Геодезические в общей теории относительности - Geodesics in general relativity

Для более широкого освещения этой темы см. Геодезические.

В общая теория относительности, а геодезический обобщает понятие «прямая линия» на изогнутую пространство-время. Важно отметить, что мировая линия частицы, свободные от всех внешних негравитационных сил, является особым типом геодезических. Другими словами, свободно движущаяся или падающая частица всегда движется по геодезической.

В общей теории относительности гравитацию можно рассматривать не как силу, а как следствие искривленное пространство-время геометрия, где источником кривизны является тензор энергии-импульса (представляющий, например, материю). Так, например, траектория планеты, вращающейся вокруг звезды, является проекцией геодезической изогнутой четырехмерной (4-D) геометрии пространства-времени вокруг звезды на трехмерное (3-D) пространство.

Математическое выражение

Полный геодезическое уравнение является

${\displaystyle {d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}+\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=0\ }$

где s - скалярный параметр движения (например, подходящее время ), и ${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }}$ находятся Символы Кристоффеля (иногда называют аффинная связь коэффициенты или Леви-Чивита связь коэффициенты), симметричные по двум нижним индексам. Греческие индексы могут принимать значения: 0, 1, 2, 3 и соглашение о суммировании используется для повторяющихся индексов ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$. Величина в левой части этого уравнения - это ускорение частицы, поэтому это уравнение аналогично Законы движения Ньютона, которые также дают формулы для ускорения частицы. Это уравнение движения использует Обозначения Эйнштейна, что означает, что повторяющиеся индексы суммируются (то есть от нуля до трех). Символы Кристоффеля являются функциями четырех пространственно-временных координат и поэтому не зависят от скорости, ускорения или других характеристик объекта. тестовая частица движение которого описывается уравнением геодезических.

Эквивалентное математическое выражение с использованием координатного времени в качестве параметра

До сих пор геодезическое уравнение движения было записано в терминах скалярного параметра s. В качестве альтернативы его можно записать через временную координату, ${\displaystyle t\equiv x^{0}}$ (здесь мы использовали тройной бар для обозначения определения). Тогда геодезическое уравнение движения принимает следующий вид:

${\displaystyle {d^{2}x^{\mu } \over dt^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}+\Gamma ^{0}{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}{dx^{\mu } \over dt}\ .}$

Эта формулировка геодезического уравнения движения может быть полезна для компьютерных вычислений и для сравнения общей теории относительности с ньютоновской гравитацией.^[1] Эту форму геодезического уравнения движения легко вывести из формы, которая использует собственное время в качестве параметра, используя Правило цепи. Обратите внимание, что обе части этого последнего уравнения обращаются в нуль, когда индекс mu равен нулю. Если скорость частицы достаточно мала, то уравнение геодезических сводится к следующему:

${\displaystyle {d^{2}x^{n} \over dt^{2}}=-\Gamma ^{n}{}_{00}.}$

Здесь латинский индекс п принимает значения [1,2,3]. Это уравнение просто означает, что все тестовые частицы в определенном месте и в определенное время будут иметь одинаковое ускорение, что является хорошо известной особенностью ньютоновской гравитации. Например, все, что плавает в Международная космическая станция претерпит примерно такое же ускорение под действием силы тяжести.

Вывод непосредственно из принципа эквивалентности

Физик Стивен Вайнберг представил вывод геодезического уравнения движения непосредственно из принцип эквивалентности.^[2] Первый шаг в таком выводе - это предположить, что свободно падающая частица не ускоряется в окрестности точка-событие относительно свободно падающей системы координат (${\displaystyle X^{\mu }}$). Настройка ${\displaystyle T\equiv X^{0}}$, мы имеем следующее уравнение, которое применимо локально при свободном падении:

${\displaystyle {d^{2}X^{\mu } \over dT^{2}}=0.}$

Следующим шагом будет использование многомерного Правило цепи. У нас есть:

${\displaystyle {dX^{\mu } \over dT}={dx^{\nu } \over dT}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}}$

Еще раз дифференцируя по времени, мы имеем:

${\displaystyle {d^{2}X^{\mu } \over dT^{2}}={d^{2}x^{\nu } \over dT^{2}}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}+{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}}$

Следовательно:

${\displaystyle {d^{2}x^{\nu } \over dT^{2}}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}=-{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}}$

Умножьте обе части этого последнего уравнения на следующую величину:

${\displaystyle {\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}}$

Следовательно, мы имеем это:

${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dT^{2}}=-{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}\left[{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}\right].}$

Использование (от Символы Кристоффеля # Изменение переменной и тот факт, что символы Кристоффеля исчезают в инерциальной системе отсчета)

${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \alpha }=\left[{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}\right]}$

это становится

${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dT^{2}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}.}$

Применение одномерного Правило цепи дает

${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}\left({\frac {dt}{dT}}\right)^{2}+{dx^{\lambda } \over dt}{\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}\left({\frac {dt}{dT}}\right)^{2}.}$

${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}+{dx^{\lambda } \over dt}{\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}\left({\frac {dT}{dt}}\right)^{2}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}.}$

Как и раньше, мы можем установить ${\displaystyle t\equiv x^{0}}$. Тогда первая производная от Икс⁰ относительно т равна единице, а вторая производная равна нулю. Замена λ с нулем дает:

${\displaystyle {\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}\left({\frac {dT}{dt}}\right)^{2}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{0}{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}.}$

Вычитая d Икс^λ / д т умноженное на предыдущее уравнение, дает:

${\displaystyle {d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}+\Gamma _{\nu \alpha }^{0}{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\lambda } \over dt}}$

которая является формой геодезического уравнения движения (с использованием координатного времени в качестве параметра).

В качестве альтернативы геодезическое уравнение движения может быть получено с использованием концепции параллельный транспорт.^[3]

Вывод уравнения геодезических через действие

Мы можем (и это наиболее распространенный метод) получить уравнение геодезических через действие принцип. Рассмотрим случай попытки найти геодезическую между двумя разнесенными по времени событиями.

Пусть действие будет

${\displaystyle S=\int ds}$

где ${\displaystyle ds={\sqrt {-g_{\mu \nu }(x)\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}}}$ это линейный элемент. Внутри квадратного корня стоит отрицательный знак, потому что кривая должна быть времениподобной. Чтобы получить уравнение геодезических, мы должны изменить это действие. Для этого давайте параметризуем это действие по параметру ${\displaystyle \lambda }$. Так мы получим:

${\displaystyle S=\int {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}\,d\lambda }$

Теперь мы можем пойти дальше и изменить это действие относительно кривой ${\displaystyle x^{\mu }}$. Посредством принцип наименьшего действия мы получаем:

${\displaystyle 0=\delta S=\int \delta \left({\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}\right)\,d\lambda =\int {\frac {\delta \left(-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}\right)}{2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}}}d\lambda }$

Используя товарное правило, получаем:

${\displaystyle 0=\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\delta g_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}+g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {d\delta x^{\nu }}{d\lambda }}\right)\,d\lambda =\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }+2g_{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)\,d\lambda }$

где

${\displaystyle {\frac {d\tau }{d\lambda }}={\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}}$

Интегрируя по частям последний член и отбрасывая полную производную (которая равна нулю на границах), мы получаем:

${\displaystyle 0=\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }-2\delta x^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}\left(g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)\right)\,d\tau =\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }-2\delta x^{\mu }\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}-2\delta x^{\mu }g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}\right)\,d\tau }$

Немного упрощая, мы видим, что:

${\displaystyle 0=\int \left(-2g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }-2{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\right)\delta x^{\mu }d\tau }$

так,

${\displaystyle 0=\int \left(-2g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }-{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }-{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }\right)\delta x^{\mu }\,d\tau }$

умножая это уравнение на ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$ мы получаем:

${\displaystyle 0=\int \left(g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)\right)\delta x^{\mu }\,d\tau }$

Так что Принцип Гамильтона мы обнаруживаем, что Уравнение Эйлера – Лагранжа. является

${\displaystyle g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)=0}$

Умножение на обратное метрический тензор ${\displaystyle g^{\mu \beta }}$ мы получаем это

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\beta }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}g^{\mu \beta }\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right){\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=0}$

Таким образом, мы получаем уравнение геодезической:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\beta }}{d\tau ^{2}}}+\Gamma ^{\beta }{}_{\alpha \nu }{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=0}$

с Символ Кристоффеля определяется в терминах метрического тензора как

${\displaystyle \Gamma ^{\beta }{}_{\alpha \nu }={\frac {1}{2}}g^{\mu \beta }\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)}$

(Примечание: аналогичные производные, с небольшими поправками, могут быть использованы для получения аналогичных результатов для геодезических между светоподобными^{[нужна цитата ]} или разделенные пробелами пары точек.)

Уравнение движения может вытекать из уравнений поля для пустого пространства

Альберт Эйнштейн считал, что геодезическое уравнение движения может быть получено из уравнения поля для пустого пространства, т.е. из того, что Кривизна Риччи исчезает. Он написал:^[4]

Было показано, что этот закон движения - обобщенный на случай сколь угодно больших гравитирующих масс - может быть выведен только из полевых уравнений пустого пространства. Согласно этому выводу, закон движения подразумевается из условия, что поле не должно быть сингулярным нигде за пределами точек его порождающей массы.

и ^[5]

Одним из недостатков исходной релятивистской теории гравитации было то, что как теория поля она не была законченной; он ввел независимый постулат о том, что закон движения частицы задается уравнением геодезической.

Полная теория поля знает только поля, но не концепции частиц и движения. Ибо они не должны существовать независимо от поля, а должны рассматриваться как его часть.

На основе описания частицы без сингулярности появляется возможность логически более удовлетворительного решения комбинированной проблемы: проблема поля и проблема движения совпадают.

И физики, и философы часто повторяли утверждение о том, что уравнение геодезических может быть получено из уравнений поля для описания движения объекта. гравитационная сингулярность, но это требование остается спорным.^[6] Менее спорным является представление о том, что уравнения поля определяют движение жидкости или пыли, в отличие от движения точечной сингулярности.^[7]

Распространение на случай заряженной частицы

При выводе уравнения геодезических из принципа эквивалентности предполагалось, что частицы в локальной инерциальной системе координат не ускоряются. Однако в реальной жизни частицы могут быть заряжены и, следовательно, могут локально ускоряться в соответствии с Сила Лоренца. Это:

${\displaystyle {d^{2}X^{\mu } \over ds^{2}}={q \over m}{F^{\mu \beta }}{dX^{\alpha } \over ds}{\eta _{\alpha \beta }}.}$

с участием

${\displaystyle {\eta _{\alpha \beta }}{dX^{\alpha } \over ds}{dX^{\beta } \over ds}=-1.}$

В Тензор Минковского ${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }}$ дан кем-то:

${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

Эти последние три уравнения можно использовать в качестве отправной точки для вывода уравнения движения в общей теории относительности, вместо того, чтобы предполагать, что ускорение равно нулю при свободном падении.^[2] Поскольку здесь задействован тензор Минковского, возникает необходимость ввести нечто, называемое метрический тензор в общей теории относительности. Метрический тензор г симметричен и локально сводится к тензору Минковского в свободном падении. Полученное уравнение движения выглядит следующим образом:^[8]

${\displaystyle {d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}\ +{q \over m}{F^{\mu \beta }}{dx^{\alpha } \over ds}{g_{\alpha \beta }}.}$

с участием

${\displaystyle {g_{\alpha \beta }}{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=-1.}$

Это последнее уравнение означает, что частица движется по времениподобной геодезической; безмассовые частицы, такие как фотон вместо этого следуйте нулевым геодезическим (замените −1 на ноль в правой части последнего уравнения). Важно, чтобы последние два уравнения согласовывались друг с другом, когда последнее дифференцируется по собственному времени, и следующая формула для символов Кристоффеля обеспечивает эту согласованность:

${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}g^{\lambda \tau }\left({\frac {\partial g_{\tau \alpha }}{\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial g_{\tau \beta }}{\partial x^{\alpha }}}-{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial x^{\tau }}}\right)}$

Последнее уравнение не включает электромагнитные поля, и оно применимо даже в пределе, когда электромагнитные поля исчезают. Письмо г с надстрочными индексами относится к обратный метрического тензора. В общей теории относительности индексы тензоров понижаются и повышаются на сокращение с метрическим тензором или обратным ему соответственно.

Геодезические как кривые стационарного интервала

Геодезическая между двумя событиями также может быть описана как кривая, соединяющая эти два события, которая имеет стационарный интервал (4-х мерная «длина»). Стационарный здесь используется в том смысле, в котором этот термин используется в вариационное исчисление, а именно, что интервал вдоль кривой минимально изменяется среди кривых, которые находятся рядом с геодезической.

В пространстве Минковского есть только одна геодезическая, которая соединяет любую данную пару событий, а для временной геодезической это кривая с наибольшей длиной подходящее время между двумя событиями. В искривленном пространстве-времени пара широко разделенных событий может иметь более одной временной геодезической между ними. В таких случаях правильное время по нескольким геодезическим, как правило, не будет одинаковым. Для некоторых геодезических в таких случаях возможно, что кривая, соединяющая два события и находящаяся рядом с геодезической, будет иметь либо большее, либо более короткое собственное время, чем геодезическая.^[9]

Для пространственно-подобной геодезической через два события всегда есть соседние кривые, которые проходят через два события, которые имеют либо более длинный, либо более короткий подходящая длина чем геодезическая, даже в пространстве Минковского. В пространстве Минковского геодезическая будет прямой линией. Любая кривая, отличная от геодезической чисто пространственно (т.е. не изменяет временную координату) в любой инерциальной системе отсчета будет иметь большую собственную длину, чем геодезическая, но кривая, которая отличается от геодезической чисто во времени (т.е. не изменяет пространственные координаты) в такой системе отсчета будет иметь меньшую собственную длину.

Интервал кривой в пространстве-времени равен

${\displaystyle l=\int {\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}\,ds\ .}$

Затем Уравнение Эйлера – Лагранжа.,

${\displaystyle {d \over ds}{\partial \over \partial {\dot {x}}^{\alpha }}{\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}={\partial \over \partial x^{\alpha }}{\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}\ ,}$

после некоторого расчета становится

${\displaystyle 2(\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+{\ddot {x}}^{\lambda })=U^{\lambda }{d \over ds}\ln |U_{\nu }U^{\nu }|\ ,}$

где ${\displaystyle U^{\mu }={\dot {x}}^{\mu }.}$

Доказательство

Цель состоит в том, чтобы найти кривую, для которой значение

${\displaystyle l=\int d\tau =\int {d\tau \over d\phi }\,d\phi =\int {\sqrt {(d\tau )^{2} \over (d\phi )^{2}}}\,d\phi =\int {\sqrt {-g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu } \over d\phi \,d\phi }}\,d\phi =\int f\,d\phi }$

стационарный, где

${\displaystyle f={\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}$

такая цель может быть достигнута путем вычисления уравнения Эйлера – Лагранжа для ж, который

${\displaystyle {d \over d\tau }{\partial f \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}={\partial f \over \partial x^{\lambda }}}$.

Подставляя выражение ж в уравнение Эйлера – Лагранжа (что делает значение интеграла л стационарный), дает

${\displaystyle {d \over d\tau }{\partial {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}} \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}={\partial {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}} \over \partial x^{\lambda }}}$

Теперь вычислим производные:${\displaystyle {d \over d\tau }\left({-g_{\mu \nu }{\partial {\dot {x}}^{\mu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }}{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\partial {\dot {x}}^{\nu } \over \partial {\dot {x}}^{\lambda }} \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (1)}$

${\displaystyle {d \over d\tau }\left({g_{\mu \nu }\delta ^{\mu }{}_{\lambda }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }\delta ^{\nu }{}_{\lambda } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over 2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (2)}$

${\displaystyle {d \over d\tau }\left({g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \lambda }{\dot {x}}^{\mu } \over {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\right)={g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (3)}$

${\displaystyle {{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}{d \over d\tau }(g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \lambda }{\dot {x}}^{\mu })-(g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \lambda }{\dot {x}}^{\mu }){d \over d\tau }{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}} \over -g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}={g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu } \over {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}\qquad \qquad (4)}$

${\displaystyle {(-g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }){d \over d\tau }(g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \lambda }{\dot {x}}^{\mu })+{1 \over 2}(g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\mu \lambda }{\dot {x}}^{\mu }){d \over d\tau }(g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }) \over -g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}=g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\qquad \qquad (5)}$

${\displaystyle (g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu })(g_{\lambda \nu ,\mu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}^{\mu }+g_{\mu \lambda ,\nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\lambda \nu }{\ddot {x}}^{\nu }+g_{\lambda \mu }{\ddot {x}}^{\mu })}$

${\displaystyle =(g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu })(g_{\alpha \beta }{\dot {x}}^{\alpha }{\dot {x}}^{\beta })+{1 \over 2}(g_{\lambda \nu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\lambda \mu }{\dot {x}}^{\mu }){d \over d\tau }(g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu })\qquad \qquad (6)}$

${\displaystyle g_{\lambda \nu ,\mu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+g_{\lambda \mu ,\nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }-g_{\mu \nu ,\lambda }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+2g_{\lambda \mu }{\ddot {x}}^{\mu }={{\dot {x}}_{\lambda }{d \over d\tau }(g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }) \over g_{\alpha \beta }{\dot {x}}^{\alpha }{\dot {x}}^{\beta }}\qquad \qquad (7)}$

${\displaystyle 2(\Gamma _{\lambda \mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+{\ddot {x}}_{\lambda })={{\dot {x}}_{\lambda }{d \over d\tau }({\dot {x}}_{\nu }{\dot {x}}^{\nu }) \over {\dot {x}}_{\beta }{\dot {x}}^{\beta }}={U_{\lambda }{d \over d\tau }(U_{\nu }U^{\nu }) \over U_{\beta }U^{\beta }}=U_{\lambda }{d \over d\tau }\ln |U_{\nu }U^{\nu }|\qquad \qquad (8)}$

Это всего в одном шаге от уравнения геодезии.

Если параметр s выбирается аффинным, то правая часть приведенного выше уравнения обращается в нуль (поскольку ${\displaystyle U_{\nu }U^{\nu }}$ постоянна). Наконец, у нас есть геодезическое уравнение

${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+{\ddot {x}}^{\lambda }=0\ .}$

Деривация с использованием автопараллельного транспорта

В качестве альтернативы геодезическое уравнение может быть получено из автопараллельного переноса кривых. Вывод основан на лекциях, прочитанных Фредериком П. Шуллером в Международной зимней школе We-Heraeus по гравитации и свету.

Позволять ${\displaystyle (M,O,A,\nabla )}$ - многообразие со связностью и ${\displaystyle \gamma }$ - кривая на многообразии. Кривая называется автопараллельно перемещаемой тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \nabla _{v_{\gamma }}v_{\gamma }=0}$.

Чтобы вывести геодезическое уравнение, мы должны выбрать карту ${\displaystyle (U,x)\in A}$:

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}\left({\dot {\gamma }}^{m}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}\right)=0}$

С использованием ${\displaystyle C^{\infty }}$ линейность и правило Лейбница:

${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{i}\left(\nabla _{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\dot {\gamma }}^{m}\right){\frac {\partial }{\partial x^{m}}}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\nabla _{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{m}}}\right)=0}$

Использование того, как соединение действует на функции (${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{m}}$) и разложив второй член с помощью функций коэффициента связи:

${\displaystyle {\dot {\gamma }}^{i}{\frac {\partial {\dot {\gamma }}^{m}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\Gamma _{im}^{q}{\frac {\partial }{\partial x^{q}}}=0}$

Первый член можно упростить до ${\displaystyle {\ddot {\gamma }}^{m}{\frac {\partial }{\partial x^{m}}}}$. Переименование фиктивных индексов:

${\displaystyle {\ddot {\gamma }}^{q}{\frac {\partial }{\partial x^{q}}}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\Gamma _{im}^{q}{\frac {\partial }{\partial x^{q}}}=0}$

В итоге мы приходим к уравнению геодезических:

${\displaystyle {\ddot {\gamma }}^{q}+{\dot {\gamma }}^{i}{\dot {\gamma }}^{m}\Gamma _{im}^{q}=0}$

Смотрите также

• Геодезический
• Геодезическая прецессия
• Геодезические Шварцшильда
• Геодезические как гамильтоновы потоки

Список используемой литературы

• Стивен Вайнберг, Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности, (1972) John Wiley & Sons, Нью-Йорк ISBN  0-471-92567-5. См. Главу 3.
• Лев Д. Ландау и Евгений М. Лифшиц, Классическая теория поля, (1973) Pergammon Press, Оксфорд ISBN  0-08-018176-7 См. Раздел 87.
• Чарльз В. Миснер, Кип С. Торн, Джон Арчибальд Уиллер, Гравитация, (1970) W.H. Фриман, Нью-Йорк; ISBN  0-7167-0344-0.
• Бернард Ф. Шютц, Первый курс общей теории относительности(1985; 2002) Издательство Кембриджского университета: Кембридж, Великобритания; ISBN  0-521-27703-5. См. Главу 6.
• Роберт М. Уолд, Общая теория относительности (1984) Издательство Чикагского университета, Чикаго. См. Раздел 3.3.

использованная литература

1. Уилл, Клиффорд. Теория и эксперимент в гравитационной физике, п. 143 (Cambridge University Press, 1993).
2. Вайнберг, Стивен. Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности (Wiley 1972).
3. Плебаньски, Ежи и Красински, Анджей. Введение в общую теорию относительности и космологию, п. 34 (Издательство Кембриджского университета, 2006 г.).
4. Эйнштейн, Альберт. Смысл теории относительности, п. 113 (Psychology Press, 2003).
5. Эйнштейн, А .; Розен, Н. (1 июля 1935 г.). "Проблема частиц в общей теории относительности". Физический обзор. 48 (1): 76. Bibcode:1935ПхРв ... 48 ... 73Э. Дои:10.1103 / PhysRev.48.73. и ER - статья Эйнштейна Розена ER = EPR
6. Тамир, М. "Доказательство принципа: слишком серьезное отношение к геодезической динамике в теории Эйнштейна ", Исследования по истории и философии современной физики 43(2), 137–154 (2012).
7. Плебаньски, Ежи и Красински, Анджей. Введение в общую теорию относительности и космологию, п. 143 (Cambridge University Press, 2006).
8. Вальд, Р. (1984). Общая теория относительности. Уравнение 4.3.2: Издательство Чикагского университета. ISBN  978-0-226-87033-5.
9. Чарльз В. Миснер; Кип Торн; Джон Арчибальд Уиллер (1973). Гравитация. В. Х. Фриман. С. 316, 318–319. ISBN  0-7167-0344-0.