Интеграция с дисками - Disc integration

Интеграция с дисками, также известный в интегральное исчисление как дисковый метод, это метод расчета объем из твердый революционный твердотельного материала, когда интеграция по оси «параллельно» ось вращения. Этот метод моделирует полученную трехмерную форму в виде стопки из бесконечного числа дисков разного радиуса и бесконечно малой толщины. Также можно использовать те же принципы с кольцами вместо дисков ("шайба метод") для получения полых тел вращения. Это в отличие от интеграция оболочки который интегрируется по оси перпендикуляр к оси вращения.

Определение

Функция Икс

Если функция, которая должна быть повернута, является функцией Икс, следующий интеграл представляет объем тела вращения:

${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}R(x)^{2}\,dx}$

куда р(Икс) - расстояние между функцией и осью вращения. Это работает, только если ось вращения горизонтально (пример: у = 3 или какая-то другая константа).

Функция у

Если функция, которая должна быть повернута, является функцией у, следующий интеграл даст объем тела вращения:

${\displaystyle \pi \int _{c}^{d}R(y)^{2}\,dy}$

куда р(у) - расстояние между функцией и осью вращения. Это работает, только если ось вращения вертикальный (пример: Икс = 4 или какая-то другая константа).

Метод мойки

Чтобы получить полое тело вращения («метод шайбы»), необходимо взять объем внутреннего тела вращения и вычесть его из объема внешнего тела вращения. Это можно вычислить с помощью одного интеграла аналогично следующему:

${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}\left(R_{\mathrm {O} }(x)^{2}-R_{\mathrm {I} }(x)^{2}\right)\,dx}$

куда р_О(Икс) - функция, наиболее удаленная от оси вращения и р_я(Икс) - функция, ближайшая к оси вращения. Например, на следующем рисунке показано вращение по Икс- ось красного «листа», заключенного между квадратной коренной и квадратичной кривыми:

Вращение вокруг оси x

Объем этого твердого тела:

${\displaystyle \pi \int _{0}^{1}\left(\left({\sqrt {x}}\right)^{2}-\left(x^{2}\right)^{2}\right)\,dx\,.}$

Следует проявлять осторожность при оценке не квадрата разницы двух функций, а оценки разности квадратов двух функций.

${\displaystyle R_{\mathrm {O} }(x)^{2}-R_{\mathrm {I} }(x)^{2}\neq \left(R_{\mathrm {O} }(x)-R_{\mathrm {I} }(x)\right)^{2}}$

(Эта формула работает только для оборотов около Икс-ось.)

Чтобы повернуть вокруг любой горизонтальной оси, просто вычтите из этой оси каждую формулу. Если час - значение по горизонтальной оси, тогда объем равен

${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}\left(\left(h-R_{\mathrm {O} }(x)\right)^{2}-\left(h-R_{\mathrm {I} }(x)\right)^{2}\right)\,dx\,.}$

Например, чтобы повернуть область между у = −2Икс + Икс² и у = Икс по оси у = 4, можно было бы интегрировать следующим образом:

${\displaystyle \pi \int _{0}^{3}\left(\left(4-\left(-2x+x^{2}\right)\right)^{2}-(4-x)^{2}\right)\,dx\,.}$

Границы интегрирования - это нули первого уравнения минус второе. Обратите внимание, что при интегрировании по оси, отличной от Икс, график функции, наиболее удаленной от оси вращения, может быть не таким очевидным. В предыдущем примере, хотя график у = Икс находится по отношению к оси x дальше, чем график у = −2Икс + Икс², относительно оси вращения функция у = Икс - внутренняя функция: ее график ближе к у = 4 или уравнение оси вращения в примере.

Ту же идею можно применить как к у- ось и любая другая вертикальная ось. Просто нужно решить каждое уравнение для Икс перед тем, как вставить их в формулу интегрирования.

Смотрите также

• Твердая революция
• Интеграция с оболочкой

Рекомендации

• «Объемы тел революции». CliffsNotes.com. Получено 8 июля, 2014.
• Вайсштейн, Эрик В. «Метод дисков». MathWorld.
• Фрэнк Эйрес, Эллиотт Мендельсон. Очертания Шаума: Исчисление. McGraw-Hill Professional 2008, ISBN  978-0-07-150861-2. стр. 244–248 (онлайн-копия, п. 244, в Google Книги. Проверено 12 июля 2013 г.)