Вариационное исчисление - Calculus of variations

«Вариационный метод» перенаправляется сюда. Для использования в качестве метода приближения в квантовой механике см. Вариационный метод (квантовая механика).

В вариационное исчисление это область математический анализ который использует вариации, которые представляют собой небольшие изменения в функции и функционалы, чтобы найти максимумы и минимумы функционалов: сопоставления из набора функции к действительные числа.^[а] Функционалы часто выражаются как определенные интегралы включая функции и их производные. Функции, которые максимизируют или минимизируют функционалы, можно найти с помощью Уравнение Эйлера – Лагранжа. вариационного исчисления.

Простой пример такой задачи - найти кривую наименьшей длины, соединяющую две точки. Если ограничений нет, решением будет прямая линия между точками. Однако, если кривая ограничена лежать на поверхности в пространстве, то решение менее очевидное, и, возможно, может существовать множество решений. Такие решения известны как геодезические. Связанная проблема возникает Принцип Ферма: свет следует по пути кратчайшей оптической длины, соединяющему две точки, где оптическая длина зависит от материала среды. Одна соответствующая концепция в механика это принцип наименьшего / стационарного действия.

Многие важные проблемы связаны с функциями нескольких переменных. Решения краевые задачи для Уравнение лапласа удовлетворить Принцип Дирихле. Проблема плато Требуется найти поверхность минимальной площади, которая охватывает заданный контур в пространстве: решение часто можно найти, окунув раму в раствор мыльной пены. Хотя такие эксперименты относительно легко выполнить, их математическая интерпретация далеко не проста: может быть более одной локально минимизирующей поверхности, и они могут иметь нетривиальные топология.

История

Можно сказать, что вариационное исчисление начинается с Проблема минимального сопротивления Ньютона в 1687 г., а затем брахистохромная кривая проблема поднята Иоганн Бернулли (1696).^[2] Это сразу привлекло внимание Якоб Бернулли и Маркиз де л'Опиталь, но Леонард Эйлер впервые проработал тему, начиная с 1733 года. Лагранж находился под влиянием работ Эйлера, внесших значительный вклад в теорию. После того, как Эйлер увидел работу 19-летнего Лагранжа 1755 года, Эйлер отказался от своего частично геометрического подхода в пользу чисто аналитического подхода Лагранжа и переименовал предмет в вариационное исчисление в его лекции 1756 г. Elementa Calculi Variationum.^[3][4][1]

Legendre (1786) изложил метод, не совсем удовлетворительный, для различения максимумов и минимумов. Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц также рано обратил внимание на эту тему.^[5] К этой дискриминации Винченцо Бруначчи (1810), Карл Фридрих Гаусс (1829), Симеон Пуассон (1831), Михаил Остроградский (1834 г.), и Карл Якоби (1837) были среди авторов. Важной общей работой является работа Саррус (1842), который был сжат и улучшен Коши (1844 г.). Другие ценные трактаты и воспоминания написаны Штраух (1849), Джеллетт (1850), Отто Гессе (1857), Альфред Клебш (1858 г.), и Карл (1885), но, пожалуй, самая важная работа века - это работа Weierstrass. Его знаменитый теоретический курс является эпохальным, и можно утверждать, что он был первым, кто положил его на прочную и неоспоримую основу. В 20-е и 23-е Проблема гильберта опубликованная в 1900 г., способствовала дальнейшему развитию.^[5]

В 20 веке Дэвид Гильберт, Эмми Нётер, Леонида Тонелли, Анри Лебег и Жак Адамар среди прочего внесли значительный вклад.^[5] Марстон Морс прикладное вариационное исчисление в том, что сейчас называется Теория Морса.^[6] Лев Понтрягин, Ральф Рокафеллар и Ф. Х. Кларк разработали новые математические инструменты для вариационного исчисления в теория оптимального управления.^[6] В динамическое программирование из Ричард Беллман является альтернативой вариационному исчислению.^[7][8][9][b]

Extrema

Расчет вариаций касается максимумов или минимумов (все вместе называемых экстремумы) функционалов. Функциональные карты функции к скаляры, поэтому функционалы были описаны как «функции функций». Функционалы имеют экстремумы по элементам у данного функциональное пространство определяется над данным домен. Функциональный J [ у ] как говорят, имеет экстремум на функции ж  если ΔJ = J [ у ] − J [ ж] имеет то же самое знак для всех у в сколь угодно малой окрестности ж .^[c] Функция ж называется экстремальный функция или экстремальная.^[d] Экстремум J [ ж ] называется локальным максимумом, если ΔJ ≤ 0 всюду в сколь угодно малой окрестности ж , и местный минимум, если ΔJ ≥ 0 Там. Для функционального пространства непрерывных функций экстремумы соответствующих функционалов называются слабые экстремумы или сильные экстремумы, в зависимости от того, все ли первые производные непрерывных функций соответственно непрерывны или нет.^[11]

И сильные, и слабые экстремумы функционалов относятся к пространству непрерывных функций, но сильные экстремумы имеют дополнительное требование, чтобы первые производные функций в пространстве были непрерывными. Таким образом, сильный экстремум - это тоже слабый экстремум, но разговаривать может не выдержать. Найти сильные экстремумы сложнее, чем найти слабые.^[12] Пример необходимое условие для поиска слабых экстремумов используется Уравнение Эйлера – Лагранжа..^[13][e]

Уравнение Эйлера – Лагранжа.

Основная статья: Уравнение Эйлера – Лагранжа.

Нахождение экстремумов функционалов аналогично поиску максимумов и минимумов функций. Максимумы и минимумы функции можно найти, найдя точки, в которых ее производная равна нулю (т.е. равна нулю). Экстремумы функционалов можно получить, найдя функции, в которых функциональная производная равно нулю. Это приводит к решению связанных Уравнение Эйлера – Лагранжа..^[f]

Рассмотрим функционал

${\displaystyle J[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}L(x,y(x),y'(x))\,dx\,.}$

где

Икс₁, Икс₂ находятся константы,

у (Икс) дважды непрерывно дифференцируемо,

у ′(Икс) = dy / dx  ,

L(Икс, у (Икс), у ′(Икс)) дважды непрерывно дифференцируемо по своим аргументам Икс,  у,  у ′.

Если функционал J[у ] достигает местный минимум в ж , и η(Икс) - произвольная функция, имеющая хотя бы одну производную и обращающаяся в нуль на концах Икс₁ и Икс₂ , тогда для любого числа ε близко к 0,

${\displaystyle J[f]\leq J[f+\varepsilon \eta ]\,.}$

Период, термин εη называется вариация функции ж и обозначается δf .^[1][г]

Подстановкаж + εη за у в функционале J[ у ] , результат является функцией ε,

${\displaystyle \Phi (\varepsilon )=J[f+\varepsilon \eta ]\,.}$

Поскольку функционал J[ у ] имеет минимум для у = ж , функция Φ (ε) имеет минимум на ε = 0 и поэтому,^[час]

${\displaystyle \Phi '(0)\equiv \left.{\frac {d\Phi }{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\frac {dL}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}dx=0\,.}$

Принимая полная производная из L[Икс, у, у ′] , где у = ж + ε η и у ′ = ж ′ + ε η′ рассматриваются как функции ε скорее, чем Икс, дает

${\displaystyle {\frac {dL}{d\varepsilon }}={\frac {\partial L}{\partial y}}{\frac {dy}{d\varepsilon }}+{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {dy'}{d\varepsilon }}}$

и с тех порdy /dε = η и dy ′/dε = η ' ,

${\displaystyle {\frac {dL}{d\varepsilon }}={\frac {\partial L}{\partial y}}\eta +{\frac {\partial L}{\partial y'}}\eta '.}$

Следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left.{\frac {dL}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}dx&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\eta +{\frac {\partial L}{\partial f'}}\eta '\right)\,dx\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {\partial L}{\partial f}}\eta \,dx+\left.{\frac {\partial L}{\partial f'}}\eta \right|_{x_{1}}^{x_{2}}-\int _{x_{1}}^{x_{2}}\eta {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\,dx\\&=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial f}}\eta -\eta {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\,dx\\\end{aligned}}}$

где L[Икс, у, у ′] → L[Икс, ж, ж ′] когда ε = 0 и мы использовали интеграция по частям на второй срок. Второй член во второй строке исчезает, потому что η = 0 в Икс₁ и Икс₂ по определению. Кроме того, как упоминалось ранее, левая часть уравнения равна нулю, так что

${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}\eta (x)\left({\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}\right)\,dx=0\,.}$

Согласно основная лемма вариационного исчисления, часть подынтегрального выражения в скобках равна нулю, т.е.

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0}$

который называется Уравнение Эйлера – Лагранжа.. Левая часть этого уравнения называется функциональная производная из J[ж] и обозначается δJ/δf(Икс) .

В общем, это дает второй порядок обыкновенное дифференциальное уравнение которое можно решить для получения экстремальной функции ж(Икс) . Уравнение Эйлера – Лагранжа представляет собой необходимо, но нет достаточно, условие экстремума J[ж]. Достаточное условие минимума приведено в разделе Вариации и достаточное условие минимума.

пример

Чтобы проиллюстрировать этот процесс, рассмотрим задачу нахождения экстремальной функции у = ж (Икс) , которая является самой короткой кривой, соединяющей две точки (Икс₁, у₁) и (Икс₂, у₂) . В длина дуги кривой задается

${\displaystyle A[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+[y'(x)]^{2}}}\,dx\,,}$

с

${\displaystyle y\,'(x)={\frac {dy}{dx}}\,,\ \ y_{1}=f(x_{1})\,,\ \ y_{2}=f(x_{2})\,.}$

^[я]

Уравнение Эйлера – Лагранжа теперь будет использоваться для нахождения экстремальной функции ж (Икс) что минимизирует функционал А[у ] .

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0}$

с

${\displaystyle L={\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,.}$

поскольку ж не появляется явно в L , первый член в уравнении Эйлера – Лагранжа обращается в нуль при всех ж (Икс) и поэтому,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0\,.}$

Замена на L и взяв производную,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\frac {f'(x)}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}}\ =0\,.}$

Таким образом

${\displaystyle {\frac {f'(x)}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}}=c\,,}$

для некоторой постоянной c. потом

${\displaystyle {\frac {[f'(x)]^{2}}{1+[f'(x)]^{2}}}=c^{2}\,,}$

где

${\displaystyle 0\leq c^{2}<1.}$

Решив, получаем

${\displaystyle [f'(x)]^{2}={\frac {c^{2}}{1-c^{2}}}\,}$

откуда следует, что

${\displaystyle f'(x)=m}$

является константой, и поэтому кратчайшая кривая, соединяющая две точки (Икс₁, у₁) и (Икс₂, у₂) является

${\displaystyle f(x)=mx+b\qquad {\text{with}}\ \ m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\quad {\text{and}}\quad b={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}$

и, таким образом, мы нашли экстремальную функцию ж(Икс) что минимизирует функционал А[у] так что А[ж] это минимум. Уравнение прямой линии имеет вид у = ж(Икс). Другими словами, кратчайшее расстояние между двумя точками - прямая линия.^[j]

Личность Бельтрами

В задачах физики может быть так, что ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=0}$, что означает, что подынтегральное выражение является функцией ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle f'(x)}$ но ${\displaystyle x}$ отдельно не появляется. В этом случае уравнение Эйлера – Лагранжа можно упростить до Белтрами личность^[16]

${\displaystyle L-f'{\frac {\partial L}{\partial f'}}=C\,,}$

где ${\displaystyle C}$ является константой. Левая сторона - это Превращение Лежандра из ${\displaystyle L}$ относительно ${\displaystyle f'(x)}$.

Интуиция, стоящая за этим результатом, заключается в том, что если переменная Икс на самом деле время, тогда утверждение ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=0}$ означает, что лагранжиан не зависит от времени. От Теорема Нётер, существует связанная сохраняемая величина. В данном случае эта величина является гамильтонианом, преобразованием Лежандра лагранжиана, которое (часто) совпадает с энергией системы. Это (минус) константа в личности Бельтрами.

Уравнение Эйлера – Пуассона.

Если ${\displaystyle S}$ зависит от высших производных от ${\displaystyle y(x)}$, то есть если

${\displaystyle S=\int \limits _{a}^{b}f(x,y(x),y'(x),...,y^{n}(x))dx,}$

тогда ${\displaystyle y}$ должен удовлетворять Эйлеру -Пуассон уравнение,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left({\frac {\partial f}{\partial y'}}\right)+...+(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[{\frac {\partial f}{\partial y^{(n)}}}\right]=0.}$^[17]

Теорема Дюбуа-Реймона

До сих пор обсуждение предполагало, что экстремальные функции обладают двумя непрерывными производными, хотя существование интеграла J требует только первых производных от пробных функций. Условие обращения в нуль первой вариации на экстремали можно рассматривать как слабая форма уравнения Эйлера – Лагранжа. Теорема Дюбуа-Реймона утверждает, что из этой слабой формы следует сильная. Если L имеет непрерывные первую и вторую производные по всем своим аргументам, и если

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}L}{\partial f'^{2}}}\neq 0,}$

тогда ${\displaystyle f}$ имеет две непрерывные производные и удовлетворяет уравнению Эйлера – Лагранжа.

Феномен Лаврентьева

Гильберт был первым, кто дал хорошие условия для того, чтобы уравнения Эйлера – Лагранжа давали стационарное решение. В пределах выпуклой области и положительного трижды дифференцируемого лагранжиана решения состоят из счетного набора сечений, которые либо проходят вдоль границы, либо удовлетворяют уравнениям Эйлера – Лагранжа внутри.

Однако Лаврентьев в 1926 году показал, что есть обстоятельства, при которых нет оптимального решения, но к нему можно сколь угодно близко подходить, увеличивая количество секций. Феномен Лаврентьева определяет разницу в нижней грани задачи минимизации для разных классов допустимых функций. Например, следующая проблема, представленная Маниа в 1934 году:^[18]

${\displaystyle L[x]=\int _{0}^{1}(x^{3}-t)^{2}x'^{6},\,}$

${\displaystyle {A}=\{x\in W^{1,1}(0,1):x(0)=0,\ x(1)=1\}.}$

Ясно, ${\displaystyle x(t)=t^{\frac {1}{3}}}$ минимизирует функционал, но мы находим любую функцию ${\displaystyle x\in W^{1,\infty }}$ дает значение, отделенное от нижней грани!

Примеры (в одном измерении) традиционно проявляются через ${\displaystyle W^{1,1}}$ и ${\displaystyle W^{1,\infty }}$, но Болл и Мизель^[19] закупили первый функционал, отображавший феномен Лаврентьева на ${\displaystyle W^{1,p}}$ и ${\displaystyle W^{1,q}}$ за ${\displaystyle 1\leq p<q<\infty .}$ Есть несколько результатов, которые дают критерии, при которых это явление не возникает - например, «стандартный рост», лагранжиан без зависимости от второй переменной или аппроксимирующая последовательность, удовлетворяющая условию Чезари (D), - но результаты часто бывают частными и применимо к небольшому классу функционалов.

С Феноменом Лаврентьева связано свойство отталкивания: любой функционал, отображающий Феномен Лаврентьева, будет проявлять свойство слабого отталкивания.^[20]

Функции нескольких переменных

Например, если φ (Икс,у) обозначает смещение мембраны над областью D в Икс,у плоскости, то его потенциальная энергия пропорциональна площади его поверхности:

${\displaystyle U[\varphi ]=\iint _{D}{\sqrt {1+\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi }}\,dx\,dy.\,}$

Проблема плато состоит в нахождении функции, которая минимизирует площадь поверхности, принимая заданные значения на границе D; решения называются минимальные поверхности. Уравнение Эйлера – Лагранжа для этой задачи нелинейно:

${\displaystyle \varphi _{xx}(1+\varphi _{y}^{2})+\varphi _{yy}(1+\varphi _{x}^{2})-2\varphi _{x}\varphi _{y}\varphi _{xy}=0.\,}$

См. Подробности в Courant (1950).

Принцип Дирихле

Часто достаточно рассматривать только небольшие смещения мембраны, разность энергии которых от отсутствия смещения аппроксимируется выражением

${\displaystyle V[\varphi ]={\frac {1}{2}}\iint _{D}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \,dx\,dy.\,}$

Функционал V должна быть минимизирована среди всех пробных функций φ, принимающих заданные значения на границе D. Если ты - минимизирующая функция и v - произвольная гладкая функция, обращающаяся в нуль на границе D, то первая вариация ${\displaystyle V[u+\varepsilon v]}$ должно исчезнуть:

${\displaystyle {\frac {d}{d\varepsilon }}V[u+\varepsilon v]|_{\varepsilon =0}=\iint _{D}\nabla u\cdot \nabla v\,dx\,dy=0.\,}$

При условии, что u имеет две производные, мы можем применить теорему о расходимости, чтобы получить

${\displaystyle \iint _{D}\nabla \cdot (v\nabla u)\,dx\,dy=\iint _{D}\nabla u\cdot \nabla v+v\nabla \cdot \nabla u\,dx\,dy=\int _{C}v{\frac {\partial u}{\partial n}}\,ds,}$

где C граница D, s длина дуги C и ${\displaystyle \partial u/\partial n}$ нормальная производная от ты на C. поскольку v исчезает на C и первая вариация исчезает, результат

${\displaystyle \iint _{D}v\nabla \cdot \nabla u\,dx\,dy=0\,}$

для всех гладких функций v, обращающихся в нуль на границе D. Доказательство для случая одномерных интегралов может быть адаптировано к этому случаю, чтобы показать, что

${\displaystyle \nabla \cdot \nabla u=0\,}$ в D.

Сложность этого рассуждения состоит в предположении, что минимизирующая функция u должна иметь две производные. Риман утверждал, что существование гладкой минимизирующей функции было обеспечено связью с физической проблемой: мембраны действительно принимают конфигурации с минимальной потенциальной энергией. Риман назвал эту идею Принцип Дирихле в честь своего учителя Питер Густав Лежен Дирихле. Однако Вейерштрасс привел пример вариационной задачи без решения: минимизировать

${\displaystyle W[\varphi ]=\int _{-1}^{1}(x\varphi ')^{2}\,dx\,}$

среди всех функций φ это удовлетворяет ${\displaystyle \varphi (-1)=-1}$ и${\displaystyle \varphi (1)=1.}$${\displaystyle W}$ можно сделать сколь угодно малым, выбрав кусочно-линейные функции, которые переходят от -1 к 1 в небольшой окрестности начала координат. Однако нет функции, которая заставляет ${\displaystyle W=0}$.^[k] В конце концов было показано, что принцип Дирихле верен, но требует сложного применения теории регулярности для эллиптические уравнения в частных производных; см. Jost and Li – Jost (1998).

Обобщение на другие краевые задачи

Более общее выражение для потенциальной энергии мембраны:

${\displaystyle V[\varphi ]=\iint _{D}\left[{\frac {1}{2}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +f(x,y)\varphi \right]\,dx\,dy\,+\int _{C}\left[{\frac {1}{2}}\sigma (s)\varphi ^{2}+g(s)\varphi \right]\,ds.}$

Это соответствует плотности внешней силы ${\displaystyle f(x,y)}$ в D, внешняя сила ${\displaystyle g(s)}$ на границе C, а упругие силы с модулем ${\displaystyle \sigma (s)}$ действующий на C. Функция, минимизирующая потенциальную энергию без ограничения его граничных значений будем обозначать ты. При условии, что ж и г непрерывны, из теории регулярности следует, что минимизирующая функция ты будет иметь две производные. При выборе первого варианта не требуется налагать граничные условия на приращение v. Первая вариация${\displaystyle V[u+\varepsilon v]}$ дан кем-то

${\displaystyle \iint _{D}\left[\nabla u\cdot \nabla v+fv\right]\,dx\,dy+\int _{C}\left[\sigma uv+gv\right]\,ds=0.\,}$

Если мы применим теорему о расходимости, результат будет

${\displaystyle \iint _{D}\left[-v\nabla \cdot \nabla u+vf\right]\,dx\,dy+\int _{C}v\left[{\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma u+g\right]\,ds=0.\,}$

Если мы сначала установим v = 0 на C, граничный интеграл обращается в нуль, и мы по-прежнему заключаем, что

${\displaystyle -\nabla \cdot \nabla u+f=0\,}$

в D. Тогда, если мы позволим v чтобы принять произвольные граничные значения, это означает, что ты должен удовлетворять граничному условию

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma u+g=0,\,}$

на C. Это граничное условие является следствием минимизирующего свойства ты: заранее не навязывается. Такие условия называются естественные граничные условия.

Предыдущее рассуждение недействительно, если ${\displaystyle \sigma }$ одинаково исчезает на C. В таком случае мы можем разрешить пробную функцию ${\displaystyle \varphi \equiv c}$, где c является константой. Для такой пробной функции

${\displaystyle V[c]=c\left[\iint _{D}f\,dx\,dy+\int _{C}g\,ds\right].}$

При соответствующем выборе c, V может принимать любое значение, если только количество в скобках не обращается в нуль. Следовательно, вариационная задача бессмысленна, если

${\displaystyle \iint _{D}f\,dx\,dy+\int _{C}g\,ds=0.\,}$

Это условие означает, что чистые внешние силы, действующие на систему, находятся в равновесии. Если эти силы находятся в равновесии, то вариационная задача имеет решение, но оно не единственное, поскольку может быть добавлена ​​произвольная константа. Дальнейшие подробности и примеры можно найти у Куранта и Гильберта (1953).

Проблемы с собственными значениями

Как одномерные, так и многомерные проблемы с собственными значениями можно сформулировать как вариационные задачи.

Задачи Штурма – Лиувилля.

Смотрите также: Теория Штурма – Лиувилля

Проблема собственных значений Штурма – Лиувилля включает общую квадратичную форму

${\displaystyle Q[\varphi ]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)\varphi '(x)^{2}+q(x)\varphi (x)^{2}\right]\,dx,\,}$

где ${\displaystyle \varphi }$ ограничивается функциями, удовлетворяющими граничным условиям

${\displaystyle \varphi (x_{1})=0,\quad \varphi (x_{2})=0.\,}$

Позволять р - нормализационный интеграл

${\displaystyle R[\varphi ]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}r(x)\varphi (x)^{2}\,dx.\,}$

Функции ${\displaystyle p(x)}$ и ${\displaystyle r(x)}$ должны быть всюду положительными и отделенными от нуля. Основная вариационная задача - минимизировать отношение Q/р среди всех φ, удовлетворяющих конечным условиям. Ниже показано, что уравнение Эйлера – Лагранжа для минимизации ты является

${\displaystyle -(pu')'+qu-\lambda ru=0,\,}$

где λ - фактор

${\displaystyle \lambda ={\frac {Q[u]}{R[u]}}.\,}$

Можно показать (см. Гельфанд, Фомин, 1963), что минимизирующая ты имеет две производные и удовлетворяет уравнению Эйлера – Лагранжа. Соответствующий λ обозначим через ${\displaystyle \lambda _{1}}$; это наименьшее собственное значение для этого уравнения и граничных условий. Соответствующую минимизирующую функцию обозначим через ${\displaystyle u_{1}(x)}$. Эта вариационная характеризация собственных значений приводит к Метод Рэлея – Ритца: выбрать приблизительный ты как линейная комбинация базисных функций (например, тригонометрических функций) и выполнять конечномерную минимизацию среди таких линейных комбинаций. Этот метод часто бывает на удивление точным.

Следующее наименьшее собственное значение и собственная функция могут быть получены путем минимизации Q при дополнительном ограничении

${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}r(x)u_{1}(x)\varphi (x)\,dx=0.\,}$

Эту процедуру можно расширить, чтобы получить полную последовательность собственных значений и собственных функций для задачи.

Вариационная задача также применима к более общим граничным условиям. Вместо того, чтобы требовать, чтобы φ обращалось в нуль в конечных точках, мы не можем налагать никаких условий на конечные точки и установить

${\displaystyle Q[\varphi ]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)\varphi '(x)^{2}+q(x)\varphi (x)^{2}\right]\,dx+a_{1}\varphi (x_{1})^{2}+a_{2}\varphi (x_{2})^{2},\,}$

где ${\displaystyle a_{1}}$ и ${\displaystyle a_{2}}$ произвольны. Если мы установим ${\displaystyle \varphi =u+\varepsilon v}$ первая вариация отношения ${\displaystyle Q/R}$ является

${\displaystyle V_{1}={\frac {2}{R[u]}}\left(\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)u'(x)v'(x)+q(x)u(x)v(x)-\lambda u(x)v(x)\right]\,dx+a_{1}u(x_{1})v(x_{1})+a_{2}u(x_{2})v(x_{2})\right),\,}$

где λ определяется отношением ${\displaystyle Q[u]/R[u]}$ как и раньше. после интеграции по частям,

${\displaystyle {\frac {R[u]}{2}}V_{1}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}v(x)\left[-(pu')'+qu-\lambda ru\right]\,dx+v(x_{1})[-p(x_{1})u'(x_{1})+a_{1}u(x_{1})]+v(x_{2})[p(x_{2})u'(x_{2})+a_{2}u(x_{2})].\,}$

Если мы сначала потребуем, чтобы v исчезают в конечных точках, первая вариация исчезнет для всех таких v только если

${\displaystyle -(pu')'+qu-\lambda ru=0\quad {\hbox{for}}\quad x_{1}<x<x_{2}.\,}$

Если ты удовлетворяет этому условию, то первая вариация обращается в нуль для произвольного v только если

${\displaystyle -p(x_{1})u'(x_{1})+a_{1}u(x_{1})=0,\quad {\hbox{and}}\quad p(x_{2})u'(x_{2})+a_{2}u(x_{2})=0.\,}$

Эти последние условия являются естественные граничные условия для этой проблемы, поскольку они не накладываются на пробные функции для минимизации, а являются следствием минимизации.

Проблемы собственных значений в нескольких измерениях

Задачи на собственные значения в высших измерениях определяются аналогично одномерному случаю. Например, учитывая домен D с границей B в трех измерениях мы можем определить

${\displaystyle Q[\varphi ]=\iiint _{D}p(X)\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +q(X)\varphi ^{2}\,dx\,dy\,dz+\iint _{B}\sigma (S)\varphi ^{2}\,dS,\,}$

и

${\displaystyle R[\varphi ]=\iiint _{D}r(X)\varphi (X)^{2}\,dx\,dy\,dz.\,}$

Позволять ты - функция, которая минимизирует частное ${\displaystyle Q[\varphi ]/R[\varphi ],}$без каких-либо условий на границе B. Уравнение Эйлера – Лагранжа, которому удовлетворяет ты является

${\displaystyle -\nabla \cdot (p(X)\nabla u)+q(x)u-\lambda r(x)u=0,\,}$

где

${\displaystyle \lambda ={\frac {Q[u]}{R[u]}}.\,}$

Минимизация ты также должно удовлетворять естественному граничному условию

${\displaystyle p(S){\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma (S)u=0,}$

на границе B. Этот результат зависит от теории регулярности эллиптических уравнений в частных производных; подробности см. Jost and Li – Jost (1998). Многие расширения, включая результаты о полноте, асимптотические свойства собственных значений и результаты, касающиеся узлов собственных функций, содержатся в Куранте и Гильберте (1953).

Приложения

Оптика

Принцип Ферма утверждает, что свет проходит по пути, который (локально) минимизирует оптическую длину между его конечными точками. Если Икс-координата выбирается в качестве параметра по пути, а ${\displaystyle y=f(x)}$ вдоль пути, то оптическая длина определяется выражением

${\displaystyle A[f]=\int _{x=x_{0}}^{x_{1}}n(x,f(x)){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx,\,}$

где показатель преломления ${\displaystyle n(x,y)}$ зависит от материала.Если мы попробуем ${\displaystyle f(x)=f_{0}(x)+\varepsilon f_{1}(x)}$затем первая вариация из А (производная от А относительно ε) является

${\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=\int _{x=x_{0}}^{x_{1}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}}+n_{y}(x,f_{0})f_{1}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}\right]dx.}$

После интегрирования по частям первого члена в скобках получаем уравнение Эйлера – Лагранжа

${\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'}{\sqrt {1+f_{0}'^{2}}}}\right]+n_{y}(x,f_{0}){\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}=0.\,}$

Световые лучи могут быть определены интегрированием этого уравнения. Этот формализм используется в контексте Лагранжева оптика и Гамильтонова оптика.

Закон Снеллиуса

Когда свет попадает в линзу или выходит из нее, наблюдается скачок показателя преломления. Позволять

${\displaystyle n(x,y)=n_{(-)}\quad {\hbox{if}}\quad x<0,\,}$

${\displaystyle n(x,y)=n_{(+)}\quad {\hbox{if}}\quad x>0,\,}$

где ${\displaystyle n_{(-)}}$ и ${\displaystyle n_{(+)}}$ являются константами. Тогда уравнение Эйлера – Лагранжа выполняется по-прежнему в области, где Икс<0 или Икс> 0, и фактически путь там является прямой линией, поскольку показатель преломления постоянен. На Икс=0, ж должен быть непрерывным, но f ' может быть прерывистым. После интегрирования по частям в отдельных областях и с использованием уравнений Эйлера – Лагранжа первая вариация принимает вид

${\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=f_{1}(0)\left[n_{(-)}{\frac {f_{0}'(0^{-})}{\sqrt {1+f_{0}'(0^{-})^{2}}}}-n_{(+)}{\frac {f_{0}'(0^{+})}{\sqrt {1+f_{0}'(0^{+})^{2}}}}\right].\,}$

Фактор умножения ${\displaystyle n_{(-)}}$ это синус угла падающего луча с Икс ось, а множитель ${\displaystyle n_{(+)}}$ это синус угла преломленного луча с Икс ось. Закон Снеллиуса для преломления требует, чтобы эти члены были равны. Как показывает этот расчет, закон Снеллиуса эквивалентен обращению в нуль первой вариации длины оптического пути.

Принцип Ферма в трех измерениях

Целесообразно использовать векторные обозначения: пусть ${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},x_{3}),}$ позволять т параметр, пусть ${\displaystyle X(t)}$ - параметрическое представление кривой C, и разреши ${\displaystyle {\dot {X}}(t)}$ - его касательный вектор. Оптическая длина кривой определяется выражением

${\displaystyle A[C]=\int _{t=t_{0}}^{t_{1}}n(X){\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}\,dt.\,}$

Отметим, что этот интеграл инвариантен относительно изменений параметрического представления C. Уравнения Эйлера – Лагранжа для минимизирующей кривой имеют симметричный вид

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}P={\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}\,\nabla n,\,}$

где

${\displaystyle P={\frac {n(X){\dot {X}}}{\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}}.\,}$

Из определения следует, что п удовлетворяет

${\displaystyle P\cdot P=n(X)^{2}.\,}$

Следовательно, интеграл можно также записать как

${\displaystyle A[C]=\int _{t=t_{0}}^{t_{1}}P\cdot {\dot {X}}\,dt.\,}$

Эта форма предполагает, что если мы сможем найти функцию ψ, градиент которой задается формулой п, то интеграл А дается разностью ψ на концах интервала интегрирования. Таким образом, проблема изучения кривых, делающих интеграл стационарным, может быть связана с изучением поверхностей уровня ψ. Чтобы найти такую ​​функцию, обратимся к волновому уравнению, которое определяет распространение света. Этот формализм используется в контексте Лагранжева оптика и Гамильтонова оптика.

Связь с волновым уравнением

В волновое уравнение для неоднородной среды

${\displaystyle u_{tt}=c^{2}\nabla \cdot \nabla u,\,}$

где c - скорость, которая обычно зависит от Икс. Волновые фронты для света являются характеристическими поверхностями для этого уравнения в частных производных: они удовлетворяют

${\displaystyle \varphi _{t}^{2}=c(X)^{2}\,\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi .\,}$

Мы можем искать решения в виде

${\displaystyle \varphi (t,X)=t-\psi (X).\,}$

В этом случае ψ удовлетворяет

${\displaystyle \nabla \psi \cdot \nabla \psi =n^{2},\,}$

где ${\displaystyle n=1/c.}$ Согласно теории уравнения в частных производных первого порядка, если ${\displaystyle P=\nabla \psi ,}$ тогда п удовлетворяет

${\displaystyle {\frac {dP}{ds}}=n\,\nabla n,}$

по системе кривых (световые лучи), которые даются

${\displaystyle {\frac {dX}{ds}}=P.\,}$

Эти уравнения для решения дифференциального уравнения с частными производными первого порядка идентичны уравнениям Эйлера – Лагранжа, если мы сделаем идентификацию

${\displaystyle {\frac {ds}{dt}}={\frac {\sqrt {{\dot {X}}\cdot {\dot {X}}}}{n}}.\,}$

Делаем вывод, что функция ψ является значением минимизирующего интеграла А как функция от верхней конечной точки. То есть, когда построено семейство минимизирующих кривых, значения оптической длины удовлетворяют характеристическому уравнению, соответствующему волновому уравнению. Следовательно, решение соответствующего уравнения в частных производных первого порядка эквивалентно нахождению семейств решений вариационной задачи. Это основное содержание Теория Гамильтона – Якоби, что относится к более общим вариационным задачам.

Механика

Основная статья: Экшен (физика)

В классической механике действие, S, определяется как интеграл от лагранжиана по времени, L. Лагранжиан - это разность энергий,

${\displaystyle L=T-U,\,}$

где Т это кинетическая энергия механической системы и U его потенциальная энергия. Принцип Гамильтона (или принцип действия) утверждает, что движение консервативной голономной (интегрируемые связи) механической системы таково, что интеграл действия

${\displaystyle S=\int _{t=t_{0}}^{t_{1}}L(x,{\dot {x}},t)\,dt}$

стационарен по отношению к вариациям пути Икс(тУравнения Эйлера – Лагранжа для этой системы известны как уравнения Лагранжа:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial L}{\partial x}},\,}$

и они эквивалентны уравнениям движения Ньютона (для таких систем).

Сопряженные импульсы п определены

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}.\,}$

Например, если

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2},\,}$

тогда

${\displaystyle p=m{\dot {x}}.\,}$

Гамильтонова механика результат, если сопряженные импульсы ввести вместо ${\displaystyle {\dot {x}}}$ преобразованием Лежандра лагранжиана L в гамильтониан ЧАС определяется

${\displaystyle H(x,p,t)=p\,{\dot {x}}-L(x,{\dot {x}},t).\,}$

Гамильтониан - это полная энергия системы: ЧАС = Т + UАналогия с принципом Ферма предполагает, что решения уравнений Лагранжа (траектории частиц) могут быть описаны в терминах поверхностей уровня некоторой функции Икс. Эта функция является решением Уравнение Гамильтона – Якоби:

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+H\left(x,{\frac {\partial \psi }{\partial x}},t\right)=0.\,}$

Дальнейшие приложения

Основная статья: Приложения вариационного исчисления

Дальнейшие применения вариационного исчисления включают следующее:

• Вывод цепная связь форма
• Решение для Проблема минимального сопротивления Ньютона
• Решение проблемы брахистохрона проблема
• Решение для изопериметрический проблемы
• Расчет геодезические
• обнаружение минимальные поверхности и решение Проблема плато
• Оптимальный контроль

Вариации и достаточное условие минимума

Вариационное исчисление связано с вариациями функционалов, которые представляют собой небольшие изменения значения функционала из-за небольших изменений функции, являющейся его аргументом. В первая вариация^[l] определяется как линейная часть изменения функционала, а второй вариант^[м] определяется как квадратичная часть.^[22]

Например, если J[у] - функционал с функцией у = у(Икс) в качестве аргумента, и есть небольшое изменение в его аргументе от у к у + час, где час = час(Икс) функция в том же функциональном пространстве, что и у, то соответствующее изменение функционала равно

${\displaystyle \Delta J[h]=J[y+h]-J[y].}$  ^[n]

Функционал J[у] как говорят дифференцируемый если

${\displaystyle \Delta J[h]=\varphi [h]+\varepsilon \|h\|,}$

где φ[час] - линейный функционал,^[o] || h || это норма час,^[п] и ε → 0 так как || h || → 0. Линейный функционал φ[час] это первая вариация J[у] и обозначается,^[26]

${\displaystyle \delta J[h]=\varphi [h].}$

Функционал J[у] как говорят дважды дифференцируемый если

${\displaystyle \Delta J[h]=\varphi _{1}[h]+\varphi _{2}[h]+\varepsilon \|h\|^{2},}$

где φ₁[час] - линейный функционал (первая вариация), φ₂[час] - квадратичный функционал,^[q] и ε → 0 так как || h || → 0. Квадратичный функционал φ₂[час] это вторая вариация J[у] и обозначается,^[28]

${\displaystyle \delta ^{2}J[h]=\varphi _{2}[h].}$

Второй вариант δ²J[час] как говорят сильно положительный если

${\displaystyle \delta ^{2}J[h]\geq k\|h\|^{2},}$

для всех час и для некоторой постоянной k > 0 .^[29]

Используя приведенные выше определения, особенно определения первой вариации, второй вариации и строго положительного, можно сформулировать следующее достаточное условие минимума функционала.

Достаточное состояние по минимуму:

Функционал J[у] имеет минимум на у = ŷ если его первая вариация δJ[час] = 0 в у = ŷ и его вторая вариация δ²J[час] сильно положительный при у = ŷ .^{[30] [р][s]}

Смотрите также

• Первый вариант
• Изопериметрическое неравенство
• Вариационный принцип
• Вариационный бикомплекс
• Принцип Ферма
• Принцип наименьшего действия
• Бесконечномерная оптимизация
• Функциональный анализ
• Вариационный принцип Экланда
• Обратная задача для лагранжевой механики
• Проблема с препятствием
• Методы возмущений
• Молодая мера
• Оптимальный контроль
• Прямой метод вариационного исчисления
• Теорема Нётер
• Теория де Дондера – Вейля
• Вариационные байесовские методы
• Проблема Чаплыгина
• Коллектор Нехари
• Принцип Ху – Васидзу
• Вариационный принцип Люка
• Теорема о горном перевале
• Категория: Вариационные аналитики
• Меры центральной тенденции как решения вариационных задач
• Медаль Stampacchia
• Приз Ферма
• Удобное векторное пространство

Примечания

1. В то время как элементарное исчисление около бесконечно мало небольшие изменения значений функций без изменений самой функции, вариационное исчисление - это бесконечно малые изменения самой функции, которые называются вариациями.^[1]
2. Увидеть Гарольд Дж. Кушнер (2004): относительно динамического программирования: «У вариационного исчисления были похожие идеи (например, работа Каратеодори, уравнение Гамильтона-Якоби). Это привело к конфликтам с сообществом вариационного исчисления».
3. Окрестности ж часть данного функционального пространства, где | у − ж| <ч во всей области функций, причем час положительное число, определяющее размер района.^[10]
4. Обратите внимание на разницу между терминами экстремум и экстремум. Экстремаль - это функция, превращающая функционал в экстремум.
5. О достаточных условиях см. Раздел Вариации и достаточное условие минимума.
6. Следующий вывод уравнения Эйлера – Лагранжа соответствует выводу Куранта и Гильберта (1953) на стр. 184–185.^[14]
7. Обратите внимание, что η (х) и f (x) оцениваются на такой же ценности Икс, что в целом неприменимо в вариационном исчислении с неголономными связями.
8. Продукт εΦ ′ (0) называется первой вариацией функционала J и обозначается δJ. Некоторые ссылки определяют первая вариация иначе, опуская ε фактор.
9. Обратите внимание, что предположение, что y является функцией x, теряет общность; в идеале оба должны быть функцией какого-то другого параметра. Такой подход хорош исключительно в поучительных целях.
10. Исторически это аксиома Архимед. См. Например Келланд (1843 г.).^[15]
11. Возникшие разногласия по поводу справедливости принципа Дирихле объясняются Тернбулл.^[21]
12. Первый вариант также называется вариацией, дифференциалом или первым дифференциалом.
13. Вторую вариацию еще называют вторым дифференциалом.
14. Обратите внимание, что Δ J[час] и приведенные ниже варианты зависят от обоих у и час. Аргумент у был опущен для упрощения обозначений. Например, Δ J[час] мог быть написан Δ J[у ; час].^[23]
15. Функциональный φ[час] как говорят линейный если φ[αh] = α φ[час] и φ[час₁ +час₂] = φ[час₁] + φ[час₂] , где час, час₁, час₂ функции и α это действительное число.^[24]
16. Для функции час = час(Икс) что определено для а ≤ Икс ≤ б, где а и б являются действительными числами, норма час - его максимальное абсолютное значение, т.е. || h || = макс |час(Икс)| за а ≤ Икс ≤ б.^[25]
17. Функционал называется квадратичный если это билинейный функционал с двумя равными функциями аргумента. А билинейный функционал - это функционал, который зависит от двух функций аргумента и является линейным, когда каждая функция аргумента, в свою очередь, является фиксированной, в то время как другая функция аргумента является переменной.^[27]
18. Другие достаточные условия см. В Гельфанд и Фомин 2000,
    • Глава 5: «Вторая вариация. Достаточные условия слабого экстремума» - Достаточные условия слабого минимума дает теорема на с. 116.
    • Глава 6: «Поля. Достаточные условия сильного экстремума» - Достаточные условия сильного минимума дает теорема на с. 148.
19. Можно отметить сходство с достаточным условием минимума функции, когда первая производная равна нулю, а вторая производная положительна.

использованная литература

1. Курант и Гильберт 1953, п. 184
2. Гельфанд, И.М.; Фомин, С.В. (2000). Сильверман, Ричард А. (ред.). Вариационное исчисление (Полный текст под ред.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 3. ISBN  978-0486414485.
3. Тиле, Рюдигер (2007). «Эйлер и вариационное исчисление». В Брэдли, Роберт Э .; Сандифер, К. Эдвард (ред.). Леонард Эйлер: жизнь, работа и наследие. Эльзевир. п. 249. ISBN  9780080471297.
4. Голдстайн, Герман Х. (2012). История вариационного исчисления с 17 по 19 век. Springer Science & Business Media. п. 110. ISBN  9781461381068.
5. ван Брант, Брюс (2004). Вариационное исчисление. Springer. ISBN  978-0-387-40247-5.
6. Фергюсон, Джеймс (2004). «Краткий обзор истории вариационного исчисления и его приложений». arXiv:математика / 0402357.
7. Димитрий Берцекас. Динамическое программирование и оптимальное управление. Афина Сайентифик, 2005.
8. Беллман, Ричард Э. (1954). «Динамическое программирование и новый формализм в вариационном исчислении». Proc. Natl. Акад. Наука. 40 (4): 231–235. Bibcode:1954ПНАС ... 40..231Б. Дои:10.1073 / пнас.40.4.231. ЧВК  527981. PMID  16589462.
9. «Премия Ричарда Беллмана за культурное наследие». Американский совет по автоматическому контролю. 2004. Получено 2013-07-28.
10. Курант Р.; Гильберт, Д (1953). Методы математической физики. я (Первое англ. Ред.). Нью-Йорк: Interscience Publishers, Inc., стр. 169. ISBN  978-0471504474.
11. Гельфанд и Фомин 2000, стр. 12–13
12. Гельфанд и Фомин 2000, п. 13
13. Гельфанд и Фомин 2000, стр. 14–15
14. Курант, Р.; Гильберт, Д. (1953). Методы математической физики. я (Первое англ. Ред.). Нью-Йорк: Interscience Publishers, Inc. ISBN  978-0471504474.
15. Келланд, Филип (1843). Лекции по принципам показательной математики. п. 58 - через Google Книги.
16. Вайсштейн, Эрик В. «Дифференциальное уравнение Эйлера – Лагранжа». mathworld.wolfram.com. Вольфрам. Уравнение (5).
17. Кот, Марк (2014). «Глава 4: Основные обобщения». Первый курс вариационного исчисления. Американское математическое общество. ISBN  978-1-4704-1495-5.
18. Маниа, Бернар (1934). "Sopra un esempio di Lavrentieff". Bollenttino dell'Unione Matematica Italiana. 13: 147–153.
19. Болл и Мизель (1985). «Одномерные вариационные задачи, минимизаторы которых не удовлетворяют уравнению Эйлера-Лагранжа». Архив рациональной механики и анализа. 90 (4): 325–388. Bibcode:1985АрРМА..90..325Б. Дои:10.1007 / BF00276295. S2CID  55005550.
20. Ферриеро, Алессандро (2007). «Свойство слабого отталкивания». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 88 (4): 378–388. Дои:10.1016 / j.matpur.2007.06.002.
21. Тернбулл. "Биография Римана". Великобритания: У. Сент-Эндрю.
22. Гельфанд и Фомин 2000, стр. 11–12, 99
23. Гельфанд и Фомин 2000, п. 12, сноска 6
24. Гельфанд и Фомин 2000, п. 8
25. Гельфанд и Фомин 2000, п. 6
26. Гельфанд и Фомин 2000, стр. 11–12
27. Гельфанд и Фомин 2000, стр. 97–98
28. Гельфанд и Фомин 2000, п. 99
29. Гельфанд и Фомин 2000, п. 100
30. Гельфанд и Фомин 2000, п. 100, теорема 2

дальнейшее чтение

• Бенесова Б., Крузик М .: «Слабая полунепрерывность снизу интегральных функционалов и приложения». SIAM Обзор 59(4) (2017), 703–766.
• Больца, О.: Лекции по вариационному исчислению. Chelsea Publishing Company, 1904 г., имеется в библиотеке цифровой математики. 2-е издание переиздано в 1961 г., в мягкой обложке в 2005 г., ISBN  978-1-4181-8201-4.
• Кассель, Кевин В .: Вариационные методы с приложениями в науке и технике, Cambridge University Press, 2013.
• Клегг, Дж. К.: Исчисление вариаций, Interscience Publishers Inc., 1968 г.
• Курант, Р.: Принцип Дирихле, конформное отображение и минимальные поверхности. Interscience, 1950.
• Дакорогна, Бернар: "Введение " Введение в вариационное исчисление, 3-е изд. 2014, Всемирное научное издательство, ISBN  978-1-78326-551-0.
• Эльсголк, Л.Э .: Исчисление вариаций, Pergamon Press Ltd., 1962.
• Форсайт, А.Р .: Исчисление вариаций, Дувр, 1960.
• Фокс, Чарльз: Введение в вариационное исчисление, Dover Publ., 1987.
• Джакинта, Мариано; Хильдебрандт, Стефан: Вариационное исчисление I и II, Springer-Verlag, ISBN  978-3-662-03278-7 и ISBN  978-3-662-06201-2
• Йост, Дж. И Х. Ли-Йост: Исчисление вариаций. Издательство Кембриджского университета, 1998.
• Лебедев, Л.П., Клауд, М.Дж .: Вариационное исчисление и функциональный анализ с оптимальным управлением и приложения в механике, World Scientific, 2003, страницы 1–98.
• Логан, Дж. Дэвид: Прикладная математика, 3-е изд. Wiley-Interscience, 2006 г.
• Пайк, Ральф В. «Глава 8: Вариационное исчисление». Оптимизация инженерных систем. Университет штата Луизиана. Архивировано из оригинал на 2007-07-05.
• Рубичек, Т .: "Вариационное исчисление ". Глава 17 в: Математические инструменты для физиков. (Ред. М. Гринфельд) J. Wiley, Weinheim, 2014 г., ISBN  978-3-527-41188-7С. 551–588.
• Саган, Ганс: Введение в вариационное исчисление, Дувр, 1992.
• Вайншток, Роберт: Вариационное исчисление в приложениях к физике и технике, Dover, 1974 (перепечатка изд. 1952 г.).

внешняя ссылка

• Вариационное исчисление. Энциклопедия математики.
• вариационное исчисление. PlanetMath.
• Исчисление вариаций. MathWorld.
• Вариационное исчисление. Примеры проблем.
• Математика - вариационное исчисление и интегральные уравнения. Лекции по YouTube.
• Избранные статьи по геодезическим полям. Часть I, Часть II.