Неполная гамма-функция - Incomplete gamma function

Верхняя неполная гамма-функция для некоторых значений s: 0 (синий), 1 (красный), 2 (зеленый), 3 (оранжевый), 4 (фиолетовый).

В математика, то верхний и нижние неполные гамма-функции типы специальные функции которые возникают как решения различных математических задач, таких как определенные интегралы.

Их соответствующие имена происходят из их интегральных определений, которые определяются аналогично гамма-функция но с другими или «неполными» интегральными пределами. Гамма-функция определяется как интеграл от нуля до бесконечности. Это контрастирует с нижней неполной гамма-функцией, которая определяется как интеграл от нуля до переменного верхнего предела. Аналогично, неполная верхняя гамма-функция определяется как интеграл от нижнего предела переменной до бесконечности.

Определение

Верхняя неполная гамма-функция определяется как:

${\displaystyle \Gamma (s,x)=\int _{x}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t,\,\!}$

тогда как нижняя неполная гамма-функция определяется как:

${\displaystyle \gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t.\,\!}$

Характеристики

В обоих случаях s является сложным параметром, так что действительная часть s положительный.

К интеграция по частям мы находим повторяющиеся отношения

${\displaystyle \Gamma (s+1,x)=s\Gamma (s,x)+x^{s}e^{-x}}$

и

${\displaystyle \gamma (s+1,x)=s\gamma (s,x)-x^{s}e^{-x}.}$

Поскольку обычная гамма-функция определяется как

${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t}$

у нас есть

${\displaystyle \Gamma (s)=\Gamma (s,0)=\lim _{x\to \infty }\gamma (s,x)}$

и

${\displaystyle \gamma (s,x)+\Gamma (s,x)=\Gamma (s).}$

Продолжение сложных ценностей

Нижняя неполная гамма и верхняя неполная гамма-функция, как определено выше для реальных положительных s и Икс, может быть преобразован в голоморфные функции, в отношении как Икс и s, определенная почти для всех комбинаций сложных Икс и s.^[1] Комплексный анализ показывает, как свойства реальных неполных гамма-функций распространяются на их голоморфные аналоги.

Нижняя неполная гамма-функция

Голоморфное расширение

Повторное применение рекуррентного соотношения для нижняя неполная гамма функция приводит к степенной ряд расширение: [2]

${\displaystyle \gamma (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{s}e^{-x}x^{k}}{s(s+1)\cdots (s+k)}}=x^{s}\,\Gamma (s)\,e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}.}$

Учитывая Стремительный рост в абсолютная величина из Γ (z + k) когда k → ∞, и тот факт, что обратная Γ (z) является вся функция, коэффициенты в самой правой сумме определены корректно, и локально сумма сходится равномерно для всего комплекса s и Икс. По теореме Вейерштрасса^[2] предельная функция, иногда обозначаемая как ${\displaystyle \gamma ^{*}}$,

${\displaystyle \gamma ^{*}(s,z):=e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{\Gamma (s+k+1)}}}$ [3]

является весь в отношении обоих z (для фиксированных s) и s (для фиксированных z) [4], а значит, голоморфна на ℂ × ℂ по Теорема Хартога[5]. Следовательно, следующие разложение

${\displaystyle \gamma (s,z)=z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,z)}$ [6],

расширяет реальную нижнюю неполную гамма-функцию как голоморфная функция, как совместно, так и по отдельности в z и s. Из свойств ${\displaystyle z^{s}}$ и Γ-функция, что первые два фактора отражают особенности из ${\displaystyle \gamma (s,z)}$ (в z = 0 или s неположительное целое число), тогда как последний множитель вносит вклад в его нули.

Многозначность

В комплексный логарифм бревноz = журнал |z| + я аргументz определяется только с точностью, кратной 2πi, что делает его многозначный. Функции, использующие комплексный логарифм, обычно наследуют это свойство. Среди них комплексная мощность, и с тех пор z^s в его разложении появляется и γ-функция.

Неопределенность многозначных функций вносит сложности, поскольку необходимо указать, как выбрать значение. Стратегии решения этой проблемы:

• (наиболее общий способ) заменить область определения многозначных функций ℂ на подходящее многообразие в ×, называемое Риманова поверхность. Хотя это устраняет многозначность, нужно знать теорию, лежащую в основе этого. [7];
• ограничить область определения таким образом, чтобы многозначная функция разлагалась на отдельные однозначные ветви, с которыми можно обращаться индивидуально.

Для правильной интерпретации формул в этом разделе можно использовать следующий набор правил. Если не указано иное, предполагается следующее:

Секторов

Секторы в, имеющие вершину в z = 0 часто оказывается подходящей областью для сложных выражений. Сектор D состоит из всего комплекса z выполнение z ≠ 0 и α − δ <аргумент z < α + δ с некоторыми α и 0 < δ ≤ π. Часто, α могут быть выбраны произвольно и не указываются. Если δ не дано, предполагается, что он равен π, и фактически сектор представляет собой всю плоскость, за исключением полупрямой, начинающейся в z = 0 и указывающий в направлении -α, обычно служащий срезанная ветка. Примечание: во многих приложениях и текстах α молча принимается равным 0, что центрирует сектор вокруг положительной вещественной оси.

ветви

В частности, однозначный и голоморфный логарифм существует на любом таком секторе D, мнимая часть которого связана с диапазоном (α − δ, α + δ). На основе такого ограниченного логарифма z^s а неполные гамма-функции, в свою очередь, коллапсируют до однозначных голоморфных функций на D (или же ℂ×D), называемые ветвями своих многозначных аналогов на D. Добавление кратного 2π к α дает другой набор коррелированных ветвей на том же наборе D. Однако в любом данном контексте α считается фиксированным, и с ним связаны все задействованные ветви. Если |α| < δ, ветви называются главный, потому что они равны своим действительным аналогам на положительной действительной оси. Примечание: во многих приложениях и текстах формулы верны только для основных ветвей.

Связь между ветвями

Значения различных ветвей как комплексной степенной функции, так и нижней неполной гамма-функции могут быть получены друг из друга путем умножения ${\displaystyle e^{2\pi \mathrm {i} ks}}$[8], за k подходящее целое число.

Поведение возле точки ветвления

Приведенное выше разложение показывает, что γ ведет себя вблизи z = 0 асимптотически подобно:

${\displaystyle \gamma (s,z)\asymp z^{s}\,\Gamma (s)\,\gamma ^{*}(s,0)=z^{s}\,\Gamma (s)/\Gamma (s+1)=z^{s}/s.}$

Для положительного реального Икс, у и s, Икс^у/ y → 0, когда (Икс, у) → (0, s). Кажется, это оправдывает установку γ (s, 0) = 0 серьезно s > 0. Однако в сложной сфере дела обстоят несколько иначе. Только если (а) действительная часть s положительна, и (б) значения ты^v взяты только из конечного набора ветвей, они гарантированно сходятся к нулю при (ты, v) → (0, s), как и γ(ты, v). На одном ответвляться из γ(б) естественно выполняется, поэтому там γ(s, 0) = 0 для s с положительной реальной частью непрерывный предел. Также отметим, что такое продолжение ни в коем случае не аналитический.

Алгебраические отношения

Все алгебраические соотношения и дифференциальные уравнения, наблюдаемые действительной γ(s, z) справедливы и для его голоморфного аналога. Это следствие теоремы тождества [9], утверждая, что уравнения между голоморфными функциями, действительными на вещественном интервале, выполняются всюду. В частности, рекуррентное соотношение [10] и ∂γ(s,z)/∂z = z^s−1 е^−z [11] сохраняются в соответствующих ветках.

Интегральное представление

Последнее соотношение говорит нам, что при фиксированном s, γ это примитивный или первообразный голоморфной функции z^s−1 е^−z. Как следствие, [12], для любого комплекса ты, v ≠ 0,

${\displaystyle \int _{u}^{v}t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t=\gamma (s,v)-\gamma (s,u)}$

держится, пока путь интеграции целиком содержится в области определения ветви подынтегрального выражения. Если, кроме того, действительная часть s положительно, то предел γ(s, ты) → 0 для ты → 0 применяется, наконец, придя к комплексному интегральному определению γ

${\displaystyle \gamma (s,z)=\int _{0}^{z}t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t,\,\Re (s)>0.}$[13]

Здесь действителен любой путь интегрирования, содержащий 0 только в начале, иначе ограниченный областью ветви подынтегрального выражения, например прямая, соединяющая 0 и z.

Лимит на z → +∞

Реальные ценности

Учитывая интегральное представление главной ветви кривой γ, для всех положительных вещественных s, x выполняется следующее уравнение:[14]

${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t=\lim _{x\rightarrow \infty }\gamma (s,x)}$

s сложный

Этот результат распространяется на сложные s. Предположим сначала 1 ≤ Re (с) ≤ 2 и 1 <а <б. потом

${\displaystyle |\gamma (s,b)-\gamma (s,a)|\leq \int _{a}^{b}|t^{s-1}|e^{-t}\,{\rm {d}}t=\int _{a}^{b}t^{\Re s-1}e^{-t}\,{\rm {d}}t\leq \int _{a}^{b}te^{-t}\,{\rm {d}}t}$

куда

${\displaystyle |z^{s}|=|z|^{\Re s}\,e^{-\Im s\arg z}}$[15]

был использован в середине. Поскольку окончательный интеграл становится сколь угодно малым, если только а достаточно велико, γ (s, x) сходится равномерно при Икс → ∞ на полосе 1 ≤ Re (с) ≤ 2 к голоморфной функции,^[3] который должен быть Γ (s) в силу теоремы о тождестве [16]. Переходя к пределу в рекуррентном соотношении γ(s,Икс) = (s − 1)γ(s − 1,Икс) − Икс^s−1 е^−Икс и отмечая, что lim Икс^п е^−Икс = 0 для Икс → ∞ и все n, показывает, что γ (s, x) сходится и вне полосы к функции, подчиняющейся рекуррентному соотношению Γ-функции. Следует

${\displaystyle \Gamma (s)=\lim _{x\rightarrow \infty }\gamma (s,x)}$

для всего комплекса s не целое неположительное число, Икс настоящий и γ главный.

Секторная конвергенция

Теперь позвольте ты быть из сектора | arg z| < δ < π/ 2 с некоторыми фиксированными δ (α = 0), γ быть главной ветвью в этом секторе, и посмотрите на

${\displaystyle \Gamma (s)-\gamma (s,u)=\Gamma (s)-\gamma (s,|u|)+\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u).}$

Как показано выше, первое различие можно сделать сколь угодно малым, если |ты| достаточно большой. Второе отличие позволяет сделать следующие оценки:

${\displaystyle |\gamma (s,|u|)-\gamma (s,u)|\leq \int _{u}^{|u|}|z^{s-1}e^{-z}|\,{\rm {d}}z=\int _{u}^{|u|}|z|^{\Re s-1}\,e^{-\Im s\,\arg z}\,e^{-\Re z}\,{\rm {d}}z,}$

где мы использовали интегральное представление γ и формулу о | z^s| над. Если проинтегрировать по дуге радиуса р = |ты| около 0 подключений ты и |ты|, то последний интеграл равен

${\displaystyle \leq R|\arg u|\,R^{\Re s-1}\,e^{\Im s\,|\arg u|}\,e^{-R\cos \arg u}\leq \delta \,R^{\Re s}\,e^{\Im s\,\delta }\,e^{-R\cos \delta }=M\,(R\,\cos \delta )^{\Re s}\,e^{-R\cos \delta }}$

куда M = δ(потому что δ)^{−Re s} е^{Я sδ} постоянная, не зависящая от ты или же р. Снова обращаясь к поведению Икс^п е^−Икс для больших Икс, мы видим, что последнее выражение стремится к 0 при р возрастает в сторону ∞, итого теперь имеем:

${\displaystyle \Gamma (s)=\lim _{|z|\rightarrow \infty }\gamma (s,z),\quad |\arg z|<\pi /2-\epsilon ,}$

если s не является целым неотрицательным числом, 0 < ε < π/ 2 сколь угодно мало, но фиксировано, и γ обозначает главную ветвь в этом домене.

Обзор

${\displaystyle \gamma (s,z)}$ является:

• весь в z для фиксированного положительного интеграла s;
• многозначный голоморфный в z для фиксированного s не целое число, с точка разветвления в z = 0;
• на каждой ветке мероморфный в s для фиксированного z ≠ 0, с простыми полюсами при целых неположительных числах s.

Верхняя неполная гамма-функция

Для верхняя неполная гамма-функция, а голоморфный расширение, относительно z или же s, дан кем-то

${\displaystyle \Gamma (s,z)=\Gamma (s)-\gamma (s,z)}$ [17]

в точках (s, z), где правая часть существует. С ${\displaystyle \gamma }$ многозначна, то же верно и для ${\displaystyle \Gamma }$, но ограничение на главные значения дает только однозначную главную ветвь ${\displaystyle \Gamma }$.

Когда s является неположительным целым числом в приведенном выше уравнении, ни одна из частей разности не определена, и ограничивающий процесс, здесь разработан для s → 0, заполняет недостающие значения. Комплексный анализ гарантии голоморфность, потому что ${\displaystyle \Gamma (s,z)}$ оказывается ограниченный в район этого лимита для фиксированного z[18].

Чтобы определить предел, степенной ряд ${\displaystyle \gamma ^{*}}$ в z = 0 оказывается полезным. При замене ${\displaystyle e^{-x}}$ своим степенным рядом в интегральном определении ${\displaystyle \gamma }$, получаем (предположим Икс,s положительные реалы пока):

${\displaystyle \gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}e^{-t}\operatorname {d} t=\int _{0}^{x}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,{\frac {t^{s+k-1}}{k!}}\operatorname {d} t=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,{\frac {x^{s+k}}{k!(s+k)}}=x^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!(s+k)}}}$

или же

${\displaystyle \gamma ^{*}(s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!\,\Gamma (s)(s+k)}}.}$ [19]

который, как представление всей совокупности ${\displaystyle \gamma ^{*}}$ функция, сходится для всех сложных Икс (и все сложные s не целое неположительное число).

С снятием ограничения на реальные значения, серия допускает расширение:

${\displaystyle \gamma (s,z)-{\frac {1}{s}}=-{\frac {1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k!(s+k)}}={\frac {z^{s}-1}{s}}+z^{s}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k!(s+k)}},\quad \Re (s)>-1,\,s\neq 0.}$

Когда s → 0:

${\displaystyle {\frac {z^{s}-1}{s}}\rightarrow \ln(z),\quad \Gamma (s)-{\frac {1}{s}}={\frac {1}{s}}-\gamma +O(s)-{\frac {1}{s}}\rightarrow -\gamma }$,^[4]

(${\displaystyle \gamma }$ это Константа Эйлера – Маскерони здесь), следовательно,

${\displaystyle \Gamma (0,z)=\lim _{s\rightarrow 0}\left(\Gamma (s)-{\tfrac {1}{s}}-(\gamma (s,z)-{\tfrac {1}{s}})\right)=-\gamma -\ln(z)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-z)^{k}}{k\,(k!)}}}$

- функция, ограничивающая верхнюю неполную гамма-функцию как s → 0, также известный как экспоненциальный интеграл ${\displaystyle E_{1}(z)}$.^[5]

Посредством рекуррентного соотношения значения ${\displaystyle \Gamma (-n,z)}$ для положительных целых чисел п можно вывести из этого результата,^[6]

${\displaystyle \Gamma (-n,z)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {e^{-z}}{z^{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}(n-k-1)!\,z^{k}+(-1)^{n}\Gamma (0,z)\right)}$

таким образом, верхняя неполная гамма-функция оказывается существующей и голоморфной по отношению как к z и s, для всех s и z ≠ 0.

${\displaystyle \Gamma (s,z)}$ является:

• весь в z для фиксированного положительного интеграла s;
• многозначный голоморфный в z для фиксированного s ненулевое и не положительное целое число, с точка разветвления в z = 0;
• = ${\displaystyle \Gamma (s)}$ за s с положительной реальной частью и z = 0 (предел при ${\displaystyle (s_{i},z_{i})\rightarrow (s,0)}$), но это непрерывное расширение, а не аналитический (не справедливы для действительных s <0!);
• на каждой ветке весь в s для фиксированного z ≠ 0.

Особые ценности

• ${\displaystyle \Gamma (s+1,1)={\frac {\lfloor es!\rfloor }{e}}}$ если s положительный целое число,
• ${\displaystyle \Gamma (s,x)=(s-1)!\,e^{-x}\sum _{k=0}^{s-1}{\frac {x^{k}}{k!}}}$ если s положительный целое число,^[7]
• ${\displaystyle \Gamma (s,0)=\Gamma (s),\Re (s)>0}$,
• ${\displaystyle \Gamma (1,x)=e^{-x}}$,
• ${\displaystyle \gamma (1,x)=1-e^{-x}}$,
• ${\displaystyle \Gamma (0,x)=-\operatorname {Ei} (-x)}$ за ${\displaystyle x>0}$,
• ${\displaystyle \Gamma (s,x)=x^{s}\operatorname {E} _{1-s}(x)}$,
• ${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {x}}\right)}$,
• ${\displaystyle \gamma \left({\tfrac {1}{2}},x\right)={\sqrt {\pi }}\operatorname {erf} \left({\sqrt {x}}\right)}$.

Здесь, ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$ это экспоненциальный интеграл, ${\displaystyle \operatorname {E} _{n}}$ это обобщенный экспоненциальный интеграл, ${\displaystyle \operatorname {erf} }$ это функция ошибки, и ${\displaystyle \operatorname {erfc} }$ это дополнительная функция ошибок, ${\displaystyle \operatorname {erfc} (x)=1-\operatorname {erf} (x)}$.

Асимптотическое поведение

• ${\displaystyle {\frac {\gamma (s,x)}{x^{s}}}\rightarrow {\frac {1}{s}}}$ в качестве ${\displaystyle x\rightarrow 0}$,
• ${\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s}}}\rightarrow -{\frac {1}{s}}}$ в качестве ${\displaystyle x\rightarrow 0}$ и ${\displaystyle \Re (s)<0}$ (серьезно s, ошибка Γ (s, Икс) ~ −Икс^s / s находится в порядке О(Икс^{min {s + 1, 0}}) если s ≠ −1 и О(ln (Икс)) если s = −1),
• ${\displaystyle \gamma (s,x)\rightarrow \Gamma (s)}$ в качестве ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$,
• ${\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s-1}e^{-x}}}\rightarrow 1}$ в качестве ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$,
• ${\displaystyle \Gamma (s,z)\sim z^{s-1}e^{-z}\sum _{k=0}{\frac {\Gamma (s)}{\Gamma (s-k)}}z^{-k}}$ как асимптотический ряд куда ${\displaystyle |z|\to \infty }$ и ${\displaystyle \left|\arg z\right|<{\tfrac {3}{2}}\pi }$.^[8]

Формулы оценки

Нижнюю гамма-функцию можно оценить с помощью разложения степенного ряда: [20]

${\displaystyle \gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{s}e^{-z}z^{k}}{s(s+1)...(s+k)}}=z^{s}e^{-z}\sum _{k=0}^{\infty }{\dfrac {z^{k}}{s^{\overline {k+1}}}}}$

куда ${\displaystyle s^{\overline {k+1}}}$это Символ Поххаммера.

Альтернативное расширение

${\displaystyle \gamma (s,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}{\frac {z^{s+k}}{s+k}}={\frac {z^{s}}{s}}M(s,s+1,-z),}$

куда M Куммера конфлюэнтная гипергеометрическая функция.

Связь с конфлюэнтной гипергеометрической функцией Куммера

Когда настоящая часть z положительный,

${\displaystyle \gamma (s,z)=s^{-1}z^{s}e^{-z}M(1,s+1,z)}$

куда

${\displaystyle M(1,s+1,z)=1+{\frac {z}{(s+1)}}+{\frac {z^{2}}{(s+1)(s+2)}}+{\frac {z^{3}}{(s+1)(s+2)(s+3)}}+\cdots }$

имеет бесконечный радиус сходимости.

Снова с конфлюэнтные гипергеометрические функции и используя личность Куммера,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s,z)&=e^{-z}U(1-s,1-s,z)={\frac {z^{s}e^{-z}}{\Gamma (1-s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-u}}{u^{s}(z+u)}}{\rm {d}}u=\\&=e^{-z}z^{s}U(1,1+s,z)=e^{-z}\int _{0}^{\infty }e^{-u}(z+u)^{s-1}{\rm {d}}u=e^{-z}z^{s}\int _{0}^{\infty }e^{-zu}(1+u)^{s-1}{\rm {d}}u.\end{aligned}}}$

Для фактического вычисления числовых значений, Непрерывная дробь Гаусса предоставляет полезное расширение:

${\displaystyle \gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{s-{\cfrac {sz}{s+1+{\cfrac {z}{s+2-{\cfrac {(s+1)z}{s+3+{\cfrac {2z}{s+4-{\cfrac {(s+2)z}{s+5+{\cfrac {3z}{s+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$

Эта цепная дробь сходится для всех сложных zпри условии, что s не является отрицательным целым числом.

Верхняя гамма-функция имеет непрерывную дробь

${\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{z+{\cfrac {1-s}{1+{\cfrac {1}{z+{\cfrac {2-s}{1+{\cfrac {2}{z+{\cfrac {3-s}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}$^[9]

и

${\displaystyle \Gamma (s,z)={\cfrac {z^{s}e^{-z}}{1+z-s+{\cfrac {s-1}{3+z-s+{\cfrac {2(s-2)}{5+z-s+{\cfrac {3(s-3)}{7+z-s+{\cfrac {4(s-4)}{9+z-s+\ddots }}}}}}}}}}}$^{[нужна цитата ]}

Теорема умножения

Следующее теорема умножения Справедливо:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s,z)&={\frac {1}{t^{s}}}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}\Gamma (s+i,tz)\\&=\Gamma (s,tz)-(tz)^{s}e^{-tz}\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{i}}{i}}L_{i-1}^{(s-i)}(tz).\end{aligned}}}$

Программная реализация

Неполные гамма-функции доступны в различных системы компьютерной алгебры.

Однако, даже если они недоступны напрямую, неполные значения функций можно вычислить с помощью функций, обычно включенных в электронные таблицы (и пакеты компьютерной алгебры). В Excel, например, их можно рассчитать с помощью Гамма-функция в сочетании с Гамма-распределение функция.

Нижняя неполная функция: ${\displaystyle \gamma (s,x)}$ = EXP (ГАММАЛЬН (ы)) * ГАММАРАСП (x; s; 1; ИСТИНА)

Верхняя неполная функция: ${\displaystyle \Gamma (s,x)}$ = EXP (ГАММАЛЬН (ы)) * (1-ГАММАРАСП (x; s; 1; ИСТИНА)).

Это следует из определения Кумулятивная функция распределения гамма-распределения.

Регуляризованные гамма-функции и случайные величины Пуассона

Две связанные функции - это регуляризованные гамма-функции:

${\displaystyle P(s,x)={\frac {\gamma (s,x)}{\Gamma (s)}},}$

${\displaystyle Q(s,x)={\frac {\Gamma (s,x)}{\Gamma (s)}}=1-P(s,x).}$

${\displaystyle P(s,x)}$ это кумулятивная функция распределения за Гамма случайные величины с параметр формы ${\displaystyle s}$ и параметр масштаба 1.

Когда ${\displaystyle s}$ целое число, ${\displaystyle Q(s,\lambda )}$ - кумулятивная функция распределения для Пуассоновские случайные величины: Если ${\displaystyle X}$ это ${\displaystyle {\rm {Poi}}(\lambda )}$ случайная величина тогда

${\displaystyle Pr(X<s)=\sum _{i<s}e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}={\frac {\Gamma (s,\lambda )}{\Gamma (s)}}=Q(s,\lambda ).}$

Эта формула может быть получена путем многократного интегрирования по частям.

Производные

Используя приведенное выше интегральное представление, производная верхней неполной гамма-функции ${\displaystyle \Gamma (s,x)}$ относительно Икс является

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial x}}=-x^{s-1}e^{-x}}$

Производная по первому аргументу ${\displaystyle s}$ дан кем-то^[10]

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial s}}=\ln x\Gamma (s,x)+x\,T(3,s,x)}$

а вторую производную по

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Gamma (s,x)}{\partial s^{2}}}=\ln ^{2}x\Gamma (s,x)+2x[\ln x\,T(3,s,x)+T(4,s,x)]}$

где функция ${\displaystyle T(m,s,x)}$ это частный случай G-функция Мейера

${\displaystyle T(m,s,x)=G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,0,\dots ,0\\s-1,-1,\dots ,-1\end{matrix}}\;\right|\,x\right).}$

Этот особый случай имеет внутренние закрытие собственные свойства, потому что его можно использовать для выражения все последовательные производные. В целом,

${\displaystyle {\frac {\partial ^{m}\Gamma (s,x)}{\partial s^{m}}}=\ln ^{m}x\Gamma (s,x)+mx\,\sum _{n=0}^{m-1}P_{n}^{m-1}\ln ^{m-n-1}x\,T(3+n,s,x)}$

куда ${\displaystyle P_{j}^{n}}$ это перестановка определяется Символ Поххаммера:

${\displaystyle P_{j}^{n}=\left({\begin{array}{l}n\\j\end{array}}\right)j!={\frac {n!}{(n-j)!}}.}$

Все такие производные можно последовательно генерировать из:

${\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial s}}=\ln x~T(m,s,x)+(m-1)T(m+1,s,x)}$

и

${\displaystyle {\frac {\partial T(m,s,x)}{\partial x}}=-{\frac {1}{x}}[T(m-1,s,x)+T(m,s,x)]}$

Эта функция ${\displaystyle T(m,s,x)}$ можно вычислить из его представления в виде ряда, действительного для ${\displaystyle |z|<1}$,

${\displaystyle T(m,s,z)=-{\frac {(-1)^{m-1}}{(m-2)!}}{\frac {{\rm {d}}^{m-2}}{{\rm {d}}t^{m-2}}}\left[\Gamma (s-t)z^{t-1}\right]{\Big |}_{t=0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{s-1+n}}{n!(-s-n)^{m-1}}}}$

с пониманием того, что s не является отрицательным целым числом или нулем. В таком случае необходимо использовать лимит. Результаты для ${\displaystyle |z|\geq 1}$ можно получить аналитическое продолжение. Некоторые частные случаи этой функции можно упростить. Например, ${\displaystyle T(2,s,x)=\Gamma (s,x)/x}$, ${\displaystyle x\,T(3,1,x)={\rm {E}}_{1}(x)}$, куда ${\displaystyle {\rm {E}}_{1}(x)}$ это Экспоненциальный интеграл. Эти производные и функция ${\displaystyle T(m,s,x)}$ обеспечивают точные решения ряда интегралов путем повторного дифференцирования интегрального определения верхней неполной гамма-функции.^[11][12]Например,

${\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}\ln ^{m}t}{e^{t}}}{\rm {d}}t={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\int _{x}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{t}}}{\rm {d}}t={\frac {\partial ^{m}}{\partial s^{m}}}\Gamma (s,x)}$

Эту формулу можно продолжить надутый или обобщить на огромный класс Преобразования Лапласа и Меллин трансформируется. В сочетании с система компьютерной алгебры, использование специальных функций обеспечивает мощный метод решения определенных интегралов, в частности тех, которые встречаются в практических инженерных приложениях (см. Символическая интеграция Больше подробностей).

Неопределенные и определенные интегралы

Следующие неопределенные интегралы легко получить, используя интеграция по частям (с постоянная интеграции опущено в обоих случаях):

${\displaystyle \int x^{b-1}\gamma (s,x)\mathrm {d} x={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\gamma (s,x)-\gamma (s+b,x)\right),}$

${\displaystyle \int x^{b-1}\Gamma (s,x)\mathrm {d} x={\frac {1}{b}}\left(x^{b}\Gamma (s,x)-\Gamma (s+b,x)\right).}$

Нижняя и верхняя неполные гамма-функции связаны через преобразование Фурье:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma \left({\frac {s}{2}},z^{2}\pi \right)}{(z^{2}\pi )^{\frac {s}{2}}}}e^{-2\pi ikz}\mathrm {d} z={\frac {\Gamma \left({\frac {1-s}{2}},k^{2}\pi \right)}{(k^{2}\pi )^{\frac {1-s}{2}}}}.}$

Это следует, например, за счет подходящей специализации (Градштейн и Рыжик 2015, §7.642) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFGradshteynRyzhik2015 (помощь).

Примечания

1. DLMF, Неполные гамма-функции, аналитическое продолжение
2. «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2011-05-16. Получено 2011-04-23. Теорема 3.9 на с. 56
3. «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2011-05-16. Получено 2011-04-23. Теорема 3.9 на с. 56
4. см. последнюю ур.
5. http://dlmf.nist.gov/8.4.E4
6. http://dlmf.nist.gov/8.4.E15
7. Вайсштейн, Эрик В. «Неполная гамма-функция». MathWorld. (уравнение 2)
8. DLMF, Неполные гамма-функции, 8.11 (i)
9. Абрамовиц и Стегун п. 263, 6.5.31
10. К.О. Геддес, М.Л. Глассер, Р.А. Мур и Т. Скотт, Вычисление классов определенных интегралов, содержащих элементарные функции, посредством дифференцирования специальных функций, AAECC (Применимая алгебра в технике, коммуникациях и вычислениях), т. 1. (1990), стр. 149–165, [1]
11. Милгрэм, М.С. Милгрэм (1985). «Обобщенная интегро-экспоненциальная функция». Математика. Comp. 44 (170): 443–458. Дои:10.1090 / S0025-5718-1985-0777276-4. МИСТЕР  0777276.
12. Матар (2009). «Числовая оценка колебательного интеграла по exp (i * pi * x) * x ^ (1 / x) от 1 до бесконечности». arXiv:0912.3844 [math.CA ]., Приложение Б

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 6.5». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. МИСТЕР  0167642. LCCN  65-12253. «Неполная гамма-функция». §6.5.
• Алласия, Джампьетро; Безенги, Рената (1986). «Численный расчет неполных гамма-функций по правилу трапеций». Нумер. Математика. 50 (4): 419–428. Дои:10.1007 / BF01396662. S2CID  121964300.
• Аморе, Паоло (2005). «Асимптотические и точные представления в виде ряда для неполной гамма-функции». Europhys. Латыш. 71 (1): 1–7. arXiv:math-ph / 0501019. Bibcode:2005ЭЛ ..... 71 .... 1А. Дои:10.1209 / epl / i2005-10066-6. МИСТЕР  2170316. S2CID  1921569.
• Г. Арфкен и Х. Вебер. Математические методы для физиков. Харкорт / Академик Пресс, 2000. (См. Главу 10.)
• ДиДонато, Армидо Р .; Моррис-младший, Альфред Х. (декабрь 1986 г.). «Вычисление отношений неполных гамма-функций и их обратных». Транзакции ACM на математическом ПО. 12 (4): 377–393. Дои:10.1145/22721.23109. S2CID  14351930.
• Баракат, Ричард (1961). «Оценка неполной гамма-функции мнимого аргумента полиномами Чебышева». Математика. Comp. 15 (73): 7–11. Дои:10.1090 / s0025-5718-1961-0128058-1. МИСТЕР  0128058.
• Царский Петр; Поласек, Мартин (1998). "Неполная гамма F_m (х) функции для вещественных и сложных аргументов ". J. Comput. Phys. 143 (1): 259–265. Bibcode:1998JCoPh.143..259C. Дои:10.1006 / jcph.1998.5975. МИСТЕР  1624704.
• Чаудри, М. Аслам; Зубайр, С. М. (1995). «О разложении обобщенных неполных гамма-функций с приложениями к преобразованиям Фурье». J. Comput. Appl. Математика. 59 (101): 253–284. Дои:10.1016 / 0377-0427 (94) 00026-з. МИСТЕР  1346414.
• ДиДонато, Армидо Р .; Моррис-младший, Альфред Х. (сентябрь 1987 г.). «АЛГОРИТМ 654: подпрограммы FORTRAN для вычисления неполных соотношений гамма-функций и их обратных». Транзакции ACM на математическом ПО. 13 (3): 318–319. Дои:10.1145/29380.214348. S2CID  19902932. (Смотрите также www.netlib.org/toms/654 ).
• Früchtl, H .; Отто, П. (1994). «Новый алгоритм для оценки неполной гамма-функции на векторных компьютерах». ACM Trans. Математика. Softw. 20 (4): 436–446. Дои:10.1145/198429.198432. S2CID  16737306.
• Гаучи, Уолтер (1998). «Неполная гамма-функция времен Трикоми». Atti Convegni Lincei. 147: 203–237. МИСТЕР  1737497.
• Гаучи, Уолтер (1999). «Примечание о рекурсивном вычислении неполных гамма-функций». ACM Trans. Математика. Softw. 25 (1): 101–107. Дои:10.1145/305658.305717. МИСТЕР  1697463. S2CID  36469885.
• Градштейн Израиль Соломонович; Рыжик Иосиф Моисеевич; Геронимус Юрий Вениаминович; Цейтлин Михаил Юльевич; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014]. «8.35.». В Цвиллингере, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов. Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. С. 908–911. ISBN  978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.
• Джонс, Уильям Б .; Трон, В. Дж. (1985). «О вычислении неполных гамма-функций в комплексной области». J. Comput. Appl. Математика. 12-13: 401–417. Дои:10.1016/0377-0427(85)90034-2. МИСТЕР  0793971.
• «Неполная гамма-функция», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Матар, Ричард Дж. (2004). «Численное представление неполной гамма-функции комплексного аргумента». Численные алгоритмы. 36 (3): 247–264. arXiv:математика / 0306184. Bibcode:2004НуАлг..36..247М. Дои:10.1023 / B: NUMA.0000040063.91709.58. МИСТЕР  2091195. S2CID  30860614.
• Miller, Allen R .; Московиц, Ира С. (1998). «О некоторых обобщенных неполных гамма-функциях». J. Comput. Appl. Математика. 91 (2): 179–190. Дои:10.1016 / s0377-0427 (98) 00031-4.
• Пэрис, Р. Б. (2010), «Неполная гамма-функция», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248
• Пэрис, Р. Б. (2002). «Равномерное асимптотическое разложение для неполной гамма-функции». J. Comput. Appl. Математика. 148 (2): 323–339. Bibcode:2002JCoAM.148..323P. Дои:10.1016 / S0377-0427 (02) 00553-8. МИСТЕР  1936142.
• Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Раздел 6.2. Неполная гамма-функция и функция ошибок». Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-88068-8.
• Такенага, Рой (1966). «Об оценке неполной гамма-функции». Математика. Comp. 20 (96): 606–610. Дои:10.1090 / S0025-5718-1966-0203911-3. МИСТЕР  0203911.
• Темме, Нико (1975). «Равномерные асимптотические разложения неполных гамма-функций и неполных бета-функций». Математика. Comp. 29 (132): 1109–1114. Дои:10.1090 / S0025-5718-1975-0387674-2. МИСТЕР  0387674.
• Террас, Рихо (1979). «Определение неполных гамма-функций посредством аналитического интегрирования». J. Comput. Phys. 31 (1): 146–151. Bibcode:1979JCoPh..31..146T. Дои:10.1016/0021-9991(79)90066-4. МИСТЕР  0531128.
• Трикоми, Франческо Г. (1950). "Sulla funzione gamma incompleta". Анна. Мат. Pura Appl. 31: 263–279. Дои:10.1007 / BF02428264. МИСТЕР  0047834. S2CID  120404791.
• Трикоми, Ф. Г. (1950). "Asymptotische Eigenschaften der unvollst. Гаммафункция". Математика. Z. 53 (2): 136–148. Дои:10.1007 / bf01162409. МИСТЕР  0045253. S2CID  121234109.
• ван Деун, Йорис; Охлаждает, Рональд (2006). «Устойчивое повторение неполной гамма-функции с мнимым вторым аргументом». Нумер. Математика. 104 (4): 445–456. Дои:10.1007 / s00211-006-0026-1. МИСТЕР  2249673. S2CID  43780150.
• Виницки, Серж (2003). «Вычисление неполной гамма-функции с произвольной точностью». Лект. Нет. Комп. Наука. Конспект лекций по информатике. 2667: 790–798. Дои:10.1007 / 3-540-44839-x_83. ISBN  978-3-540-40155-1. МИСТЕР  2110953.
• Вайсштейн, Эрик В. «Неполная гамма-функция». MathWorld.

внешняя ссылка

• ${\displaystyle P(a,x)}$ — Калькулятор регуляризованной нижней неполной гамма-функции
• ${\displaystyle Q(a,x)}$ — Калькулятор регулярной верхней неполной гамма-функции
• ${\displaystyle \gamma (a,x)}$ — Калькулятор нижней неполной гамма-функции
• ${\displaystyle \Gamma (a,x)}$ — Калькулятор неполной верхней гамма-функции
• формулы и тождества неполной гамма-функции functions.wolfram.com