Модуляционная нестабильность - Modulational instability

В полях нелинейная оптика и динамика жидкостей, модуляционная неустойчивость или же нестабильность боковой полосы это явление, при котором отклонения от периодической формы волны усиливаются нелинейностью, что приводит к генерации спектральный -боковые полосы и возможный распад формы волны на последовательность импульсы.^[1][2][3]

Это явление было впервые обнаружено и смоделировано для периодических поверхностные гравитационные волны (Волны Стокса ) на глубокой воде Т. Брук Бенджамин и Джим Э. Фейр в 1967 году.^[4] Поэтому он также известен как Неустойчивость Бенджамина-Фейра. Это возможный механизм генерации волны-убийцы.^[5][6]

Начальная нестабильность и усиление

Нестабильность модуляции возникает только при определенных обстоятельствах. Самое главное условие - это аномальная групповая скорость разброс, при этом импульсы с более короткими длины волн путешествовать с высшим групповая скорость чем импульсы с большей длиной волны.^[3] (Это условие предполагает сосредоточение Керровская нелинейность, в результате чего показатель преломления увеличивается с увеличением оптической интенсивности.)^[3]

Неустойчивость сильно зависит от частоты возмущения. На определенных частотах возмущение будет иметь небольшое влияние, в то время как на других частотах возмущение будет расти экспоненциально. Общая прирост спектр может быть получен аналитически, как показано ниже. Случайные возмущения, как правило, содержат широкий диапазон частотных составляющих и поэтому вызывают генерацию спектральных боковых полос, которые отражают лежащий в основе спектр усиления.

Тенденция возмущающего сигнала к росту делает модуляционную нестабильность формой усиление. Настраивая входной сигнал на пик спектра усиления, можно создать оптический усилитель.

Математический вывод спектра усиления

Спектр усиления может быть получен ^[3] начав с модели модуляционной неустойчивости, основанной на нелинейное уравнение Шредингера

${displaystyle {frac {partial A}{partial z}}+ieta _{2}{frac {partial ^{2}A}{partial t^{2}}}=igamma |A|^{2}A,}$

который описывает эволюцию комплексный медленно меняющийся конверт ${displaystyle A}$ со временем ${displaystyle t}$ и расстояние распространения ${displaystyle z}$. В мнимая единица ${displaystyle i}$ удовлетворяет ${displaystyle i^{2}=-1.}$ Модель включает групповая скорость дисперсия, описываемая параметром ${displaystyle eta _{2}}$, и Керровская нелинейность с величиной ${displaystyle gamma .}$ А периодический форма волны постоянной мощности ${displaystyle P}$ предполагается. Это дается решением

${displaystyle A={sqrt {P}}e^{igamma Pz},}$

где колебательный ${displaystyle e^{igamma Pz}}$ фаза фактор учитывает разницу между линейными показатель преломления, а модифицированный показатель преломления, вызванные эффектом Керра. Начало неустойчивости можно исследовать, возмущая это решение как

${displaystyle A=left({sqrt {P}}+varepsilon (t,z)ight)e^{igamma Pz},}$

куда ${displaystyle varepsilon (t,z)}$ - член возмущения (который для математического удобства умножен на тот же фазовый коэффициент, что и ${displaystyle A}$). Подставляя это обратно в нелинейное уравнение Шредингера, получаем уравнение возмущения формы

${displaystyle {frac {partial varepsilon }{partial z}}+ieta _{2}{frac {partial ^{2}varepsilon }{partial t^{2}}}=igamma Pleft(varepsilon +varepsilon ^{*}ight),}$

где возмущение считается малым, так что ${displaystyle |varepsilon |^{2}ll P.}$ В комплексно сопряженный из ${displaystyle varepsilon }$ обозначается как ${displaystyle varepsilon ^{*}.}$ Неустойчивость теперь можно обнаружить путем поиска решений уравнения возмущений, которые растут экспоненциально. Это можно сделать с помощью пробной функции общего вида

${displaystyle varepsilon =c_{1}e^{ik_{m}z-iomega _{m}t}+c_{2}e^{-ik_{m}^{*}z+iomega _{m}t},}$

куда ${displaystyle k_{m}}$ и ${displaystyle omega _{m}}$ являются волновое число и (с реальной стоимостью) угловая частота возмущения, и ${displaystyle c_{1}}$ и ${displaystyle c_{2}}$ являются константами. Нелинейное уравнение Шредингера строится удалением несущая волна моделируемого света, поэтому частота возмущенного света формально равна нулю. Следовательно, ${displaystyle omega _{m}}$ и ${displaystyle k_{m}}$ не представляют абсолютные частоты и волновые числа, но разница между ними и исходным лучом света. Можно показать, что пробная функция действительна, если ${displaystyle c_{2}=c_{1}^{*}}$ и при условии

${displaystyle k_{m}=pm {sqrt {eta _{2}^{2}omega _{m}^{4}+2gamma Peta _{2}omega _{m}^{2}}}.}$

Это дисперсионное соотношение существенно зависит от знака члена в квадратном корне, так как если оно положительное, волновое число будет настоящий, что соответствует простому колебания вокруг невозмущенного раствора, в то время как если оно отрицательное, волновое число станет воображаемый, что соответствует экспоненциальному росту и, следовательно, нестабильности. Следовательно, нестабильность возникнет, когда

${displaystyle eta _{2}^{2}omega _{m}^{2}+2gamma Peta _{2}<0,}$   это для   ${displaystyle omega _{m}^{2}<-2{frac {gamma P}{eta _{2}}}.}$

Это условие описывает требование аномальной дисперсии (такой, что ${displaystyle gamma eta _{2}}$ отрицательный). Спектр усиления можно описать, задав параметр усиления как ${displaystyle gequiv 2|Im {k_{m}}|,}$ так что мощность возмущающего сигнала растет с расстоянием как ${displaystyle P,e^{gz}.}$ Таким образом, выигрыш определяется выражением

${displaystyle g={egin{cases}2{sqrt {-eta _{2}^{2}omega _{m}^{4}-2gamma Peta _{2}omega _{m}^{2}}},&{ ext{for }}displaystyle omega _{m}^{2}<-2{frac {gamma P}{eta _{2}}},[2ex]0,&{ ext{for }}displaystyle omega _{m}^{2}geq -2{frac {gamma P}{eta _{2}}},end{cases}}}$

где, как указано выше, ${displaystyle omega _{m}}$ - разница между частотой возмущения и частотой исходного света. Скорость роста максимальна для ${displaystyle omega ^{2}=-gamma P/eta _{2}.}$

Модуляционная неустойчивость в мягких системах

Модуляционная неустойчивость оптических полей наблюдалась в фотохимических системах, а именно в фотополимеризуемой среде.^{[7][8][9][10]} Модуляционная нестабильность возникает из-за присущей системам оптической нелинейности из-за изменения показателя преломления, вызванного фотореакцией.^[11] Нестабильность модуляции пространственно и временно некогерентного света возможна из-за не мгновенного отклика фотореактивных систем, который, следовательно, реагирует на среднюю по времени интенсивность света, в которой фемтосекундные флуктуации компенсируются.^[12]

Рекомендации

1. Бенджамин, Т. Брук; Фейр, Дж. Э. (1967). «Распад волновых поездов на глубокой воде. Часть 1. Теория». Журнал гидромеханики. 27 (3): 417–430. Bibcode:1967JFM .... 27..417B. Дои:10.1017 / S002211206700045X.
2. Бенджамин, Т. (1967). «Неустойчивость периодических волновых цепочек в нелинейных дисперсионных системах». Труды Лондонского королевского общества. А. Математические и физические науки. 299 (1456): 59–76. Bibcode:1967RSPSA.299 ... 59B. Дои:10.1098 / rspa.1967.0123. Завершено обсуждением Клаус Хассельманн.
3. Агравал, Говинд П. (1995). Нелинейная волоконная оптика (2-е изд.). Сан-Диего (Калифорния): Academic Press. ISBN  978-0-12-045142-5.
4. Yuen, H.C .; Лейк, Б. (1980). «Неустойчивость волн на глубокой воде». Ежегодный обзор гидромеханики. 12: 303–334. Bibcode:1980АнРФМ..12..303Л. Дои:10.1146 / annurev.fl.12.010180.001511.
5. Янссен, Питер A.E.M. (2003). «Нелинейные четырехволновые взаимодействия и волны-уроды». Журнал физической океанографии. 33 (4): 863–884. Bibcode:2003JPO .... 33..863J. Дои:10.1175 / 1520-0485 (2003) 33 <863: NFIAFW> 2.0.CO; 2.
6. Дисте, Кристиан; Krogstad, Harald E .; Мюллер, Питер (2008). «Океанические волны-убийцы». Ежегодный обзор гидромеханики. 40 (1): 287–310. Bibcode:2008АнРФМ..40..287Д. Дои:10.1146 / annurev.fluid.40.111406.102203.
7. Берджесс, Ян Б.; Шиммелл, Уитни Э .; Сараванамутту, Калайчелви (1 апреля 2007 г.). «Спонтанное образование рисунка из-за модуляционной нестабильности некогерентного белого света в фотополимеризуемой среде». Журнал Американского химического общества. 129 (15): 4738–4746. Дои:10.1021 / ja068967b. ISSN  0002-7863. PMID  17378567.
8. Баскер, Динеш К .; Брук, Майкл А .; Сараванамутту, Калайчелви (2015). «Самопроизвольное возникновение нелинейных световых волн и самозаписывающейся волноводной микроструктуры при катионной полимеризации эпоксидов». Журнал физической химии C. 119 (35): 20606–20617. Дои:10.1021 / acs.jpcc.5b07117.
9. Бирия, Саид; Malley, Philip P.A .; Kahan, Tara F .; Хосейн, Ян Д. (2016-03-03). «Настраиваемая нелинейная оптическая структура и микроструктура в сшивающих акрилатных системах во время свободнорадикальной полимеризации». Журнал физической химии C. 120 (8): 4517–4528. Дои:10.1021 / acs.jpcc.5b11377. ISSN  1932-7447.
10. Бирия, Саид; Malley, Phillip P.A .; Kahan, Tara F .; Хосейн, Ян Д. (15.11.2016). «Оптический автокатализ устанавливает новую пространственную динамику в фазовом разделении полимерных смесей во время фотоотверждения». Буквы макросов ACS. 5 (11): 1237–1241. Дои:10.1021 / acsmacrolett.6b00659.
11. Kewitsch, Anthony S .; Ярив, Амнон (01.01.1996). «Самофокусировка и самозахват оптических пучков при фотополимеризации» (PDF). Письма об оптике. 21 (1): 24–6. Bibcode:1996OptL ... 21 ... 24K. Дои:10.1364 / ol.21.000024. ISSN  1539-4794. PMID  19865292.
12. Пространственные солитоны | Стефано Трилло | Springer.

дальнейшее чтение

• Захаров, В.; Островский, Л.А. (2009). «Модуляционная нестабильность: начало» (PDF). Physica D: нелинейные явления. 238 (5): 540–548. Bibcode:2009PhyD..238..540Z. Дои:10.1016 / j.physd.2008.12.002.^{[постоянная мертвая ссылка ]}