nu} = 8 pi GT _ { mu nu}}

куда ${ Displaystyle R _ { mu nu}}$ это Тензор Риччи, ${ displaystyle R}$ это Скаляр Риччи, ${ displaystyle T _ { mu nu}}$ это тензор энергии-импульса, и ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ это пространство-время метрический тензор которые представляют собой решения уравнения.

Хотя кратко при написании с использованием Обозначения Эйнштейна, скрытые внутри тензора Риччи и скаляра Риччи, являются исключительно нелинейными зависимостями от метрики, которые делают перспективу нахождения точные решения непрактично в большинстве систем. Однако при описании конкретных систем, для которых кривизна пространства-времени мало (это означает, что термины в EFE, квадратичный в ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ вносят незначительный вклад в уравнения движения), можно смоделировать решение уравнений поля как Метрика Минковского^{[примечание 1]} ${ displaystyle eta _ { mu nu}}$ плюс небольшой член возмущения ${ displaystyle h _ { mu nu}}$ . Другими словами:

{ displaystyle g _ { mu nu} = eta _ { mu nu} + h _ { mu nu}, qquad | h _ { mu nu} | ll 1.}

В этом режиме подстановка общей метрики ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ для этого пертурбативного приближения приводит к упрощенному выражению для тензора Риччи:

{ displaystyle R _ { mu nu} = { frac {1} {2}} ( partial _ { sigma} partial _ { mu} h _ { nu} ^ { sigma} + partial _ { sigma} partial _ { nu} h _ { mu} ^ { sigma} - partial _ { mu} partial _ { nu} h- square h _ { mu nu}),}

куда ${ displaystyle h = eta ^ { mu nu} h _ { mu nu}}$ это след возмущения, ${ displaystyle partial _ { mu}}$ обозначает частную производную по ${ displaystyle x ^ { mu}}$ координата пространства-времени, и ${ displaystyle square = eta ^ { mu nu} partial _ { mu} partial _ { nu}}$ это оператор Даламбера.

Вместе со скаляром Риччи

{ displaystyle R = eta _ { mu nu} R ^ { mu nu} = partial _ { mu} partial _ { nu} h ^ { mu nu} - квадрат h, }

левая часть уравнения поля сводится к

{ displaystyle R _ { mu nu} - { frac {1} {2}} Rg _ { mu nu} = { frac {1} {2}} ( partial _ { sigma} partial _ { mu} h _ { nu} ^ { sigma} + partial _ { sigma} partial _ { nu} h _ { mu} ^ { sigma} - partial _ { mu} partial _ { Nu} h- square h _ { mu nu} - eta _ { mu nu} partial _ { rho} partial _ { lambda} h ^ { rho lambda} + eta _ { mu nu} square h).}

и, таким образом, EFE сводится к линейному второму порядку уравнение в частных производных с точки зрения ${ displaystyle h _ { mu nu}}$ .

Калибровочная инвариантность

Процесс разложения общего пространства-времени ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ в метрику Минковского плюс член возмущения не единственен. Это связано с тем, что разные варианты выбора координат могут давать разные формы для ${ displaystyle h _ { mu nu}}$ . Чтобы запечатлеть это явление, применение калибровочная симметрия вводится.

Калибровочные симметрии - это математический аппарат для описания системы, которая не меняется, когда базовая система координат "сдвигается" на бесконечно малую величину. Итак, хотя метрика возмущения ${ displaystyle h _ { mu nu}}$ не определяется последовательно между различными системами координат, общая система, которую он описывает является.

Чтобы зафиксировать это формально, неоднозначность возмущения ${ displaystyle h _ { mu nu}}$ представлен как следствие разнообразного сбора диффеоморфизмы в пространстве-времени, что оставить ${ displaystyle h _ { mu nu}}$ достаточно маленький. Поэтому для продолжения требуется, чтобы ${ displaystyle h _ { mu nu}}$ быть определенным в терминах общего набора диффеоморфизмов, затем выберите подмножество из них, которые сохраняют малый масштаб, который требуется для приближения слабого поля. Таким образом, можно определить ${ displaystyle phi}$ для обозначения произвольного диффеоморфизма, который отображает плоское пространство-время Минковского в более общее пространство-время, представленное метрикой ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ . При этом метрику возмущения можно определить как разность между откат из ${ displaystyle g _ { mu nu}}$ и метрика Минковского:

{ displaystyle h _ { mu nu} = ( phi ^ {*} g) _ { mu nu} - eta _ { mu nu}.}

Диффеоморфизмы ${ displaystyle phi}$ таким образом, можно выбрать так, чтобы ${ Displaystyle | час _ { му ню} | ll 1}$ .

Учитывая тогда векторное поле ${ Displaystyle xi ^ { mu}}$ определенное на плоском, фоновом пространстве-времени, дополнительное семейство диффеоморфизмов ${ displaystyle psi _ { epsilon}}$ можно определить как генерируемые ${ Displaystyle xi ^ { mu}}$ и параметризован ${ displaystyle epsilon> 0}$ . Эти новые диффеоморфизмы будут использоваться для представления преобразований координат для «бесконечно малых сдвигов», как обсуждалось выше. Вместе с ${ displaystyle phi}$ , семейство возмущений задается выражением

{ displaystyle { begin {align} h _ { mu nu} ^ {( epsilon)} & = [( phi circ psi _ { epsilon}) ^ {*} g] _ { mu nu} - eta _ { mu nu} & = [ psi _ { epsilon} ^ {*} ( phi ^ {*} g)] _ { mu nu} - eta _ { mu nu} & = psi _ { epsilon} ^ {*} (h + eta) _ { mu nu} - eta _ { mu nu} & = ( psi _ { epsilon} ^ {*} h) _ { mu nu} + epsilon left [{ frac {( psi _ { epsilon} ^ {*} eta) _ { mu nu} - eta _ { mu nu}} { epsilon}} right]. end {align}}}

Следовательно, в пределе ${ displaystyle epsilon rightarrow 0}$ ,

{ displaystyle h _ { mu nu} ^ {( epsilon)} = h _ { mu nu} + epsilon { mathcal {L}} _ { xi} eta _ { mu nu}}

куда ${ Displaystyle { mathcal {L}} _ { xi}}$ это Производная Ли вдоль векторного поля ${ displaystyle xi _ { mu}}$ .

Производная Ли дает окончательный результат. калибровочное преобразование метрики возмущения ${ displaystyle h _ { mu nu}}$ :

{ displaystyle h _ { mu nu} ^ {( epsilon)} = h _ { mu nu} + epsilon ( partial _ { mu} xi _ { nu} + partial _ { nu } xi _ { mu}),}

которые точно определяют набор метрик возмущений, описывающих одну и ту же физическую систему. Другими словами, он характеризует калибровочную симметрию линеаризованных уравнений поля.

Выбор калибра

Используя калибровочную инвариантность, можно гарантировать определенные свойства метрики возмущения путем выбора подходящего векторного поля ${ Displaystyle xi ^ { mu}}$ .

Поперечный датчик

Чтобы изучить, как возмущение ${ displaystyle h _ { mu nu}}$ искажает измерения длины, полезно определить следующий пространственный тензор:

{ displaystyle s_ {ij} = h_ {ij} - { frac {1} {3}} delta ^ {kl} h_ {kl} delta _ {ij}}

(Обратите внимание, что индексы охватывают только пространственные компоненты: ${ displaystyle i, j in {1,2,3 }}$ ). Таким образом, используя ${ displaystyle s_ {ij}}$ , пространственные составляющие возмущения можно разложить как

{ displaystyle h_ {ij} = s_ {ij} - Psi delta _ {ij}}

куда ${ displaystyle Psi = - { frac {1} {3}} delta ^ {kl} h_ {kl}}$ .

Тензор ${ displaystyle s_ {ij}}$ по построению бесследный и называется напряжение поскольку он представляет собой величину, на которую возмущение растягивает и сжимает размеры пространства. В контексте обучения гравитационное излучение, штамм особенно полезен при использовании с поперечный калибр. Эта калибровка определяется выбором пространственных компонентов ${ Displaystyle xi ^ { mu}}$ чтобы удовлетворить отношение

{ displaystyle nabla ^ {2} xi ^ {j} + { frac {1} {3}} partial _ {j} partial _ {i} xi ^ {i} = - partial _ { i} s ^ {ij},}

затем выбирая компонент времени ${ displaystyle xi ^ {0}}$ удовлетворить

{ displaystyle nabla ^ {2} xi ^ {0} = partial _ {i} h_ {0i} + partial _ {0} partial _ {i} xi ^ {i}.}

После выполнения преобразования датчика с использованием формулы из предыдущего раздела деформация становится пространственно поперечной:

{ displaystyle partial _ {я} s _ {( epsilon)} ^ {ij} = 0,}

с дополнительным свойством:

{ displaystyle partial _ {i} h _ {( epsilon)} ^ {0i} = 0.}

Синхронный датчик

В синхронный датчик упрощает метрику возмущения, требуя, чтобы метрика не искажала измерения времени. Точнее, синхронная калибровка выбирается так, чтобы непространственные компоненты ${ Displaystyle ч _ { му ню} ^ {( epsilon)}}$ равны нулю, а именно

{ displaystyle h_ {0 nu} ^ {( epsilon)} = 0.}

Этого можно добиться, потребовав временной составляющей ${ Displaystyle xi ^ { mu}}$ удовлетворить

{ displaystyle partial _ {0} xi ^ {0} = - h_ {00}}

и требуя, чтобы пространственные компоненты удовлетворяли

{ displaystyle partial _ {0} xi ^ {i} = partial _ {i} xi ^ {0} -h_ {0i}.}

Гармонический датчик

В гармоническая калибровка (также называемый Датчик Лоренца^{[заметка 2]}) выбирается всякий раз, когда необходимо максимально сократить линеаризованные уравнения поля. Это можно сделать, если выполняется условие

{ displaystyle partial _ { mu} h _ { nu} ^ { mu} = { frac {1} {2}} partial _ { nu} h}

правда. Для достижения этой цели, ${ displaystyle xi _ { mu}}$ требуется для выполнения соотношения

{ displaystyle square xi _ { mu} = - partial _ { nu} h _ { mu} ^ { nu} + { frac {1} {2}} partial _ { mu} h .}

Следовательно, используя гармоническую калибровку, тензор Эйнштейна ${ Displaystyle G _ { mu nu} = R _ { mu nu} - { frac {1} {2}} Rg _ { mu nu}}$ сводится к

{ displaystyle G _ { mu nu} = - { frac {1} {2}} square left (h _ { mu nu} ^ {( epsilon)} - { frac {1} {2 }} h ^ {( epsilon)} eta _ { mu nu} right).}

Следовательно, записывая это в терминах метрики с обратным следом, ${ displaystyle { bar {h}} _ { mu nu} ^ {( epsilon)} = h _ { mu nu} ^ {( epsilon)} - { frac {1} {2}} h ^ {( epsilon)} eta _ { mu nu}}$ , линеаризованные уравнения поля сводятся к

{ displaystyle square { bar {h}} _ { mu nu} ^ {( epsilon)} = - 16 pi GT _ { mu nu}.}

Что можно решить точно с помощью волновые решения которые определяют гравитационное излучение.

Смотрите также

Примечания

^ Это предполагает, что фоновое пространство-время плоское. Теория возмущений, применяемая в уже искривленном пространстве-времени, может работать так же хорошо, если заменить этот термин метрикой, представляющей искривленный фон.
^ Не путать с Лоренцем.

дальнейшее чтение

Шон М. Кэрролл (2003). Пространство-время и геометрия, введение в общую теорию относительности. Пирсон. ISBN 978-0805387322.

[1] Это предполагает, что фоновое пространство-время плоское. Теория возмущений, применяемая в уже искривленном пространстве-времени, может работать так же хорошо, если заменить этот термин метрикой, представляющей искривленный фон.

[2] Не путать с Лоренцем.

[примечание 1]

[заметка 2]