Фундаментальный домен - Fundamental domain - Wikipedia

Учитывая топологическое пространство и группа игра актеров на нем изображения одной точки под действием группы образуют орбита действия. А фундаментальная область или же фундаментальный регион - это подмножество пространства, которое содержит ровно одну точку с каждой из этих орбит. Он служит геометрической реализацией абстрактного множества представителей орбит.

Есть много способов выбрать фундаментальный домен. Как правило, фундаментальный домен должен быть связаны подмножество с некоторыми ограничениями на его границу, например, гладкое или многогранное. Образы выбранной фундаментальной области под действием группы затем плитка космос. Одна общая конструкция фундаментальных областей использует Клетки Вороного.

Советы по общему определению

Решетка на комплексной плоскости и ее фундаментальная область с фактор-тором.

Учитывая действие из группа грамм на топологическое пространство Икс к гомеоморфизмы, фундаментальной областью этого действия является множество D представителей для орбит. Обычно требуется, чтобы топологически это было достаточно хорошее множество, одним из нескольких точно определенных способов. Одним из типичных условий является то, что D является почти открытый набор, в том смысле, что D это симметричная разница открытого набора в грамм с набором измерять ноль, для некоторого (квази) инварианта мера на Икс. Фундаментальная область всегда содержит бесплатный регулярный набор U, открытый набор перемещался грамм в непересекающийся копии и почти так же хорошо, как D в изображении орбит. Часто D требуется, чтобы это был полный набор представителей смежного класса с некоторыми повторами, но повторяющаяся часть имеет нулевую меру. Это типичная ситуация в эргодическая теория. Если фундаментальный домен используется для расчета интеграл на Икс/грамм, множества нулевой меры не имеют значения.

Например, когда Икс является Евклидово пространство р^п измерения п, и грамм это решетка Z^п действуя по нему переводом, частное Икс/грамм это п-размерный тор. Фундаментальная область D здесь можно принять равным [0,1)^п, который отличается от открытого множества (0,1)^п набором нулевой меры или закрыто единичный куб [0,1]^п, чей граница состоит из точек, орбита которых имеет более одного представителя в D.

Примеры

Примеры в трехмерном евклидовом пространстве р³.

за п-кратное вращение: орбита - это либо набор п точки вокруг оси или одна точка на оси; основная область - это сектор
для отражения в плоскости: орбита - это либо набор из 2 точек, по одной на каждой стороне плоскости, либо одна точка на плоскости; фундаментальная область - это полупространство, ограниченное этой плоскостью
для отражения в точке: орбита - это набор из 2 точек, по одной с каждой стороны от центра, за исключением одной орбиты, состоящей только из центра; фундаментальная область - это полупространство, ограниченное любой плоскостью, проходящей через центр
для поворота на 180 ° вокруг прямой: орбита - это либо набор из двух точек, противоположных друг другу относительно оси, либо одна точка на оси; фундаментальная область - это полупространство, ограниченное любой плоскостью, проходящей через прямую
для дискретных поступательная симметрия в одном направлении: орбиты представляют собой сдвиги одномерной решетки в направлении вектора сдвига; фундаментальная область представляет собой бесконечную плиту
для дискретной трансляционной симметрии в двух направлениях: орбиты представляют собой трансляции двумерной решетки в плоскости через векторы трансляции; фундаментальная область представляет собой бесконечный стержень с параллелограмматический поперечное сечение
для дискретной трансляционной симметрии в трех направлениях: орбиты являются сдвигами решетки; фундаментальная область - это примитивная клетка что, например, а параллелепипед, или Ячейка Вигнера-Зейтца, также называемый Ячейка Вороного / диаграмма.

В случае трансляционной симметрии в сочетании с другими симметриями фундаментальная область является частью примитивной ячейки. Например, для группы обоев основная область в 1, 2, 3, 4, 6, 8 или 12 раз меньше, чем примитивная ячейка.

Фундаментальный домен для модульной группы

Каждая треугольная область представляет собой свободный регулярный набор H / Γ; серый (с третьей точкой треугольника на бесконечности) - каноническая фундаментальная область.

На диаграмме справа показана часть построения фундаментальной области действия модульная группа Γ на верхняя полуплоскость ЧАС.

Эта знаменитая диаграмма встречается во всех классических книгах по модульные функции. (Вероятно, это было хорошо известно К. Ф. Гаусс, которые занимались фундаментальными областями под видом теория редукции из квадратичные формы.) Здесь каждая треугольная область (ограниченная синими линиями) является бесплатный регулярный набор действия Γ на ЧАС. Границы (синие линии) не являются частью бесплатных регулярных множеств. Чтобы построить фундаментальную область ЧАС/ Γ, необходимо также подумать о том, как назначать точки на границе, стараясь не пересчитывать такие точки дважды. Таким образом, свободным регулярным множеством в этом примере является

{ Displaystyle U = left {z in H: left | z right |> 1, , left | , { mbox {Re}} (z) , right | <{ frac {1} {2}} right }.}

Фундаментальная область строится путем добавления границы слева плюс половина дуги снизу, включая точку посередине:

{ displaystyle D = U cup left {z in H: left | z right | geq 1, , { mbox {Re}} (z) = { frac {-1} {2 }} right } cup left {z in H: left | z right | = 1, , { frac {-1} {2}} <{ mbox {Re}} (z ) leq 0 right }.}

Выбор точек границы для включения в основной домен является произвольным и варьируется от автора к автору.

Основная трудность определения фундаментальной области заключается не столько в определении множества как таковой, а скорее о том, как обрабатывать интегралы по фундаментальной области при интегрировании функций с полюсами и нулями на границе области.

Смотрите также

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Фундаментальная область». MathWorld.