Символическая интеграция - Symbolic integration

В исчисление, символическая интеграция проблема нахождения формулы для первообразный, или неопределенный интеграл, из данного функция ж(Икс), т.е. найти дифференцируемая функция F(Икс) такие, что

${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}=f(x).}$

Это также обозначается

${\displaystyle F(x)=\int f(x)\,dx.}$

Обсуждение

Период, термин символический используется, чтобы отличить эту проблему от проблемы численное интегрирование, где значение F ищется на конкретном входе или наборе входов, а не в общей формуле для F.

Обе проблемы имели практическое и теоретическое значение задолго до появления цифровых компьютеров, но теперь они обычно считаются областью Информатика, так как в настоящее время компьютеры чаще всего используются для решения отдельных задач.

Нахождение производной выражения - простой процесс, для которого легко построить алгоритм. Обратный вопрос нахождения интеграла намного сложнее. Многие относительно простые выражения не имеют интегралов, которые можно выразить через закрытая форма. Увидеть первообразный и неэлементарный интеграл Больше подробностей.

Процедура, называемая Алгоритм риша существует, который может определить, является ли интеграл элементарная функция (функция построена из конечного числа экспоненты, логарифмы, константы, и энные корни через сочинение и комбинации с использованием четырех элементарные операции ) является элементарным и возвращает его, если это так. В исходном виде алгоритм Риша не подходил для прямой реализации, и его полная реализация заняла много времени. Впервые он был реализован в Уменьшить в случае чисто трансцендентных функций; случай чисто алгебраических функций был решен и реализован в Reduce с помощью Джеймс Х. Давенпорт; общий случай был решен и реализован в Аксиома Мануэля Бронштейна.

Однако алгоритм Риша применим только к неопределенный интегралы и большинство интегралов, представляющих интерес для физиков, химиков-теоретиков и инженеров, являются определенный интегралы, часто связанные с Преобразования Лапласа, Преобразования Фурье и Меллин трансформируется. Не имея общего алгоритма, разработчики системы компьютерной алгебры, реализовали эвристика на основе сопоставления с образцом и использования специальных функций, в частности неполная гамма-функция.^[1] Хотя этот подход является скорее эвристическим, чем алгоритмическим, он, тем не менее, является эффективным методом решения многих определенных интегралов, с которыми сталкиваются практические инженерные приложения. Более ранние системы, такие как Macsyma имел несколько определенных интегралов, связанных со специальными функциями в таблице поиска. Однако именно этот метод, предполагающий дифференцирование специальных функций по параметрам, преобразование переменных, сопоставление с образцом и другие манипуляции, впервые были предложены разработчиками Клен^[2] система, затем эмулированная Mathematica, Аксиома, MuPAD и другие системы.

Последние достижения

Основная проблема классического подхода к символической интеграции состоит в том, что если функция представлена ​​в закрытая форма, то в целом его первообразный не имеет аналогичного представления. Другими словами, класс функций, которые можно представить в замкнутом виде, не является закрыто под антидериватизацией.

Голономные функции представляют собой большой класс функций, закрытый по принципу антидеривации и позволяющий алгоритмически реализовывать на компьютерах интеграцию и многие другие операции исчисления.

Точнее, голономная функция - это решение однородной линейное дифференциальное уравнение с полиномиальными коэффициентами. Голономные функции замкнуты относительно сложения и умножения, вывода и первообразного. Они включают алгебраические функции, экспоненциальная функция, логарифм, синус, косинус, обратные тригонометрические функции, обратные гиперболические функции.Они также включают наиболее распространенные специальные функции, такие как Функция Эйри, функция ошибки, Функции Бесселя и все гипергеометрические функции.

Фундаментальное свойство голономных функций состоит в том, что их коэффициенты Серия Тейлор в любой точке удовлетворяют линейному отношение повторения с полиномиальными коэффициентами, и что это рекуррентное соотношение может быть вычислено из дифференциального уравнения, определяющего функцию. Наоборот, при таком рекуррентном соотношении между коэффициентами степенной ряд, этот степенной ряд определяет голономную функцию, дифференциальное уравнение которой может быть вычислено алгоритмически. Это рекуррентное соотношение позволяет быстро вычислить ряд Тейлора и, следовательно, значение функции в любой точке с произвольной небольшой сертифицированной ошибкой.

Это делает алгоритмическими большинство операций исчисление, при ограничении голономными функциями, представленными их дифференциальным уравнением и начальными условиями. Это включает в себя вычисление первообразных и определенные интегралы (это равносильно оценке первообразной в конечных точках интервала интегрирования). Это включает также вычисление асимптотическое поведение функции на бесконечности и, следовательно, определенные интегралы на неограниченных интервалах.

Все эти операции реализованы в альголиб библиотека для Клен.^[3]См. Также Динамический словарь математических функций.^[4]

пример

Например:

${\displaystyle \int x^{2}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}+C}$

является символическим результатом для неопределенного интеграла (здесь C - постоянная интеграции ),

${\displaystyle \int _{-1}^{1}x^{2}\,dx=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{-1}^{1}={\frac {1^{3}}{3}}-{\frac {(-1)^{3}}{3}}={\frac {2}{3}}}$

является символическим результатом для определенного интеграла, а

${\displaystyle \int _{-1}^{1}x^{2}\,dx\approx 0.6667}$

является численным результатом для того же определенного интеграла.

Смотрите также

• Определенный интеграл
• Элементарная функция
• Неопределенный интеграл
• Оперативный расчет
• Алгоритм риша
• Символическое вычисление

использованная литература

1. К.О. Геддес, М.Л. Глассер, Р.А. Мур и Т. Скотт, Вычисление классов определенных интегралов, содержащих элементарные функции, посредством дифференцирования специальных функций, AAECC (Применимая алгебра в технике, коммуникациях и вычислениях), т. 1. (1990), стр. 149–165, [1]
2. К.О. Геддес и Т. Скотт, Рецепты для классов определенных интегралов, содержащих экспоненты и логарифмы, Труды конференции по компьютерам и математике 1989 г. (проходившей в Массачусетском технологическом институте 12 июня 1989 г.), под редакцией Э. Кальтофена и С.М. Watt, Springer-Verlag, New York, (1989), стр. 192–201. [2]
3. http://algo.inria.fr/libraries/ альголиб
4. http://ddmf.msr-inria.inria.fr Динамический словарь математических функций

• Бронштейн, Мануэль (1997), Символическая интеграция 1 (трансцендентные функции) (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  3-540-60521-5
• Моисей, Иоиль (23–25 марта 1971 г.), «Символическая интеграция: бурное десятилетие», Труды второго симпозиума ACM по символическим и алгебраическим манипуляциям, Лос-Анджелес, Калифорния: 427–440

внешние ссылки

• Бхатт, Бхуванеш. «Алгоритм Риша». MathWorld.
• Вольфрам Интегратор - Бесплатная символьная онлайн-интеграция с Mathematica