Оперативный расчет - Operational calculus - Wikipedia

Оперативный расчет, также известный как оперативный анализ, это метод, с помощью которого проблемы в анализ, особенно дифференциальные уравнения, превращаются в алгебраические задачи, обычно в задачу решения полиномиальное уравнение.

История

Идея представления процессов исчисления, дифференцирования и интегрирования в виде операторов имеет долгую историю, восходящую к Готфрид Вильгельм Лейбниц. Математик Луи Франсуа Антуан Арбогаст был одним из первых, кто манипулировал этими символами независимо от функции, к которой они были применены.^[1]

Этот подход получил дальнейшее развитие Франсуа-Жозеф Сервуа кто разработал удобные обозначения.^[2] За Сервуа последовала школа британских и ирландских математиков, в том числе Чарльз Джеймс Харгрив, Джордж Буль, Боунин, Кармайкл, Дукин, Грейвз, Мерфи, Уильям Споттисвуд и Сильвестр.

Трактаты, описывающие применение операторных методов к обыкновенным уравнениям и уравнениям в частных производных, были написаны Робертом Беллом Кармайклом в 1855 году.^[3] и Булем в 1859 г.^[4]

Этот метод был полностью разработан физиком. Оливер Хевисайд в 1893 г., в связи с его работой в телеграфия.

В значительной степени руководствуясь интуицией и своими обширными познаниями в области физики, лежащими в основе его исследований схем, [Хевисайд] разработал операционное исчисление, которое теперь приписывается его имени.^[5]

В то время методы Хевисайда не были строгими, и его работа не получила дальнейшего развития математиками. Операционное исчисление впервые нашло применение в электротехника задач, для расчета переходных процессов в линейные цепи после 1910 г., под влиянием Эрнст Юлиус Берг, Джон Реншоу Карсон и Ванневар Буш.

Строгое математическое обоснование операционных методов Хевисайда пришло только после работ Бромвич что связанное операционное исчисление с Преобразование Лапласа методы (подробное изложение см. в книгах Джеффриса, Карслоу или Маклахлана). Другие способы оправдания операционных методов Хевисайда были введены в середине 1920-х годов с использованием интегральное уравнение техники (как это сделал Карсон) или Преобразование Фурье (как сделано Норберт Винер ).

Другой подход к операционному исчислению был разработан в 1930-х годах польским математиком Ян Микусиньски, используя алгебраические рассуждения.

Норберт Винер заложил основы теория операторов в своем обзоре экзистенциального статуса операционного исчисления в 1926 году:^[6]

Блестящая работа Хевисайда носит чисто эвристический характер, лишенный даже претензии на математическую строгость. Его операторы применяются к электрическим напряжениям и токам, которые могут быть прерывистыми и, конечно, не обязательно должны быть аналитическими. Например, любимый корпус гнусный на котором он пробует своих операторов, функция которая равна нулю слева от начала координат и равна 1 справа. Это исключает прямое применение методов Пинчерле…

Хотя разработки Хевисайда не были оправданы нынешним состоянием чисто математической теории операторов, существует много того, что мы можем назвать экспериментальным доказательством их достоверности, и они очень ценны для ученых. инженеры-электрики. Однако есть случаи, когда они приводят к неоднозначным или противоречивым результатам.

Принцип

Ключевым элементом операционного исчисления является учет дифференциация как оператор p = d/dт действующий на функции. Затем линейные дифференциальные уравнения можно преобразовать в форму «функций» F(п) оператора p, действующего на неизвестную функцию, равную известной функции. Здесь, F определяет что-то, что принимает оператор p и возвращает другой оператор F(п). Затем решения получаются обращением оператора, обратного к F действовать по известной функции. Операционное исчисление обычно обозначается двумя символами: оператором p и функция единицы 1. Используемый оператор, вероятно, больше математический, чем физический, а функция единицы - более физическая, чем математическая. Оператор p в исчислении Хевисайда изначально должен представлять дифференциатор времени d/dт. Далее, желательно, чтобы этот оператор имел обратную связь, такую, что p⁻¹ обозначает операцию интегрирования.^[5]

В теории электрических цепей пытаются определить реакцию электрическая цепь к импульсу. В силу линейности достаточно рассмотреть единичный шаг:

Ступенчатая функция Хевисайда: ЧАС(т) такой, что ЧАС(т) = 0, если т <0 и ЧАС(т) = 1, если т > 0.

Простейший пример применения операционного исчисления - решение: пу = ЧАС(т), который дает

${\displaystyle y=\operatorname {p} ^{-1}H=\int _{0}^{t}H(u)\operatorname {d} u=t\ H(t)}$.

Из этого примера видно, что ${\displaystyle \operatorname {p} ^{-1}}$ представляет интеграция. более того п повторные интеграции представлены ${\displaystyle \operatorname {p} ^{-n},}$ так что

${\displaystyle \operatorname {p} ^{-n}H(t)={\frac {t^{n}}{n!}}H(t).}$

Продолжая рассматривать p как переменную,

${\displaystyle {\frac {\operatorname {p} }{\ \operatorname {p} -a\ }}H(t)={\frac {1}{\ 1-{\frac {a}{\operatorname {p} }}\ }}\ H(t),}$

который можно переписать, используя геометрическая серия расширение,

${\displaystyle {\frac {1}{1-{\frac {a}{\operatorname {p} }}}}H(t)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\operatorname {p} ^{-n}H(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{n}t^{n}}{n!}}H(t)=e^{at}H(t)}$.

С помощью частичная дробь декомпозиции, можно определить любую дробь в операторе p и вычислить ее действие на ЧАС(т) . Более того, если функция 1 /F(p) имеет разложение в ряд вида

${\displaystyle {\frac {1}{\ F(\operatorname {p} )\ }}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\operatorname {p} ^{-n}}$,

легко найти

${\displaystyle {\frac {1}{\ F(\operatorname {p} )\ }}H(t)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}H(t)}$.

Применяя это правило, решение любого линейного дифференциального уравнения сводится к чисто алгебраической задаче.

Хевисайд пошел дальше и определил дробную степень p, тем самым установив связь между операционным исчислением и дробное исчисление.

С использованием Расширение Тейлора, можно также проверить булевость Лагранжа формула перевода, е^{а п} ж(т) = ж(т+а), поэтому операционное исчисление применимо и к конечным разностные уравнения и к проблемам электротехники с задержанными сигналами.

Рекомендации

1. Луи Арбогаст (1800) Du Calcul des Derivations, ссылка из Google Книги
2. Франсуа-Жозеф Сервуа (1814) Анализируйте Transcendante. Essai sur unNouveu Mode d'Exposition des Principes der Calcul Differential, Annales de Gergonne 5: 93–140
3. Роберт Белл Кармайкл (1855) Трактат по исчислению операций, Longman, ссылка из Google Книг
4. Джордж Буль (1859) Трактат о дифференциальных уравнениях, главы 16 и 17: Символические методы, ссылка на HathiTrust
5. Б. Л. Робертсон (1935) Оперативный метод анализа схем, Труды Американского института инженеров-электриков 54 (10): 1035–45, ссылка с IEEE Исследовать
6. Норберт Винер (1926) Оперативный расчет, Mathematische Annalen 95: 557, ссылка из Göttingen Digitalisierungszentrum

• Теркем и Джероно (1855) Nouvelles Annales de Mathematiques: журнал кандидатур aux écoles polytechnique et normale 14, 83 [Некоторые исторические ссылки на предшественник работы Кармайкла].
• О. Хевисайд (1892) Электротехнические документы, Лондон
• О. Хевисайд (1893, 1899, 1902) Электромагнитная теория, Лондон
• О. Хевисайд (1893) Proc. Рой. Soc. (Лондон) 52: 504-529, 54: 105-143 (1894)
• Дж. Р. Карсон (1926) Бык. Амер. Математика. Soc. 32, 43.
• Дж. Р. Карсон (1926) Теория электрических цепей и операционный расчет, Макгроу Хилл).
• Х. Джеффрис (1927) Операционные методы математической физики Cambridge University Press, также на Интернет-архив
• Х. В. Марч (1927) Бык. Амер. Математика. Soc. 33, 311, 33, 492 .
• Эрнст Берг (1929) Оперативный расчет Хевисайда, МакГроу Хилл через Интернет-архив
• Ванневар Буш (1929) Анализ рабочих цепей с приложением Норберт Винер, Джон Уайли и сыновья
• Х. Т. Дэвис (1936) Теория линейных операторов (Principia Press, Блумингтон).
• Н. В. Мак-Лахлан (1941) Современное операционное исчисление (Макмиллан).
• Х. С. Карслав (1941) Операционные методы в прикладной математике Oxford University Press.
• Бальтазар ван дер Поль И Х. Бреммер (1950) Оперативный расчет Издательство Кембриджского университета
• Б. ван дер Поль (1950) "Оперативный расчет Хевисайда" в Столетний том Хевисайда посредством Институт инженеров-электриков
• Р. В. Черчилль (1958) Оперативная математика Макгроу-Хилл
• Я. Микусинский (1960) Оперативный расчет Эльзевир
• Rota, G.C .; Kahaner, D .; Одлызко, А. (1973). «Об основах комбинаторной теории. VIII. Конечное операторное исчисление». Журнал математического анализа и приложений. 42 (3): 684. Дои:10.1016 / 0022-247X (73) 90172-8.
• Йеспер Лютцен (1979) «Операционное исчисление Хевисайда и попытки его строгости», Архив истории точных наук 21(2): 161–200 Дои:10.1007 / BF00330405
• Пол Дж. Нахин (1985) Оливер Хевисайд, дробные операторы и возраст Земли, IEEE Transactions по образованию E-28 (2): 94–104, ссылка с IEEE Исследовать.
• Джеймс Б. Калверт (2002) Хевисайд, Лаплас и инверсионный интеграл, из Денверский университет.

внешняя ссылка

• И. В. Линделл ПРАВИЛА ЭКСПЛУАТАЦИИ ДЛЯ ТЯЖЕЛЫХ РАБОТ, ПРИМЕНИМЫЕ К ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ЗАДАЧАМ
• Рон Дёрфлер Исчисление Хевисайда
• Эссе Джека Креншоу, показывающее использование операторов Подробнее о Розеттском камне