Вариационный принцип Люкса - Lukes variational principle - Wikipedia

В динамика жидкостей, Вариационный принцип Люка это Лагранжиан вариационный описание движения поверхностные волны на жидкость с свободная поверхность, под действием сила тяжести. Этот принцип назван в честь Дж. К. Люка, который опубликовал его в 1967 году.^[1] Этот вариационный принцип предназначен для несжимаемый и невязкий потенциальные потоки, и используется для получения приближенных волновых моделей, таких как уравнение с умеренным наклоном,^[2] или используя усредненный лагранжиан подход к распространению волн в неоднородных средах.^[3]

Лагранжева формулировка Люка также может быть преобразована в Гамильтониан формулировка в терминах возвышения поверхности и потенциала скорости на свободной поверхности.^[4][5][6] Это часто используется при моделировании спектральная плотность эволюция свободной поверхности в состояние моря иногда называют волновая турбулентность.

И лагранжева, и гамильтонова формулировки могут быть расширены, чтобы включить поверхностное натяжение эффекты, и с помощью Потенциалы Клебша включать завихренность.^[1]

Лагранжиан Люка

Люка Лагранжиан формулировка предназначена для нелинейный поверхностные гравитационные волны на -несжимаемый, безвихревый и невязкий —потенциальный поток.

Соответствующие ингредиенты, необходимые для описания этого потока:

• Φ(Икс,z,т) это потенциал скорости,
• ρ это жидкость плотность,
• грамм это ускорение Земное притяжение,
• Икс - горизонтальный вектор координат с компонентами Икс и у,
• Икс и у - горизонтальные координаты,
• z - вертикальная координата,
• т время, и
• ∇ - горизонтальный градиент оператор, поэтому ∇Φ горизонтальный скорость потока состоящий из ∂Φ/∂Икс и ∂Φ/∂у,
• V(т) - зависящая от времени область жидкости со свободной поверхностью.

Лагранжиан ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, как указано Лукой, это:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left\{\iiint _{V(t)}\rho \left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\left|{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right|^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}+g\,z\right]\;{\text{d}}x\;{\text{d}}y\;{\text{d}}z\;\right\}\;{\text{d}}t.}$

Из Принцип Бернулли, этот лагранжиан можно рассматривать как интеграл жидкости давление по всей зависящей от времени области жидкости V(т). Это согласуется с вариационными принципами невязкого течения без свободной поверхности, найденными Гарри Бейтман.^[7]

Вариация относительно потенциала скорости Φ(Икс,z,т) и свободно движущиеся поверхности, такие как z=η(Икс,т) приводит к Уравнение лапласа для потенциала жидкости внутри и всего необходимого граничные условия: кинематический граничные условия на всех границах жидкости и динамичный граничные условия на свободных поверхностях.^[8] Это также может включать в себя движущиеся стены волноводных устройств и движение корабля.

Для случая горизонтально неограниченной области со свободной поверхностью жидкости при z=η(Икс,т) и неподвижная кровать на z=−час(Икс) Вариационный принцип Люка приводит к лагранжиану:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-\,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left\{\int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\rho \,\left[{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+\,{\frac {1}{2}}\left|{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right|^{2}+\,{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}\right]\;{\text{d}}z\;+\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,g\,\eta ^{2}\right\}\;{\text{d}}{\boldsymbol {x}}\;{\text{d}}t.}$

Срок на уровне койки, пропорциональный час² потенциальной энергией пренебрегли, поскольку она постоянна и не вносит вклад в вариации. Ниже вариационный принцип Люка используется для получения уравнений потока для нелинейных поверхностных гравитационных волн в потенциальном потоке.

Вывод уравнений потока на основе вариационного принципа Люка

Вариация ${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=0}$ в лагранжиане относительно вариаций потенциала скорости Φ(Икс,z,т), а также относительно отметки поверхности η(Икс,т), должны быть равны нулю. В дальнейшем мы рассмотрим оба варианта.

Вариация по потенциалу скорости

Рассмотрим небольшую вариацию δΦ в потенциале скорости Φ.^[8] Тогда результирующая вариация лагранжиана:

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{\Phi }{\mathcal {L}}\,&=\,{\mathcal {L}}(\Phi +\delta \Phi ,\eta )\,-\,{\mathcal {L}}(\Phi ,\eta )\\&=\,-\,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left\{\int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\rho \,\left({\frac {\partial (\delta \Phi )}{\partial t}}+\,{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}(\delta \Phi )+\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,{\frac {\partial (\delta \Phi )}{\partial z}}\,\right)\;{\text{d}}z\,\right\}\;{\text{d}}{\boldsymbol {x}}\;{\text{d}}t.\end{aligned}}}$

С помощью Интегральное правило Лейбница, это становится в случае постоянной плотности ρ:^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{\Phi }{\mathcal {L}}\,=\,&-\,\rho \,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left\{{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\delta \Phi \;{\text{d}}z\;+\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\delta \Phi \,{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \;{\text{d}}z\,\right\}\;{\text{d}}{\boldsymbol {x}}\;{\text{d}}t\\&+\,\rho \,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left\{\int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\delta \Phi \;\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Phi \,+\,{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}\right)\;{\text{d}}z\,\right\}\;{\text{d}}{\boldsymbol {x}}\;{\text{d}}t\\&+\,\rho \,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left[\left({\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,+\,{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\eta \,-\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)\,\delta \Phi \right]_{z=\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\;{\text{d}}{\boldsymbol {x}}\;{\text{d}}t\\&-\,\rho \,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left[\left({\boldsymbol {\nabla }}\Phi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}h\,+\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)\,\delta \Phi \right]_{z=-h({\boldsymbol {x}})}\;{\text{d}}{\boldsymbol {x}}\;{\text{d}}t\\=\,&0.\end{aligned}}}$

Первый интеграл в правой части интегрируется до границ, в Икс и т, области интегрирования и равна нулю, поскольку вариации δΦ на этих границах принимаются равными нулю. Для вариаций δΦ равных нулю на свободной поверхности и в слое, остается второй интеграл, равный нулю только для произвольных δΦ в жидкости внутри, если есть Уравнение лапласа держит:

${\displaystyle \Delta \Phi \,=\,0\qquad {\text{ for }}-h({\boldsymbol {x}})\,<\,z\,<\,\eta ({\boldsymbol {x}},t),}$

с Δ = ∇ · ∇ + ∂²/∂z² то Оператор Лапласа.

Если вариации δΦ считаются отличными от нуля только на свободной поверхности, остается только третий интеграл, что приводит к кинематическому граничному условию свободной поверхности:

${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,+\,{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\eta \,-\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,=\,0.\qquad {\text{ at }}z\,=\,\eta ({\boldsymbol {x}},t).}$

Аналогично вариации δΦ только ненулевое значение внизу z = -час приводят к состоянию кинематического ложа:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\Phi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}h\,+\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,=\,0\qquad {\text{ at }}z\,=\,-h({\boldsymbol {x}}).}$

Отклонение от отметки поверхности

Учитывая вариацию лагранжиана относительно малых изменений δη дает:

${\displaystyle \delta _{\eta }{\mathcal {L}}\,=\,{\mathcal {L}}(\Phi ,\eta +\delta \eta )\,-\,{\mathcal {L}}(\Phi ,\eta )=\,-\,\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left[\rho \,\delta \eta \,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+\,{\frac {1}{2}}\,\left|{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right|^{2}\,+\,{\frac {1}{2}}\,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}+\,g\,\eta \right)\,\right]_{z=\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\;{\text{d}}{\boldsymbol {x}}\;{\text{d}}t\,=\,0.}$

Он должен быть равен нулю для произвольного δη, приводящее к динамическому граничному условию на свободной поверхности:

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+\,{\frac {1}{2}}\,\left|{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right|^{2}\,+\,{\frac {1}{2}}\,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}+\,g\,\eta \,=\,0\qquad {\text{ at }}z\,=\,\eta ({\boldsymbol {x}},t).}$

Это Уравнение Бернулли для нестационарного потенциального потока, приложенного к свободной поверхности, и с постоянным давлением над свободной поверхностью - это постоянное давление для простоты принято равным нулю.

Гамильтонова формулировка

В Гамильтониан структура поверхностных гравитационных волн на потенциальном потоке была обнаружена Захаров Владимир Евгеньевич в 1968 году и независимо заново открыл Берт Броер и Джон Майлз:^[4][5][6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho \,{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,&=\,+\,{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \varphi }},\\\rho \,{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\,&=\,-\,{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \eta }},\end{aligned}}}$

где отметка поверхности η и поверхностный потенциал φ - что есть потенциал Φ на свободной поверхности z=η(Икс,т) - являются канонические переменные. Гамильтониан ${\displaystyle {\mathcal {H}}(\varphi ,\eta )}$ это сумма кинетический и потенциальная энергия жидкости:

${\displaystyle {\mathcal {H}}\,=\,\iint \left\{\int _{-h({\boldsymbol {x}})}^{\eta ({\boldsymbol {x}},t)}{\frac {1}{2}}\,\rho \,\left[\left|{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right|^{2}\,+\,\left({\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\right)^{2}\right]\,{\text{d}}z\,+\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,g\,\eta ^{2}\right\}\;{\text{d}}{\boldsymbol {x}}.}$

Дополнительным ограничением является то, что поток в жидкой области должен удовлетворять Уравнение Лапласа с соответствующим граничным условием внизу z=-час(Икс) и потенциал на свободной поверхности z=η равно φ: ${\displaystyle \delta {\mathcal {H}}/\delta \Phi \,=\,0.}$

Связь с лагранжевой формулировкой

Гамильтонова формулировка может быть получена из лагранжевого описания Люка с помощью Интегральное правило Лейбница на интеграле от ∂Φ/∂т:^[6]

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{H}=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\iint \left\{\varphi ({\boldsymbol {x}},t)\,{\frac {\partial \eta ({\boldsymbol {x}},t)}{\partial t}}\,-\,H(\varphi ,\eta ;{\boldsymbol {x}},t)\right\}\;{\text{d}}{\boldsymbol {x}}\;{\text{d}}t,}$

с ${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}},t)=\Phi ({\boldsymbol {x}},\eta ({\boldsymbol {x}},t),t)}$ значение потенциала скорости на свободной поверхности, и ${\displaystyle H(\varphi ,\eta ;{\boldsymbol {x}},t)}$ плотность гамильтониана - сумма плотности кинетической и потенциальной энергии - и связана с гамильтонианом как:

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\varphi ,\eta )\,=\,\iint H(\varphi ,\eta ;{\boldsymbol {x}},t)\;{\text{d}}{\boldsymbol {x}}.}$

Плотность гамильтониана записывается через поверхностный потенциал с использованием Третья личность Грина от кинетической энергии:^[9]

${\displaystyle H\,=\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,{\sqrt {1\,+\,\left|{\boldsymbol {\nabla }}\eta \right|^{2}}}\;\;\varphi \,{\bigl (}D(\eta )\;\varphi {\bigr )}\,+\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,g\,\eta ^{2},}$

куда D(η) φ равно нормальный производная от ∂Φ/∂п на свободной поверхности. Из-за линейности уравнения Лапласа - справедливо для жидкости внутри и в зависимости от граничных условий в слое. z=-час и свободная поверхность z=η - нормальная производная ∂Φ/∂п это линейный функция поверхностного потенциала φ, но нелинейно зависит от высоты поверхности η. Это выражается Дирихле-Неймана оператор D(η), действующий линейно на φ.

Плотность гамильтониана также можно записать как:^[6]

${\displaystyle H\,=\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,\varphi \,{\Bigl [}w\,\left(1\,+\,\left|{\boldsymbol {\nabla }}\eta \right|^{2}\right)-\,{\boldsymbol {\nabla }}\eta \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\,\varphi {\Bigr ]}\,+\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,g\,\eta ^{2},}$

с ш(Икс,т) = ∂Φ/∂z вертикальная скорость на свободной поверхности z = η. Также ш это линейный функция поверхностного потенциала φ через уравнение Лапласа, но ш нелинейно зависит от высоты поверхности η:^[9]

${\displaystyle w\,=\,W(\eta )\,\varphi ,}$

с W работает линейно на φ, но будучи нелинейным по η. В результате гамильтониан является квадратичным функциональный поверхностного потенциала φ. Также часть потенциальной энергии гамильтониана квадратична. Источником нелинейности поверхностных гравитационных волн является кинетическая энергия, нелинейно зависящая от формы свободной поверхности. η.^[9]

Далее ∇φ не следует принимать за горизонтальную скорость ∇Φ на свободной поверхности:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\varphi \,=\,{\boldsymbol {\nabla }}\Phi {\bigl (}{\boldsymbol {x}},\eta ({\boldsymbol {x}},t),t{\bigr )}\,=\,\left[{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \,+\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,{\boldsymbol {\nabla }}\eta \right]_{z=\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\,=\,{\Bigl [}{\boldsymbol {\nabla }}\Phi {\Bigr ]}_{z=\eta ({\boldsymbol {x}},t)}\,+\,w\,{\boldsymbol {\nabla }}\eta .}$

Принимая вариации лагранжиана ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{H}}$ относительно канонических переменных ${\displaystyle \varphi ({\boldsymbol {x}},t)}$ и ${\displaystyle \eta ({\boldsymbol {x}},t)}$ дает:

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho \,{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,&=\,+\,{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \varphi }},\\\rho \,{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\,&=\,-\,{\frac {\delta {\mathcal {H}}}{\delta \eta }},\end{aligned}}}$

предусмотрен в жидком внутреннем пространстве Φ удовлетворяет уравнению Лапласа, ΔΦ= 0, а также нижнее граничное условие при z=-час и Φ=φ на свободной поверхности.

Ссылки и примечания

1. Дж. К. Люк (1967). «Вариационный принцип для жидкости со свободной поверхностью». Журнал гидромеханики. 27 (2): 395–397. Bibcode:1967JFM .... 27..395L. Дои:10.1017 / S0022112067000412.
2. М. В. Дингеманс (1997). Распространение водной волны на неровном дне. Продвинутая серия по океанской инженерии. 13. Сингапур: Всемирный научный. п. 271. ISBN  981-02-0427-2.
3. Г. Б. Уизэм (1974). Линейные и нелинейные волны. Wiley-Interscience. п. 555. ISBN  0-471-94090-9.
4. Захаров В.Е. (1968). «Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубинной жидкости». Журнал прикладной механики и технической физики. 9 (2): 190–194. Bibcode:1968JAMTP ... 9..190Z. Дои:10.1007 / BF00913182. Первоначально появился в Журнал Прилдадной Механики и Технической Физики 9(2): 86–94, 1968.
5. Л. Дж. Ф. Броер (1974). «К гамильтоновой теории поверхностных волн». Прикладные научные исследования. 29: 430–446. Дои:10.1007 / BF00384164.
6. Дж. У. Майлз (1977). «О принципе Гамильтона для поверхностных волн». Журнал гидромеханики. 83 (1): 153–158. Bibcode:1977JFM .... 83..153M. Дои:10.1017 / S0022112077001104.
7. Х. Бейтман (1929). «Заметки о дифференциальном уравнении, возникающем в двумерном движении сжимаемой жидкости и связанных с ним вариационных задачах». Труды Лондонского королевского общества A. 125 (799): 598–618. Bibcode:1929RSPSA.125..598B. Дои:10.1098 / rspa.1929.0189.
8. Г. В. Уизем (1974). Линейные и нелинейные волны. Нью-Йорк: Wiley. С. 434–436. ISBN  0-471-94090-9.
9. Д. М. Мильдер (1977). Заметка по теме: «О принципе Гамильтона для поверхностных волн.'". Журнал гидромеханики. 83 (1): 159–161. Bibcode:1977JFM .... 83..159M. Дои:10.1017 / S0022112077001116.