Квадратурная формула Кавальериса - Cavalieris quadrature formula - Wikipedia

Не путать с Принцип Кавальери.

Квадратурная формула Кавальери вычисляет площадь под кубическая кривая вместе с другими высшими силами.

В исчисление, Квадратурная формула Кавальери, названный в честь итальянского математика 17 века Бонавентура Кавальери, это интеграл

${\displaystyle \int _{0}^{a}x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1}}\,a^{n+1}\qquad n\geq 0,}$

и их обобщения. Это определенный интеграл форма; то неопределенный интеграл форма:

${\displaystyle \int x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1}}\,x^{n+1}+C\qquad n\neq -1.}$

Есть дополнительные формы, перечислено ниже. Вместе с линейность интеграла, эта формула позволяет вычислить интегралы от всех многочленов.

Период, термин "квадратура "- традиционный термин для площадь; интеграл геометрически интерпретируется как площадь под кривой у = Икс^п. Традиционно важными делами являются у = Икс², квадратура парабола, известный в древности, и у = 1/Икс, квадратура гиперболы, значение которой логарифм.

Формы

Отрицательный п

Для отрицательных значений п (отрицательные силы Икс), Существует необычность в Икс = 0, и, таким образом, определенный интеграл основан на 1, а не на 0, что дает:

${\displaystyle \int _{1}^{a}x^{n}\,dx={\frac {1}{n+1}}(a^{n+1}-1)\qquad n\neq -1.}$

Далее, для отрицательных дробных (нецелых) значений п, сила Икс^п не является четко определенный, следовательно, неопределенный интеграл определен только для положительных Икс. Однако для п отрицательное целое число Икс^п определено для всех ненулевых Икс, и неопределенные интегралы и определенные интегралы определены, и могут быть вычислены с помощью аргумента симметрии, заменяя Икс автор -Икс, и основывая отрицательно определенный интеграл на −1.

По комплексным числам определенный интеграл (при отрицательных значениях п и Икс) можно определить через контурная интеграция, но тогда зависит от выбора пути, в частности номер намотки - геометрическая проблема в том, что функция определяет покрывающее пространство с особенностью 0.

п = −1

Есть также исключительный случай п = −1, что дает логарифм вместо силыИкс:

${\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln a,}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln x+C,\qquad x>0}$

(где "ln" означает натуральный логарифм, т.е. логарифм по основанию е  = 2.71828...).

Несобственный интеграл часто расширяется до отрицательных значений Икс с помощью обычного выбора:

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C,\qquad x\neq 0.}$

Обратите внимание на использование абсолютная величина в неопределенном интеграле; это должно обеспечить унифицированную форму для интеграла и означает, что интеграл этой нечетной функции является четной функцией, хотя логарифм определен только для положительных входных значений и, фактически, различных постоянных значений C можно выбрать по обе стороны от 0, поскольку они не изменяют производную. Таким образом, более общая форма:^[1]

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx={\begin{cases}\ln |x|+C^{-}&x<0\\\ln |x|+C^{+}&x>0\end{cases}}}$

Над комплексными числами нет глобальной первообразной для 1 /Икс, поскольку эта функция определяет нетривиальную покрывающее пространство; эта форма предназначена для действительных чисел.

Обратите внимание, что определенный интеграл, начиная с 1, не определен для отрицательных значений а, поскольку он проходит через особенность, хотя поскольку 1 /Икс является нечетная функция, можно основать определенный интеграл для отрицательных степеней при −1. Если кто-то хочет использовать несобственные интегралы и вычислить Главное значение Коши, получается ${\displaystyle \int _{-c}^{c}{\frac {1}{x}}\,dx=0,}$ что также может быть обосновано симметрией (поскольку логарифм нечетный), поэтому ${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {1}{x}}\,dx=0,}$ так что не имеет значения, основан ли определенный интеграл на 1 или −1. Как и в случае с неопределенным интегралом, это относится к действительным числам и не распространяется на комплексные числа.

Альтернативные формы

Интеграл также можно записать со смещенными индексами, что упрощает результат и делает связь с п-мерная дифференциация и п-куб яснее:

${\displaystyle \int _{0}^{a}x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}a^{n}\qquad n\geq 1.}$

${\displaystyle \int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}+C\qquad n\neq 0.}$

В более общем виде эти формулы могут быть представлены как:

${\displaystyle \int (ax+b)^{n}dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{ax+b}}dx={\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C}$

В более общем смысле:

${\displaystyle \int {\frac {1}{ax+b}}\,dx={\begin{cases}{\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C^{-}&x<-b/a\\{\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C^{+}&x>-b/a\end{cases}}}$

Доказательство

Современное доказательство заключается в использовании первообразной: производной от Икс^п показано как nx^п−1 - для целых неотрицательных чисел. Это видно из биномиальная формула и определение производной - и таким образом основная теорема исчисления то первообразный - интеграл. Этот метод не подходит для ${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx,}$ как кандидат первообразная ${\displaystyle {\frac {1}{0}}\cdot x^{0}}$, которая не определена из-за деления на ноль. В логарифм функция, которая является фактической первообразной 1 /Икс, должны быть представлены и рассмотрены отдельно.

Производная ${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}}$ можно геометризировать как бесконечно малое изменение объема п-куб, который является площадью п лица, каждое из измерений п − 1.
Интегрирование этой картины - складывание граней - геометризует основную теорему исчисления, давая разложение п-куб в п пирамиды, что является геометрическим доказательством квадратурной формулы Кавальери.

Для положительных целых чисел это доказательство можно геометризировать:^[2] если учесть количество Икс^п как объем п-куб ( гиперкуб в п размеры), то производная - это изменение объема при изменении длины стороны - это Икс^п−1, которую можно интерпретировать как площадь п лица, каждое из измерений п - 1 (фиксируя одну вершину в начале координат, это п грани, не соприкасающиеся с вершиной), что соответствует увеличению размера куба за счет роста в направлении этих граней - в трехмерном случае добавление 3 бесконечно тонких квадратов, по одному на каждую из этих граней. И наоборот, геометризируя основную теорему исчисления, складывая эти бесконечно малые (п - 1) кубики дают (гипер) -пирамиду, а п этих пирамид образуют п-куб, который дает формулу. Далее, есть п-кратная циклическая симметрия п-куб по диагонали, вращающий эти пирамиды (для которых пирамида является фундаментальная область ). В случае с кубом (3-кубом) объем пирамиды изначально был строго установлен так: куб имеет 3-кратную симметрию, с фундаментальной областью пирамиды, разделяющей куб на 3 пирамиды, что соответствует факту что объем пирамиды равен одной трети основания, умноженной на высоту. Это геометрически иллюстрирует эквивалентность квадратуры параболы и объема пирамиды, которые классически вычислялись разными способами.

Существуют альтернативные доказательства - например, Ферма вычислил площадь с помощью алгебраического трюка разделения области на определенные интервалы неравной длины;^[3] в качестве альтернативы, можно доказать это, распознав симметрию графа у = Икс^п при неоднородном расширении (по d в Икс направление и d^п в у направление, алгебраизируя п размеры у направление),^[4] или вывести формулу для всех целочисленных значений, расширив результат для п = −1 и сравнивая коэффициенты.^[5]

История

Архимед вычислил площадь параболических сегментов в своем Квадратура параболы.

Подробное обсуждение истории с первоисточниками дано в (Лаубенбахер и Пенгелли 1998, Глава 3, Анализ: Расчет площадей и объемов) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFLaubenbacherPengelley1998 (помощь); смотрите также история исчисления и история интеграции.

Случай с параболой был доказан еще в древности древнегреческим математиком. Архимед в его Квадратура параболы (3 век до н.э.), через метод истощения. Следует отметить, что Архимед вычислил площадь внутри парабола - так называемый "параболический сегмент" - а не площадь под графиком у = Икс², что вместо точки зрения Декартова геометрия. Это эквивалентные вычисления, но отражают разницу в перспективе. Древние греки, среди прочих, также вычисляли объем пирамида или же конус, что математически эквивалентно.

В 11 веке Исламский математик Ибн аль-Хайсам (известный как Альхазен в Европе) вычислили интегралы от кубики и квартика (третья и четвертая степень) через математическая индукция, в его Книга оптики.^[6]

Случай более высоких целых чисел был вычислен Кавальери для п до 9, используя его метод неделимых (Принцип Кавальери ).^[7] Он интерпретировал их как высшие интегралы как вычисление многомерных объемов, хотя и неофициально, поскольку многомерные объекты были еще незнакомы.^[8] Затем этот метод квадратуры расширил итальянский математик. Евангелиста Торричелли к другим кривым, таким как циклоида, затем формула была обобщена на дробные и отрицательные степени английским математиком Джон Уоллис, в его Arithmetica Infinitorum (1656), который также стандартизировал понятие и обозначение рациональных сил - хотя Уоллис неверно истолковал исключительный случай п = −1 (квадратура гиперболы) - прежде, чем окончательно подвергнуться строгому обоснованию с развитием интегральное исчисление.

До формализации Уоллисом дробных и отрицательных степеней, которые позволяли явный функции ${\displaystyle y=x^{p/q},}$ эти кривые обрабатывались неявно, через уравнения ${\displaystyle x^{p}=ky^{q}}$ и ${\displaystyle x^{p}y^{q}=k}$ (п и q всегда положительные целые числа) и называются соответственно высшие параболы и высшие гиперболы (или «высшие параболы» и «высшие гиперболы»). Пьер де Ферма также вычислил эти площади (за исключением исключительного случая -1) с помощью алгебраического трюка - он вычислил квадратуру высших гипербол, разделив прямую на равные интервалы, а затем вычислил квадратуру высших парабол, используя деление на неравный интервалы, по-видимому, путем инвертирования делений, которые он использовал для гипербол.^[9] Однако, как и в остальной части его работы, техники Ферма были скорее специальными приемами, чем систематическими методами лечения, и он не считается, что он сыграл значительную роль в последующем развитии исчисления.

Следует отметить, что Кавальери сравнивал площади только с площадями, а объемы с объемами - у них всегда есть размеры, в то время как понятие рассмотрения области как состоящей из единицы площади (относительно стандартной единицы), следовательно, без единицы измерения, по-видимому, возникла у Уоллиса;^[10][11] Уоллис изучал дробные и отрицательные степени, и альтернативой трактовке вычисленных значений как безразмерных чисел была интерпретация дробных и отрицательных измерений.

Исключительный случай −1 (стандартная гипербола) впервые был успешно обработан Грегуар де Сент-Винсент в его Опус геометрическая квадратурная циркуляция и секция кони (1647), хотя формальная обработка должна была дождаться развития натуральный логарифм, что было выполнено Николас Меркатор в его Логарифмотехния (1668).

Рекомендации

1. "Обзор читателей: журнал |Икс| + C ", Том Ленстер, В п-категория кафе, 19 марта 2012 г.
2. (Барт 2004 ), (Картер и Шампанеркар 2006 )
3. См. Рики.
4. (Вильдбергер 2002 )
5. (Брэдли 2003 )
6. Виктор Дж. Кац (1995), «Идеи исчисления в исламе и Индии», Математический журнал 68 (3): 163–174 [165–9 & 173–4]
7. (Струик 1986, стр. 215–216). ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFStruik1986 (помощь)
8. (Лаубенбахер и Пенгелли 1998 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFLaubenbacherPengelley1998 (помощь) - видеть Неформальный педагогический синопсис главы "Анализ" для краткой формы
9. См. Ссылку Рики для обсуждения и дальнейших ссылок.
10. Мяч, 281
11. Британика, 171

История

• Кавальери, Геометрия индивисибилибус (континуум nova quadam ratione promota) (Геометрия, раскрытая по-новому с помощью неделимых непрерывных), 1635.
• Кавальери, Exercitationes Geometricae Секс («Шесть геометрических упражнений»), 1647 г.
  • в Дирк Ян Струик, редактор, Справочник по математике, 1200–1800 гг. (Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси, 1986). ISBN  0-691-08404-1, ISBN  0-691-02397-2 (PBK).
• Математические экспедиции: хроники исследователей, Райнхард Лаубенбахер, Дэвид Пенгелли, 1998, Раздел 3.4: «Кавальери вычисляет области высших парабол», стр. 123–127 / 128
• Краткое изложение истории математики, Уолтер Уильям Роуз Болл, "Кавальери", п. 278–281
• "Исчисление бесконечно малых ", Энциклопедия математики
• Британское руководство по анализу и расчету, образовательной Britannica Educational, п. 171 - в первую очередь обсуждает Уоллеса

Доказательства

• Вильдбергер, Н. Дж. (2002). «Новое доказательство квадратурной формулы Кавальери». Американский математический ежемесячник. 109 (9): 843–845. Дои:10.2307/3072373. JSTOR  3072373.
• Брэдли, Дэвид М. (май 2003 г.). «Замечание о квадратурной формуле Кавальери». Американский математический ежемесячник. 110 (5): 437. arXiv:математика / 0505059. Bibcode:2005математика ...... 5059B, появилось в печати в конце Нули переменной дзета-функции на прямой R (S) = 1
• Барт, Н. Р. (2004). «Вычисление квадратурной формулы Кавальери с помощью симметрии n-куба». Американский математический ежемесячник. 111 (9): 811–813. Дои:10.2307/4145193. JSTOR  4145193.
• Картер, Дж. Скотт; Чампанеркар, Абхиджит (2006). «Геометрический метод вычисления некоторых элементарных интегралов». arXiv:математика / 0608722.
• Малик, М.А. (1984) "Заметка об интеграции Кавальери", Математический журнал 57(3): 154–6 Дои:10.2307/2689662
• В. Фредерик Рики (2011) Интеграция сил Ферма ", в Исторические заметки для учителей математического анализа

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Квадратурная формула Кавальери". MathWorld.
• Cavalieri интеграции
• Д. Дж. Струик, Справочник по математике, 1200-1800 гг., п. 214