Списки интегралов - Lists of integrals

Эта статья в основном посвящена неопределенным интегралам в исчислении. Список определенных интегралов см. Список определенных интегралов.

Интеграция это основная операция в интегральное исчисление. Пока дифференциация имеет простой правила по которому производная от сложной функция может быть найден путем дифференцирования его более простых компонентных функций, интегрирование - нет, поэтому часто полезны таблицы известных интегралов. На этой странице перечислены некоторые из наиболее распространенных первообразные.

Историческое развитие интегралов

Сборник списка интегралов (Integraltafeln) и техники интегрального исчисления был опубликован немецким математиком. Майер Хирш [де ] (он же Мейер Хирш [де ]) в 1810 году. Эти таблицы были переизданы в Соединенном Королевстве в 1823 году. Более обширные таблицы были составлены в 1858 году голландским математиком. Дэвид Биренс де Хаан за его Таблицы d'intégrales définies, дополненный Дополнение aux table d'intégrales définies ок. 1864 г. Новое издание вышло в 1867 г. под названием Nouvelles table d'intégrales définies. Эти таблицы, содержащие в основном интегралы от элементарных функций, использовались до середины 20 века. Затем они были заменены гораздо более обширными таблицами Градштейн и Рыжик. У Градштейна и Рыжика интегралы из книги Биренса де Хаана обозначены как BI.

Не все выражения в закрытой форме имеют первообразные в закрытой форме; это исследование является предметом дифференциальная теория Галуа, который изначально был разработан Джозеф Лиувиль в 1830-х и 1840-х годах, что привело к Теорема Лиувилля который классифицирует выражения с первообразными закрытой формы. Простой пример функции без первообразной замкнутой формы: е^−Икс2, первообразной которой является (с точностью до констант) функция ошибки.

С 1968 г. Алгоритм риша для определения неопределенных интегралов, которые могут быть выражены через элементарные функции, обычно используя система компьютерной алгебры. Интегралами, которые не могут быть выражены с помощью элементарных функций, можно манипулировать символически, используя общие функции, такие как G-функция Мейера.

Списки интегралов

Более подробную информацию можно найти на следующих страницах для списки интегралы:

• Список интегралов рациональных функций
• Список интегралов от иррациональных функций
• Список интегралов от тригонометрических функций
• Список интегралов обратных тригонометрических функций
• Список интегралов от гиперболических функций
• Список интегралов обратных гиперболических функций
• Список интегралов от экспоненциальных функций
• Список интегралов логарифмических функций
• Список интегралов от функций Гаусса

Градштейн, Рыжик, Геронимус, Цейтлин, Джеффри, Цвиллинджер, Молл (GR) Таблица интегралов, серий и продуктов содержит большую коллекцию результатов. Еще больший, многотомный стол - это Интегралы и ряды к Прудников, Брычков, и Маричев (в томах 1–3 перечислены интегралы и ряды элементарный и специальные функции, том 4–5 - это таблицы Преобразования Лапласа ). Более компактные коллекции можно найти, например, в Брычкова, Маричева, Прудникова Таблицы неопределенных интегралов, или как главы в Zwillinger's Стандартные математические таблицы и формулы CRC или же Бронштейн и Семендяев с Путеводитель по математике, Справочник по математике или же Руководство пользователя по математике, и другие математические справочники.

Другие полезные ресурсы включают Абрамовиц и Стегун и Рукописный проект Бейтмана. Обе работы содержат много идентичностей, касающихся конкретных интегралов, которые организованы по наиболее актуальной теме, а не собраны в отдельную таблицу. Два тома рукописи Бейтмана относятся к интегральным преобразованиям.

Есть несколько веб-сайтов, на которых есть таблицы интегралов и интегралов по запросу. вольфрам Альфа может отображать результаты, а для некоторых более простых выражений также промежуточные этапы интегрирования. Wolfram Research также управляет другой онлайн-службой, Онлайн-интегратор Wolfram Mathematica.

Интегралы простых функций

C используется для произвольная постоянная интегрирования это может быть определено только в том случае, если что-то известно о значении интеграла в какой-то момент. Таким образом, каждая функция имеет бесконечное количество первообразные.

Эти формулы лишь формулируют в другой форме утверждения таблица производных.

Интегралы с особенностью

Когда есть необычность в интегрируемой функции так, что первообразная становится неопределенной или в какой-то момент (сингулярность), то C не обязательно должно быть одинаковым по обе стороны от сингулярности. Приведенные ниже формы обычно предполагают Главное значение Коши вокруг сингулярности в значении C но в этом нет необходимости. Например, в

${\displaystyle \int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C}$

в 0 есть особенность и первообразный там становится бесконечным. Если бы вышеприведенный интеграл использовался для вычисления определенного интеграла между -1 и 1, можно было бы получить неправильный ответ 0. Это, однако, главное значение интеграла Коши вокруг сингулярности. Если интегрирование выполняется в комплексной плоскости, результат зависит от пути вокруг начала координат, в этом случае сингулярность способствует -яπ при использовании пути выше начала координат и яπ для пути ниже начала координат. Функция на реальной линии может использовать совершенно другое значение C по обе стороны от начала координат, как в:

${\displaystyle \int {1 \over x}\,dx=\ln |x|+{\begin{cases}A&{\text{if }}x>0;\\B&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$

Рациональные функции

Еще интегралы: Список интегралов рациональных функций

${\displaystyle \int a\,dx=ax+C}$

Следующая функция имеет неинтегрируемую особенность в 0 при а ≤ −1:

${\displaystyle \int x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}}$ (Квадратурная формула Кавальери )

${\displaystyle \int (ax+b)^{n}\,dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}}$

${\displaystyle \int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C}$

В более общем смысле,^[1]

${\displaystyle \int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}}$

${\displaystyle \int {\frac {c}{ax+b}}\,dx={\frac {c}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C}$

Экспоненциальные функции

Еще интегралы: Список интегралов от экспоненциальных функций

${\displaystyle \int e^{ax}\,dx={\frac {1}{a}}e^{ax}+C}$

${\displaystyle \int f'(x)e^{f(x)}\,dx=e^{f(x)}+C}$

${\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C}$

Логарифмы

Еще интегралы: Список интегралов логарифмических функций

${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C}$

${\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C={\frac {x\ln x-x}{\ln a}}+C}$

Тригонометрические функции

Еще интегралы: Список интегралов от тригонометрических функций

${\displaystyle \int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C}$

${\displaystyle \int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C}$

${\displaystyle \int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C=\ln {\left|\sec {x}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C=\ln \left|\tan \left({\dfrac {\theta }{2}}+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\right|+C}$

(Видеть Интеграл секущей функции. Этот результат был хорошо известной гипотезой 17 века.)

${\displaystyle \int \csc {x}\,dx=-\ln {\left|\csc {x}+\cot {x}\right|}+C=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C=\ln {\left|\tan {\frac {x}{2}}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C}$

${\displaystyle \int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C}$

${\displaystyle \int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C}$

${\displaystyle \int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C}$

${\displaystyle \int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C}$

${\displaystyle \int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C}$

${\displaystyle \int \tan ^{2}x\,dx=\tan x-x+C}$

${\displaystyle \int \cot ^{2}x\,dx=-\cot x-x+C}$

${\displaystyle \int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln |\sec x+\tan x|)+C}$

(Видеть интеграл секущей в кубе.)

${\displaystyle \int \csc ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}(-\csc x\cot x+\ln |\csc x-\cot x|)+C={\frac {1}{2}}\left(\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|-\csc x\cot x\right)+C}$

${\displaystyle \int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx}$

${\displaystyle \int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx}$

Обратные тригонометрические функции

Еще интегралы: Список интегралов обратных тригонометрических функций

${\displaystyle \int \arcsin {x}\,dx=x\arcsin {x}+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq +1}$

${\displaystyle \int \arccos {x}\,dx=x\arccos {x}-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq +1}$

${\displaystyle \int \arctan {x}\,dx=x\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x}$

${\displaystyle \int \operatorname {arccot} {x}\,dx=x\operatorname {arccot} {x}+{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x}$

${\displaystyle \int \operatorname {arcsec} {x}\,dx=x\operatorname {arcsec} {x}-\ln \left\vert x\,\left(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,\right)\right\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq 1}$

${\displaystyle \int \operatorname {arccsc} {x}\,dx=x\operatorname {arccsc} {x}+\ln \left\vert x\,\left(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,\right)\right\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq 1}$

Гиперболические функции

Еще интегралы: Список интегралов от гиперболических функций

${\displaystyle \int \sinh x\,dx=\cosh x+C}$

${\displaystyle \int \cosh x\,dx=\sinh x+C}$

${\displaystyle \int \tanh x\,dx=\ln \,(\cosh x)+C}$

${\displaystyle \int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C,{\text{ for }}x\neq 0}$

${\displaystyle \int \operatorname {sech} \,x\,dx=\arctan \,(\sinh x)+C}$

${\displaystyle \int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0}$

Обратные гиперболические функции

Еще интегралы: Список интегралов обратных гиперболических функций

${\displaystyle \int \operatorname {arsinh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C,{\text{ for all real }}x}$

${\displaystyle \int \operatorname {arcosh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcosh} \,x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C,{\text{ for }}x\geq 1}$

${\displaystyle \int \operatorname {artanh} \,x\,dx=x\,\operatorname {artanh} \,x+{\frac {\ln \left(\,1-x^{2}\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert <1}$

${\displaystyle \int \operatorname {arcoth} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcoth} \,x+{\frac {\ln \left(x^{2}-1\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert >1}$

${\displaystyle \int \operatorname {arsech} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsech} \,x+\arcsin x+C,{\text{ for }}0<x\leq 1}$

${\displaystyle \int \operatorname {arcsch} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsch} \,x+\vert \operatorname {arsinh} \,x\vert +C,{\text{ for }}x\neq 0}$

Произведения функций, пропорциональные своим вторым производным

${\displaystyle \int \cos ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax+b\cos ax\right)+C}$

${\displaystyle \int \sin ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax-a\cos ax\right)+C}$

${\displaystyle \int \cos ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax\,\cosh bx+b\cos ax\,\sinh bx\right)+C}$

${\displaystyle \int \sin ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax\,\sinh bx-a\cos ax\,\cosh bx\right)+C}$

Абсолютные функции

Позволять ж быть функцией, которая имеет не более одного корня на каждом интервале, на котором она определена, и грамм первообразная ж который равен нулю в каждом корне ж (такая первообразная существует тогда и только тогда, когда условие на ж удовлетворено), то

${\displaystyle \int \left|f(x)\right|\,dx=\operatorname {sgn}(f(x))g(x)+C,}$

куда sgn (Икс) это функция знака, который принимает значения −1, 0, 1 при Икс соответственно отрицательный, нулевой или положительный. Это дает следующие формулы (где а ≠ 0):

${\displaystyle \int \left|(ax+b)^{n}\right|\,dx=\operatorname {sgn}(ax+b){(ax+b)^{n+1} \over a(n+1)}+C\quad [\,n{\text{ is odd, and }}n\neq -1\,]\,.}$

${\displaystyle \int \left|\tan {ax}\right|\,dx=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\tan {ax})\ln(\left|\cos {ax}\right|)+C}$

когда ${\displaystyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ для некоторого целого числа п.

${\displaystyle \int \left|\csc {ax}\right|\,dx=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\csc {ax})\ln(\left|\csc {ax}+\cot {ax}\right|)+C}$

когда ${\displaystyle ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)}$ для некоторого целого числа п.

${\displaystyle \int \left|\sec {ax}\right|\,dx={\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\sec {ax})\ln(\left|\sec {ax}+\tan {ax}\right|)+C}$

когда ${\displaystyle ax\in \left(n\pi -{\frac {\pi }{2}},n\pi +{\frac {\pi }{2}}\right)}$ для некоторого целого числа п.

${\displaystyle \int \left|\cot {ax}\right|\,dx={\frac {1}{a}}\operatorname {sgn}(\cot {ax})\ln(\left|\sin {ax}\right|)+C}$

когда ${\displaystyle ax\in \left(n\pi ,n\pi +\pi \right)}$ для некоторого целого числа п.

Если функция ж не имеет непрерывной первообразной, принимающей нулевое значение в нулях ж (это имеет место для функций синуса и косинуса), то sgn (ж(Икс)) ∫ ж(Икс) dx является первообразной от ж на каждом интервал на котором ж не равен нулю, но может быть разрывным в точках, где ж(Икс) = 0. Таким образом, для получения непрерывного первообразного необходимо добавить хорошо подобранный ступенчатая функция. Если мы также воспользуемся тем фактом, что абсолютные значения синуса и косинуса периодичны с периодом π, то получаем:

${\displaystyle \int \left|\sin {ax}\right|\,dx={2 \over a}\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}\right\rfloor -{1 \over a}\cos {\left(ax-\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}\right\rfloor \pi \right)}+C}$^{[нужна цитата ]}

${\displaystyle \int \left|\cos {ax}\right|\,dx={2 \over a}\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor +{1 \over a}\sin {\left(ax-\left\lfloor {\frac {ax}{\pi }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \pi \right)}+C}$^{[нужна цитата ]}

Специальные функции

Ci, Si: Тригонометрические интегралы, Ei: Экспоненциальный интеграл, li: Логарифмическая интегральная функция, erf: Функция ошибки

${\displaystyle \int \operatorname {Ci} (x)\,dx=x\operatorname {Ci} (x)-\sin x}$

${\displaystyle \int \operatorname {Si} (x)\,dx=x\operatorname {Si} (x)+\cos x}$

${\displaystyle \int \operatorname {Ei} (x)\,dx=x\operatorname {Ei} (x)-e^{x}}$

${\displaystyle \int \operatorname {li} (x)\,dx=x\operatorname {li} (x)-\operatorname {Ei} (2\ln x)}$

${\displaystyle \int {\frac {\operatorname {li} (x)}{x}}\,dx=\ln x\,\operatorname {li} (x)-x}$

${\displaystyle \int \operatorname {erf} (x)\,dx={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+x\operatorname {erf} (x)}$

Определенные интегралы без первообразных замкнутой формы

Есть некоторые функции, первообразные которых не можешь выражаться в закрытая форма. Однако значения определенных интегралов некоторых из этих функций на некоторых общих интервалах могут быть вычислены. Ниже приведены несколько полезных интегралов.

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}$ (смотрите также Гамма-функция )

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}}$ за а > 0 (в Гауссовский интеграл )

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{3}}}}}$ за а > 0

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {2n-1}{2a}}\int _{0}^{\infty }x^{2(n-1)}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {(2n-1)!!}{2^{n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}={\frac {(2n)!}{n!2^{2n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a^{2n+1}}}}}$ за а > 0, п натуральное число и !! это двойной факториал.

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{3}e^{-ax^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}}$ когда а > 0

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n}{a}}\int _{0}^{\infty }x^{2n-1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n!}{2a^{n+1}}}}$ за а > 0, п = 0, 1, 2, ....

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ (смотрите также Число Бернулли )

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx=2\zeta (3)\approx 2.40}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx={\frac {\pi ^{4}}{15}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin {x}}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$ (видеть функция sinc и Интеграл Дирихле )

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}{x}}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}\times {\begin{cases}1&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\end{cases}}}$ (если п натуральное число и !! это двойной факториал ).

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&|\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$ (за α, β, м, п целые числа с β ≠ 0 и м, п ≥ 0, смотрите также Биномиальный коэффициент )

${\displaystyle \int _{-t}^{t}\sin ^{m}(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx=0}$ (за α, β настоящий, п неотрицательное целое число и м нечетное положительное целое число; так как подынтегральное выражение странный )

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}(-1)^{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\text{ odd}},\ \alpha =\beta (2m-n)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$ (за α, β, м, п целые числа с β ≠ 0 и м, п ≥ 0, смотрите также Биномиальный коэффициент )

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx={\begin{cases}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}\right)}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\text{ even}},\ |\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$ (за α, β, м, п целые числа с β ≠ 0 и м, п ≥ 0, смотрите также Биномиальный коэффициент )

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\exp \left[{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]}$ (куда exp [ты] это экспоненциальная функция е^ты, и а > 0)

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)}$ (куда ${\displaystyle \Gamma (z)}$ это Гамма-функция )

${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\ln {\frac {1}{x}}\right)^{p}\,dx=\Gamma (p+1)}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}}$ (за Re (α) > 0 и Re (β) > 0, видеть Бета-функция )

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)}$ (куда я₀(Икс) это модифицированный Функция Бесселя первого рода)

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\,dx={\frac {{\sqrt {\nu \pi }}\ \Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}}}$ (за ν > 0 , это связано с функция плотности вероятности из Студенты т-распределение )

Если функция ж имеет ограниченная вариация на интервале [а,б], то метод истощения дает формулу для интеграла:

${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)\,dx}=(b-a)\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\sum \limits _{m=1}^{2^{n}-1}{\left({-1}\right)^{m+1}}}2^{-n}f(a+m\left({b-a}\right)2^{-n}).}$

"мечта второкурсника ":

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}&&(=1.29128\,59970\,6266\dots )\\[6pt]\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}&&(=0.78343\,05107\,1213\dots )\end{aligned}}}$

приписывается Иоганн Бернулли.

Смотрите также

• Неполная гамма-функция
• Неопределенная сумма
• Список лимитов
• Список математических рядов
• Символическая интеграция

Рекомендации

1. "Обзор читателей: журнал |Икс| + C ", Том Ленстер, В п-категория кафе, 19 марта 2012 г.

дальнейшее чтение

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МИСТЕР  0167642. LCCN  65-12253.
• Бронштейн, Илья Николаевич; Семендяев, Константин Адольфович (1987) [1945]. Гроше, Гюнтер; Зиглер, Виктор; Зиглер, Доротея (ред.). Taschenbuch der Mathematik (на немецком). 1. Перевод Виктор Зиглер. Вайс, Юрген (23-е изд.). Тун и Франкфурт-на-Майне: Верлаг Харри Дойч (и B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Лейпциг). ISBN  3-87144-492-8.
• Градштейн Израиль Соломонович; Рыжик Иосиф Моисеевич; Геронимус Юрий Вениаминович; Цейтлин Михаил Юльевич; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014]. Цвиллинджер, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов. Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN  978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276. (Также несколько предыдущих выпусков.)
• Прудников Анатолий Платонович (Прудников, Анатолий Платонович); Брычков, Юрий А. (Брычков, Ю. А.); Маричев, Олег Игоревич (Маричев, Олег Игоревич) (1988–1992) [1981–1986 (рус.)]. Интегралы и ряды. 1–5. Перевод Queen, N. M. (1-е изд.). (Наука ) Издательство Gordon & Breach Science /CRC Press. ISBN  2-88124-097-6.. Издание второе исправленное (рус.), Том 1–3, Физико-математическая литература, 2003.
• Юрий А. Брычков (Ю. А. Брычков), Справочник по специальным функциям: производные, интегралы, ряды и другие формулы. Русское издание, Физико-математическая литература, 2006. Английское издание, Chapman & Hall / CRC Press, 2008, ISBN  1-58488-956-X / 9781584889564.
• Даниэль Цвиллинджер. Стандартные математические таблицы и формулы CRC, 31-е изд. Чепмен и Холл / CRC Press, 2002. ISBN  1-58488-291-3. (Также во многих более ранних изданиях.)
• Мейер Хирш [де ], Integraltafeln или Sammlung von Integralformeln (Дункер и Гамблот, Берлин, 1810 г.)
• Мейер Хирш [де ], Таблицы интегралов или сборник формул интегралов (Бейнс и сын, Лондон, 1823 г.) [английский перевод Интегралтафельн]
• Дэвид Биренс де Хаан, Nouvelles Tables d'Intégrales définies (Энгельс, Лейден, 1862 г.)
• Бенджамин О. Пирс Краткая таблица интегралов - переработанное издание (Ginn & Co., Бостон, 1899 г.)

внешняя ссылка

Таблицы интегралов

• Онлайн-математические заметки Пола
• А. Дикман, Таблица интегралов (эллиптические функции, квадратные корни, обратные касательные и другие экзотические функции): Неопределенные интегралы Определенные интегралы
• Математика: таблица интегралов
• О'Брайен, Фрэнсис Дж. Мл. «500 интегралов». Полученные интегралы от экспоненциальных, логарифмических функций и специальных функций.
• Интеграция на основе правил Точно определенные правила неопределенного интегрирования, охватывающие широкий класс подынтегральных выражений
• Матар, Ричард Дж. (2012). «Еще одна таблица интегралов». arXiv:1207.5845.

Производные

• Виктор Гюго Молль, Интегралы в Градштейне и Рыжике

Интернет Сервис

• Примеры интеграции для Wolfram Alpha

Программы с открытым исходным кодом

• wxmaxima gui для символьного и числового решения многих математических задач