Принцип Гамильтона - Hamiltons principle - Wikipedia

В физика, Принцип Гамильтона является Уильям Роуэн Гамильтон формулировка принцип стационарного действия. В нем говорится, что динамика физической системы определяются вариационная задача для функциональный основанный на единственной функции, Лагранжиан, который может содержать всю физическую информацию о системе и действующих на нее силах. Вариационная задача эквивалентна и позволяет получить дифференциал уравнения движения физической системы. Хотя изначально сформулирован для классическая механика, Принцип Гамильтона применим и к классическим поля такой как электромагнитный и гравитационный поля, и играет важную роль в квантовая механика, квантовая теория поля и теории критичности.

По мере развития системы q прослеживает путь через конфигурационное пространство (показаны только некоторые). Путь, пройденный системой (красный), имеет стационарное действие (δS = 0) при небольших изменениях конфигурации системы (δq).^[1]

Математическая формулировка

Принцип Гамильтона утверждает, что истинная эволюция q(т) системы, описываемой N обобщенные координаты q = (q₁, q₂, ..., q_N) между двумя указанными состояниями q₁ = q(т₁) и q₂ = q(т₂) в два указанных раза т₁ и т₂ это стационарный пункт (точка, где вариация равен нулю) действие функциональный

{ Displaystyle { mathcal {S}} [ mathbf {q}] { stackrel { mathrm {def}} {=}} int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} L ( mathbf {q} (t), { dot { mathbf {q}}} (t), t) , dt}

куда ${ Displaystyle L ( mathbf {q}, { dot { mathbf {q}}}, т)}$ это Лагранжиан функция для системы. Другими словами, любой первый заказ возмущение истинной эволюции приводит к (не более чем) второго порядка изменения в ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ . Действие ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ это функциональный, т.е. то, что принимает на вход функция и возвращает одно число, a скаляр. С точки зрения функциональный анализ, Принцип Гамильтона утверждает, что истинная эволюция физической системы является решением функционального уравнения

Принцип Гамильтона

${ displaystyle { frac { delta { mathcal {S}}} { delta mathbf {q} (t)}} = 0.}$

То есть система выбирает путь в конфигурационном пространстве, для которого действие является стационарным, с фиксированными граничными условиями в начале и в конце пути.

Уравнения Эйлера – Лагранжа, полученные из интеграла действия

Требуя, чтобы истинная траектория q(т) быть стационарный пункт функционала действия ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ эквивалентна системе дифференциальных уравнений для q(т) ( Уравнения Эйлера – Лагранжа.), который можно получить следующим образом.

Позволять q(т) представляют собой истинную эволюцию системы между двумя заданными состояниями q₁ = q(т₁) и q₂ = q(т₂) в два указанных раза т₁ и т₂, и разреши ε(т) - малое возмущение, равное нулю на концах траектории

{ Displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} (t_ {1}) = { boldsymbol { varepsilon}} (t_ {2}) { stackrel { mathrm {def}} {=}} 0}

Первому порядку по возмущению ε(т) изменение функционала действия ${ displaystyle delta { mathcal {S}}}$ было бы

{ displaystyle delta { mathcal {S}} = int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} ; left [L ( mathbf {q} + { boldsymbol { varepsilon}}) , { dot { mathbf {q}}} + { dot { boldsymbol { varepsilon}}}) - L ( mathbf {q}, { dot { mathbf {q}}}) right] dt = int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} ; left ({ boldsymbol { varepsilon}} cdot { frac { partial L} { partial mathbf {q}} } + { dot { boldsymbol { varepsilon}}} cdot { frac { partial L} { partial { dot { mathbf {q}}}}} right) , dt}

где мы расширили Лагранжиан L до первого порядка по возмущению ε(т).

Применение интеграция по частям до последнего срока приводит к

{ displaystyle delta { mathcal {S}} = left [{ boldsymbol { varepsilon}} cdot { frac { partial L} { partial { dot { mathbf {q}}}}} right] _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} + int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} ; left ({ boldsymbol { varepsilon}} cdot { frac { partial L} { partial mathbf {q}}} - { boldsymbol { varepsilon}} cdot { frac {d} {dt}} { frac { partial L} { partial { dot { mathbf {q}}}}} right) , dt}

Граничные условия ${ Displaystyle { boldsymbol { varepsilon}} (t_ {1}) = { boldsymbol { varepsilon}} (t_ {2}) { stackrel { mathrm {def}} {=}} 0}$ заставляет первый член исчезнуть

{ displaystyle delta { mathcal {S}} = int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} ; { boldsymbol { varepsilon}} cdot left ({ frac { partial L} { partial mathbf {q}}} - { frac {d} {dt}} { frac { partial L} { partial { dot { mathbf {q}}}}} right) , dt}

Принцип Гамильтона требует, чтобы это изменение первого порядка ${ displaystyle delta { mathcal {S}}}$ равен нулю при всех возможных возмущениях ε(т), т.е. истинный путь - это стационарный пункт функционала действия ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ (минимальная, максимальная или седловая точка). Это требование может быть выполнено тогда и только тогда, когда

Уравнения Эйлера – Лагранжа.

${ displaystyle { frac { partial L} { partial mathbf {q}}} - { frac {d} {dt}} { frac { partial L} { partial { dot { mathbf { q}}}}} = 0}$

Эти уравнения называются уравнениями Эйлера – Лагранжа для вариационной задачи.

Канонические импульсы и постоянные движения

В сопряженный импульс п_k для обобщенной координаты q_k определяется уравнением

{ displaystyle p_ {k} { overset { mathrm {def}} {=}} { frac { partial L} { partial { dot {q}} _ {k}}}}

.

Важный частный случай уравнения Эйлера – Лагранжа возникает, когда L не содержит обобщенной координаты q_k явно,

{ displaystyle { frac { partial L} { partial q_ {k}}} = 0 quad Rightarrow quad { frac {d} {dt}} { frac { partial L} { partial { dot {q}} _ {k}}} = 0 quad Rightarrow quad { frac {dp_ {k}} {dt}} = 0 ,,}

то есть сопряженный импульс есть постоянная движения.

В таких случаях координата q_k называется циклическая координата. Например, если мы используем полярные координаты т, г, θ для описания плоского движения частицы, а если L не зависит от θ, сопряженный импульс - это сохраняющийся угловой момент.

Пример: свободная частица в полярных координатах

Тривиальные примеры помогают понять использование принципа действия через уравнения Эйлера – Лагранжа. Свободная частица (масса м и скорость v) в евклидовом пространстве движется по прямой. Используя уравнения Эйлера – Лагранжа, это можно показать в виде полярные координаты следующее. В отсутствие потенциала лагранжиан просто равен кинетической энергии

{ displaystyle L = { frac {1} {2}} mv ^ {2} = { frac {1} {2}} m left ({ dot {x}} ^ {2} + { dot {y}} ^ {2} right)}

в ортонормированном (Икс,у) координаты, где точка представляет дифференцирование по параметру кривой (обычно время, т). Следовательно, при применении уравнений Эйлера – Лагранжа

{ displaystyle { frac {d} {dt}} left ({ frac { partial L} { partial { dot {x}}}} right) - { frac { partial L} { частичный x}} = 0 qquad Rightarrow qquad m { ddot {x}} = 0}

И так же для у. Таким образом, формулировку Эйлера – Лагранжа можно использовать для вывода законов Ньютона.

В полярных координатах (р, φ) кинетическая энергия и, следовательно, лагранжиан принимает вид

{ displaystyle L = { frac {1} {2}} m left ({ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} { dot { varphi}} ^ {2} right ).}

Радиальный р и φ компоненты уравнений Эйлера – Лагранжа становятся соответственно

{ displaystyle { frac {d} {dt}} left ({ frac { partial L} { partial { dot {r}}}} right) - { frac { partial L} { частичный r}} = 0 qquad Rightarrow qquad { ddot {r}} - r { dot { varphi}} ^ {2} = 0}

{ displaystyle { frac {d} {dt}} left ({ frac { partial L} { partial { dot { varphi}}}}} right) - { frac { partial L} { partial varphi}} = 0 qquad Rightarrow qquad { ddot { varphi}} + { frac {2} {r}} { dot {r}} { dot { varphi}} = 0 .}

Решение этих двух уравнений дается формулой

{ displaystyle r = { sqrt {(at + b) ^ {2} + c ^ {2}}}}

{ displaystyle varphi = tan ^ {- 1} left ({ frac {at + b} {c}} right) + d}

для набора констант а, б, в, г определяется начальными условиями. решение - прямая линия задано в полярных координатах: а - скорость, c - расстояние наибольшего приближения к началу координат, а d угол движения.

Применяется к деформируемым телам

Принцип Гамильтона - важный вариационный принцип в эластодинамика. В отличие от системы, состоящей из твердых тел, деформируемые тела имеют бесконечное число степеней свободы и занимают непрерывные области пространства; следовательно, состояние системы описывается с помощью непрерывных функций пространства и времени. Расширенный принцип Гамильтона для таких тел дается формулой

{ displaystyle int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} left [ delta W_ {e} + delta T- delta U right] dt = 0}

куда Т кинетическая энергия, U - упругая энергия, W_е это работа, выполняемая внешними нагрузками на тело, и т₁, т₂ начальное и последнее время. Если система консервативна, работа, совершаемая внешними силами, может быть получена из скалярного потенциала V. В этом случае,

{ displaystyle delta int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} left [T- (U + V) right] dt = 0.}

Это называется принципом Гамильтона, и он инвариантен относительно преобразований координат.

Сравнение с принципом Мопертюи

Принцип Гамильтона и Принцип Мопертюи иногда путают, и оба были названы (неправильно) принцип наименьшего действия. Они различаются тремя важными способами:

их определение действие...

В принципе Мопертюи используется интеграл по обобщенные координаты известный как сокращенное действие или же уменьшенное действие

{ Displaystyle { mathcal {S}} _ {0} { stackrel { mathrm {def}} {=}} int mathbf {p} cdot d mathbf {q}}

куда п = (п₁, п₂, ..., п_N) - сопряженные импульсы, определенные выше. Напротив, принцип Гамильтона использует

{ Displaystyle { mathcal {S}}}

, интеграл от Лагранжиан над время.

решение, которое они определяют ...

Принцип Гамильтона определяет траекторию q(т) как функция времени, тогда как принцип Мопертюи определяет только форму траектории в обобщенных координатах. Например, принцип Мопертюи определяет форму эллипса, по которому движется частица под действием центральной силы, обратной квадрату, такой как сила тяжести, но не описывает как таковой как частица движется по этой траектории. (Однако эта временная параметризация может быть определена из самой траектории в последующих расчетах с использованием сохранение энергии ). Напротив, принцип Гамильтона прямо определяет движение по эллипсу как функцию времени.

... и ограничения на вариацию.

Принцип Мопертюи требует, чтобы два состояния конечной точки q₁ и q₂ быть заданным, и чтобы энергия сохранялась вдоль каждой траектории (одинаковая энергия для каждой траектории). Это заставляет также варьироваться время конечной точки. Напротив, принцип Гамильтона не требует сохранения энергии, но требует, чтобы время в конечной точке т₁ и т₂ должны быть указаны, а также состояния конечной точки q₁ и q₂.

Принцип действия для полей

Классическая теория поля

В принцип действия можно расширить, чтобы получить уравнения движения за поля, такой как электромагнитное поле или же сила тяжести.

В Уравнение Эйнштейна использует Действие Эйнштейна – Гильберта как сдерживается вариационный принцип.

Путь тела в гравитационном поле (то есть свободное падение в пространстве-времени, так называемая геодезическая) можно найти, используя принцип действия.

Квантовая механика и квантовая теория поля

В квантовая механика, система не следует по единственному пути, действие которого стационарно, но поведение системы зависит от всех возможных путей и ценности их действия. Действие, соответствующее различным путям, используется для расчета интеграл по путям, что дает амплитуды вероятности различных результатов.

Хотя эквивалент в классической механике с Законы Ньютона, то принцип действия лучше подходит для обобщений и играет важную роль в современной физике. Действительно, этот принцип - одно из величайших обобщений в физической науке. В частности, это полностью ценится и лучше всего понимается в рамках квантовая механика. Ричард Фейнман с формулировка интеграла по путям квантовой механики основана на принципе стационарного действия с использованием интегралов по траекториям. Уравнения Максвелла можно вывести как условия стационарного действия.