Интеграл секущей в кубе - Integral of secant cubed

В интеграл секущей в кубе частый и сложный^[1] неопределенный интеграл элементарного исчисление:

{displaystyle int sec ^ {3} x, dx = {frac {1} {2}} (sec x an x ​​+ ln left | sec x + an xight |) + C.}

Особого внимания заслуживает именно эта первообразная по ряду причин:

В этом простейшем случае полностью присутствует техника приведения интегралов от старших нечетных степеней секущей к младшим. Остальные случаи делаются таким же образом.
Полезность гиперболических функций при интегрировании может быть продемонстрирована в случаях нечетных степеней секанса (также могут быть включены касательные).
Это один из нескольких интегралов, обычно выполняемых в течение первого года курса математики, в котором наиболее естественный способ продолжить: интеграция по частям и возвращаясь к тому же интегралу, с которым начинался (другой - интеграл произведения экспоненциальная функция с функцией синуса или косинуса; еще один интеграл от мощности синусоидальной или косинусной функции).
Этот интеграл используется при вычислении любого интеграла вида

{displaystyle int {sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}}, dx,}

где

{displaystyle a}

является константой. В частности, это проявляется в проблемах:

исправление то парабола и Архимедова спираль
найти площадь поверхности из геликоид.

Производные

Интеграция по частям

Эта первообразный может быть найден интеграция по частям, следующим образом:^[2]

{displaystyle int sec ^ {3} x, dx = int u, dv = uv-int v, du}

где

{displaystyle u = sec x, quad dv = sec ^ {2} x, dx, quad v = an x, quad du = sec x an x, dx.}

потом

{displaystyle {egin {align} int sec ^ {3} x, dx & {} = int (sec x) (sec ^ {2} x), dx & {} = sec x an x-int an x, (sec x an x), dx & {} = sec x an x-int sec x an ^ {2} x, dx & {} = sec x an x-int sec x, (sec ^ {2} x-1 ), dx & {} = sec x an x-left (int sec ^ {3} x, dx-int sec x, dxight) & {} = sec x an x-int sec ^ {3} x, dx + int sec x, dx.end {выровнено}}}

Далее добавить ${displaystyle int sec ^ {3} x, dx}$ к обеим сторонам только что полученного равенства:^[а]

{displaystyle {egin {align} 2int sec ^ {3} x, dx & = sec x an x ​​+ int sec x, dx & = sec x an x ​​+ ln left | sec x + an xight | + C, end {выровнено} }}

учитывая, что интеграл секущей функции является ${displaystyle int sec x, dx = ln | sec x + an x | + C.}$ ^[2]

Наконец, разделите обе стороны на 2:

{displaystyle int sec ^ {3} x, dx = {frac {1} {2}} (sec x an x ​​+ ln left | sec x + an xight |) + C,}

который должен был быть получен.^[2]

Приведение к интегралу рациональной функции

{displaystyle int sec ^ {3} x, dx = int {frac {dx} {cos ^ {3} x}} = int {frac {cos x, dx} {cos ^ {4} x}} = int {frac {cos x, dx} {(1-sin ^ {2} x) ^ {2}}} = int {frac {du} {(1-u ^ {2}) ^ {2}}}}

где ${displaystyle u = sin x}$ , так что ${displaystyle du = cos x, dx}$ . Это допускает разложение по частичные фракции:

{displaystyle {frac {1} {(1-u ^ {2}) ^ {2}}} = {frac {1} {(1 + u) ^ {2} (1-u) ^ {2}}} = {frac {1/4} {1 + u}} + {frac {1/4} {(1 + u) ^ {2}}} + {frac {1/4} {1-u}} + { гидроразрыв {1/4} {(1-u) ^ {2}}}.}

Антидифференцируя посрочно, получаем

{displaystyle {egin {align} int sec ^ {3} x, dx & = {frac {1} {4}} ln | 1 + u | - {frac {1/4} {1 + u}} - {frac { 1} {4}} ln | 1-u | + {frac {1/4} {1-u}} + C [6pt] & = {frac {1} {4}} ln {Biggl |} {frac {1 + u} {1-u}} {Biggl |} + {frac {1} {2}} влево ({frac {u} {1-u ^ {2}}} ight) + C [6pt] & = {frac {1} {4}} ln {Biggl |} {frac {1 + sin x} {1-sin x}} {Biggl |} + {frac {1} {2}} left ({frac { sin x} {cos ^ {2} x}} ight) + C [6pt] & = {frac {1} {4}} ln left | {frac {1 + sin x} {1-sin x}} ight | + {frac {1} {2}} sec x an x ​​+ C [6pt] & = {frac {1} {4}} ln left | {frac {(1 + sin x) ^ {2}} { 1-sin ^ {2} x}} ight | + {frac {1} {2}} sec x an x ​​+ C [6pt] & = {frac {1} {4}} ln left | {frac {( 1 + sin x) ^ {2}} {cos ^ {2} x}} ight | + {frac {1} {2}} sec x an x ​​+ C [6pt] & = {frac {1} {4 }} ln left | {frac {1 + sin x} {cos x}} ight | ^ {2} + {frac {1} {2}} sec x an x ​​+ C [6pt] & = {frac {1 } {2}} слева | {frac {1 + sin x} {cos x}} ight | + {frac {1} {2}} sec x an x ​​+ C [6pt] & = {frac {1} {2}} (ln | sec x + an x ​​| + sec x an x) + C.end {выровнено}}}

Гиперболические функции

Интегралы вида: ${displaystyle int sec ^ {n} x an ^ {m} x, dx}$ может быть сокращено с использованием тождества Пифагора, если ${displaystyle n}$ даже или ${displaystyle n}$ и ${displaystyle m}$ оба странные. Если ${displaystyle n}$ это странно и ${displaystyle m}$ является четным, можно использовать гиперболические замены для замены вложенного интегрирования частями с формулами уменьшения гиперболической мощности.

{displaystyle {egin {align} sec x & {} = cosh u [6pt] an x ​​& {} = sh u [6pt] sec ^ {2} x, dx & {} = cosh u, du {ext {или}} sec x an x, dx = sh u, du [6pt] sec x, dx & {} =, du {ext {or}} dx = имя оператора {sech} u, du [6pt] u & {} = имя оператора {arcosh } (сек x) = имя оператора {arsinh} (an x) = ln | sec x + an x ​​| конец {выровнено}}}

Обратите внимание, что ${displaystyle int sec x, dx = ln | sec x + an x |}$ следует непосредственно из этой замены.

{displaystyle {egin {align} int sec ^ {3} x, dx & {} = int cosh ^ {2} u, du [6pt] & {} = {frac {1} {2}} int (cosh 2u + 1), du [6pt] & {} = {frac {1} {2}} left ({frac {1} {2}} sinh 2u + uight) + C [6pt] & {} = {frac { 1} {2}} (sh ucosh u + u) + C [6pt] & {} = {frac {1} {2}} (sec x an x ​​+ ln left | sec x + an xight |) + C конец {выровнен}}}

Высшие нечетные степени секанса

Подобно тому, как интегрирование по приведенным выше частям уменьшило интеграл секущей в кубе до интеграла секущей до первой степени, аналогичный процесс уменьшает интеграл от более высоких нечетных степеней секанса до более низких. Это формула сокращения секанса, которая следует синтаксису:

{displaystyle int sec ^ {n} x, dx = {frac {sec ^ {n-2} x an x} {n-1}}, +, {frac {n-2} {n-1}} int sec ^ {n-2} x, dxqquad {ext {(for}} neq 1 {ext {)}} ,!}

Альтернативно:

{displaystyle int sec ^ {n} x, dx = {frac {sec ^ {n-1} xsin x} {n-1}}, +, {frac {n-2} {n-1}} int sec ^ {n-2} x, dxqquad {ext {(for}} neq 1 {ext {)}} ,!}

Четные степени касательных могут быть согласованы с использованием биномиального разложения для формирования нечетного полинома секанса и использования этих формул для наибольшего члена и объединения подобных членов.

Смотрите также

Списки интегралов

Заметки

^ Константы интегрирования включаются в оставшийся интегральный член.

использованная литература

^ Спивак Михаил (2008). «Интеграция в элементарных понятиях». Исчисление. п.382. Это сложный и важный интеграл, который часто возникает.
^ ^а ^б ^c Стюарт, Джеймс (2012). «Раздел 7.2: Тригонометрические интегралы». Исчисление - Ранние трансценденталы. США: Cengage Learning. С. 475–6. ISBN 978-0-538-49790-9.

[3] Константы интегрирования включаются в оставшийся интегральный член.

[1] Спивак Михаил (2008). «Интеграция в элементарных понятиях». Исчисление. п.382. Это сложный и важный интеграл, который часто возникает.

[:1-2] а ^б ^c Стюарт, Джеймс (2012). «Раздел 7.2: Тригонометрические интегралы». Исчисление - Ранние трансценденталы. США: Cengage Learning. С. 475–6. ISBN 978-0-538-49790-9.

[1]

[2]

[а]