Идентичности зеленых - Greens identities - Wikipedia

В математика, Личность Грина представляют собой набор из трех тождеств в векторное исчисление связывая объем с границей области действия дифференциальных операторов. Они названы в честь математика. Джордж Грин, кто открыл Теорема Грина.

Первая личность Грина

Это тождество происходит от теорема расходимости применительно к векторному полю F = ψ ∇φ и используя личность, которая ∇ ·(φ Икс ) = ∇φ ·Икс + φ ∇·Икс: Позволять φ и ψ - скалярные функции, определенные в некоторой области U ⊂ р^d, и предположим, что φ дважды непрерывно дифференцируемый, и ψ когда-то непрерывно дифференцируемо. потом^[1]

${\displaystyle \int _{U}\left(\psi \,\Delta \varphi +\nabla \psi \cdot \nabla \varphi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\psi \left(\nabla \varphi \cdot \mathbf {n} \right)\,dS=\oint _{\partial U}\psi \,\nabla \varphi \cdot d\mathbf {S} }$

куда ∆ ≡ ∇² это Оператор Лапласа, ∂U граница области U, п нормаль элемента поверхности, направленная наружу dS и dS - ориентированный элемент поверхности.

Эта теорема является частным случаем теорема расходимости, и по существу является эквивалентом высшей размерности интеграция по частям с ψ и градиент φ замена ты и v.

Обратите внимание, что первое тождество Грина, приведенное выше, является частным случаем более общего тождества, полученного из теорема расходимости путем замены F = ψΓ,

${\displaystyle \int _{U}\left(\psi \,\nabla \cdot \mathbf {\Gamma } +\mathbf {\Gamma } \cdot \nabla \psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\psi \left(\mathbf {\Gamma } \cdot \mathbf {n} \right)\,dS=\oint _{\partial U}\psi \mathbf {\Gamma } \cdot d\mathbf {S} ~.}$

Вторая личность Грина

Если φ и ψ оба дважды непрерывно дифференцируемы на U ⊂ р³, и ε когда-то непрерывно дифференцируемо, можно выбрать F = ψε ∇φ − φε ∇ψ чтобы получить

${\displaystyle \int _{U}\left[\psi \,\nabla \cdot \left(\varepsilon \,\nabla \varphi \right)-\varphi \,\nabla \cdot \left(\varepsilon \,\nabla \psi \right)\right]\,dV=\oint _{\partial U}\varepsilon \left(\psi {\partial \varphi \over \partial \mathbf {n} }-\varphi {\partial \psi \over \partial \mathbf {n} }\right)\,dS~.}$

Для особого случая ε = 1 во всем U ⊂ р³, тогда,

${\displaystyle \int _{U}\left(\psi \,\nabla ^{2}\varphi -\varphi \,\nabla ^{2}\psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\left(\psi {\partial \varphi \over \partial \mathbf {n} }-\varphi {\partial \psi \over \partial \mathbf {n} }\right)\,dS.}$

В приведенном выше уравнении ∂φ/∂п это производная по направлению из φ в направлении внешней нормали п к элементу поверхности dS,

${\displaystyle {\partial \varphi \over \partial \mathbf {n} }=\nabla \varphi \cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }\varphi .}$

В частности, это показывает, что лапласиан самосопряженный в L² внутреннее произведение для функций, исчезающих на границе.

Третья личность Грина

Третья идентичность Грина происходит от второй идентичности путем выбора φ = грамм, где Функция Грина грамм считается фундаментальное решение из Оператор Лапласа, ∆. Это означает, что:

${\displaystyle \Delta G(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\eta }})=\delta (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\eta }})~.}$

Например, в р³, решение имеет вид

${\displaystyle G(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\eta }})={\frac {-1}{4\pi \|\mathbf {x} -{\boldsymbol {\eta }}\|}}~.}$

Третья личность Грина утверждает, что если ψ - функция, дважды непрерывно дифференцируемая на U, тогда

${\displaystyle \int _{U}\left[G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }})\,\Delta \psi (\mathbf {y} )\right]\,dV_{\mathbf {y} }-\psi ({\boldsymbol {\eta }})=\oint _{\partial U}\left[G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }}){\partial \psi \over \partial \mathbf {n} }(\mathbf {y} )-\psi (\mathbf {y} ){\partial G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }}) \over \partial \mathbf {n} }\right]\,dS_{\mathbf {y} }.}$

Упрощение возникает, если ψ сам по себе гармоническая функция, т.е. решение Уравнение лапласа. потом ∇²ψ = 0 и идентичность упрощается до

${\displaystyle \psi ({\boldsymbol {\eta }})=\oint _{\partial U}\left[\psi (\mathbf {y} ){\frac {\partial G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }})}{\partial \mathbf {n} }}-G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }}){\frac {\partial \psi }{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {y} )\right]\,dS_{\mathbf {y} }.}$

Второй член в интеграле выше можно исключить, если грамм выбран, чтобы быть Функция Грина который исчезает на границе U (Граничное условие Дирихле ),

${\displaystyle \psi ({\boldsymbol {\eta }})=\oint _{\partial U}\psi (\mathbf {y} ){\frac {\partial G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }})}{\partial \mathbf {n} }}\,dS_{\mathbf {y} }~.}$

Эта форма используется для построения решений краевых задач Дирихле. Чтобы найти решения для Граничное условие Неймана вместо этого используется функция Грина с исчезающим нормальным градиентом на границе.

Можно дополнительно проверить, что указанная выше идентичность также применяется, когда ψ это решение Уравнение Гельмгольца или же волновое уравнение и грамм - соответствующая функция Грина. В таком контексте это тождество является математическим выражением Принцип Гюйгенса, и приводит к Формула дифракции Кирхгофа и другие приближения.

На многообразиях

На римановом многообразии справедливы тождества Грина. В этой настройке первые два

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{M}u\,\Delta v\,dV+\int _{M}\langle \nabla u,\nabla v\rangle \,dV&=\int _{\partial M}uNv\,d{\widetilde {V}}\\\int _{M}\left(u\,\Delta v-v\,\Delta u\right)\,dV&=\int _{\partial M}(uNv-vNu)\,d{\widetilde {V}}\end{aligned}}}$

куда ты и v - гладкие вещественнозначные функции на M, dV форма объема совместима с метрикой, ${\displaystyle d{\widetilde {V}}}$ - индуцированная форма объема на границе M, N - направленное наружу единичное векторное поле, нормальное к границе, и Δты = div (град ты) - лапласиан.

Векторная идентичность Грина

Второе тождество Грина устанавливает связь между производными второго и (расходимостью) первого порядка двух скалярных функций. В дифференциальной форме

${\displaystyle p_{m}\,\Delta q_{m}-q_{m}\,\Delta p_{m}=\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\,\nabla p_{m}\right),}$

куда п_м и q_м - два произвольных дважды непрерывно дифференцируемых скалярных поля. Это тождество имеет большое значение в физике, потому что таким образом можно установить уравнения неразрывности для скалярных полей, таких как масса или энергия.^[2]

В векторной теории дифракции вводятся две версии второго тождества Грина.

Один вариант предполагает расхождение перекрестного произведения ^[3][4][5] и устанавливает отношения в терминах ротора-ротора поля

${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \left(\nabla \times \nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \cdot \left(\nabla \times \nabla \times \mathbf {P} \right)=\nabla \cdot \left(\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)-\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)\right).}$

Это уравнение можно записать в терминах лапласианов:

${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} +\mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]-\mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right]=\nabla \cdot \left(\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right).}$

Однако условия

${\displaystyle \mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]-\mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right],}$

не может быть легко записано в терминах расхождения.

Другой подход вводит бивекторы, эта формулировка требует диадической функции Грина.^[6][7] Представленный здесь вывод позволяет избежать этих проблем.^[8]

Учтите, что скалярные поля во втором тождестве Грина являются декартовыми компонентами векторных полей, т.е.

${\displaystyle \mathbf {P} =\sum _{m}p_{m}{\hat {\mathbf {e} }}_{m},\qquad \mathbf {Q} =\sum _{m}q_{m}{\hat {\mathbf {e} }}_{m}.}$

Суммируя уравнение для каждого компонента, получаем

${\displaystyle \sum _{m}\left[p_{m}\Delta q_{m}-q_{m}\Delta p_{m}\right]=\sum _{m}\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right).}$

LHS согласно определению скалярного произведения может быть записано в векторной форме как

${\displaystyle \sum _{m}\left[p_{m}\,\Delta q_{m}-q_{m}\,\Delta p_{m}\right]=\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} .}$

RHS немного сложнее выразить в терминах векторных операторов. Из-за дистрибутивности оператора дивергенции по сложению сумма дивергенции равна дивергенции суммы, т. Е.

${\displaystyle \sum _{m}\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right)=\nabla \cdot \left(\sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}-\sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}\right).}$

Напомним векторную идентичность для градиента скалярного произведения,

${\displaystyle \nabla \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)+\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right),}$

которое, записанное в компонентах вектора, имеет вид

${\displaystyle \nabla \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\nabla \sum _{m}p_{m}q_{m}=\sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}+\sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}.}$

Этот результат аналогичен тому, что мы хотим показать в векторных терминах «за исключением» знака минус. Поскольку дифференциальные операторы в каждом члене действуют либо над одним вектором (скажем, ${\displaystyle p_{m}}$S) или другой (${\displaystyle q_{m}}$S) вклад в каждый семестр должен быть

${\displaystyle \sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right),}$

${\displaystyle \sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}=\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right).}$

Правильность этих результатов может быть строго доказана с помощью оценка компонентов вектора. Таким образом, RHS можно записать в векторной форме как

${\displaystyle \sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}-\sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right).}$

Объединяя эти два результата, получаем результат, аналогичный теореме Грина для скалярных полей:

Теорема для векторных полей.

${\displaystyle \color {OliveGreen}\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} =\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right].}$

В завиток перекрестного произведения можно записать как

${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \right)=\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right);}$

Тогда векторную идентичность Грина можно переписать как

${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} =\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)-\nabla \times \left(\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \right)+\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right].}$

Поскольку дивергенция ротора равна нулю, третий член обращается в нуль, давая

Векторная идентичность Грина.

${\displaystyle \color {OliveGreen}\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} =\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)+\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right].}$

С помощью аналогичной процедуры лапласиан скалярного произведения может быть выражен через лапласианы множителей

${\displaystyle \Delta \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} +2\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} \right].}$

Как следствие, неудобные термины теперь можно записать в терминах дивергенции, сравнив их с векторным уравнением Грина:

${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right]-\mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]=\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right].}$

Этот результат можно проверить, разложив расходимость скаляра, умноженного на вектор на правой стороне.

Смотрите также

• Функция Грина
• Интегральная теорема Кирхгофа
• Тождество Лагранжа (краевая задача)

Рекомендации

1. Штраус, Вальтер. Уравнения с частными производными: введение. Вайли.
2. Гуасти, М. Фернандес (17 марта 2004 г.). «Уравнение сохранения дополнительных полей, полученное из скалярного волнового уравнения». Журнал физики A: математические и общие. IOP Publishing. 37 (13): 4107–4121. Дои:10.1088/0305-4470/37/13/013. ISSN  0305-4470.
3. С любовью, Август Э. Х. (1901). «I. Интегрирование уравнений распространения электрических волн». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащая статьи математического или физического характера. Королевское общество. 197 (287–299): 1–45. Дои:10.1098 / рста.1901.0013. ISSN  0264-3952.
4. Страттон, Дж. А .; Чу, Л. Дж. (1939-07-01). «Дифракционная теория электромагнитных волн». Физический обзор. Американское физическое общество (APS). 56 (1): 99–107. Дои:10.1103 / Physrev.56.99. ISSN  0031-899X.
5. Брюс, Нил С. (22.07.2010). "Двойное векторно-волновое рассеяние Кирхгофа от идеально проводящих поверхностей с бесконечными наклонами". Журнал оптики. IOP Publishing. 12 (8): 085701. Дои:10.1088/2040-8978/12/8/085701. ISSN  2040-8978.
6. Франц, В. (1950-09-01). «К теории дифракции». Труды физического общества. Раздел А. IOP Publishing. 63 (9): 925–939. Дои:10.1088/0370-1298/63/9/301. ISSN  0370-1298.
7. «Теория Кирхгофа: скалярная, векторная или диадическая?». Транзакции IEEE по антеннам и распространению. Институт инженеров по электротехнике и радиоэлектронике (IEEE). 20 (1): 114–115. 1972. Дои:10.1109 / тап.1972.1140146. ISSN  0096-1973.
8. Фернандес-Гуасти, М. (2012). «Вторая идентичность Грина для векторных полей». ISRN Математическая физика. Hindawi Limited. 2012: 1–7. Дои:10.5402/2012/973968. ISSN  2090-4681.

внешняя ссылка

• «Зеленые формулы», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• [1] Личность Грина в Wolfram MathWorld