Замена Вейерштрасса - Weierstrass substitution - Wikipedia

В интегральное исчисление, то Замена Вейерштрасса или же замена касательного полуугла это метод оценки интегралы, который преобразует рациональная функция из тригонометрические функции из в обычную рациональную функцию установив .[1][2] Общность не теряется принимая их за рациональные функции синуса и косинуса. Общая формула преобразования:

Он назван в честь Карл Вейерштрасс (1815–1897),[3][4][5] хотя его можно найти в книге Леонард Эйлер с 1768 г.[6] Михаил Спивак написал, что этот метод был «самой хитрой заменой» в мире.[7]

Замена

Начиная с рациональной функции синусов и косинусов, заменяют и с рациональными функциями переменной и связывает дифференциалы и следующее.

Позволять , куда . потом[1][8]

Следовательно,

Вывод формул

Посредством формулы двойного угла,

и

Наконец, поскольку ,

Примеры

Первый пример: интеграл косеканса

Мы можем подтвердить приведенный выше результат, используя стандартный метод вычисления интеграла косеканса, умножив числитель и знаменатель на и выполните следующие замены в полученном выражении: и . Эта замена может быть получена из разности производных косеканса и котангенса, у которых косеканс является общим множителем.

Теперь формулы половинного угла для синусов и косинусов имеют вид

Они дают

так что два ответа эквивалентны. В качестве альтернативы можно использовать тождество касательной половины угла получить

В секущий интеграл могут быть оценены аналогичным образом.

Второй пример: определенный интеграл

В первой строке нельзя просто подставить для обоих пределы интеграции. В необычность (в этом случае вертикальная асимптота ) из в необходимо учитывать. В качестве альтернативы, сначала оцените неопределенный интеграл, а затем примените граничные значения.

По симметрии

что совпадает с предыдущим ответом.

Третий пример: синус и косинус

Если

Геометрия

Подстановка Вейерштрасса параметризует единичный круг с центром в (0, 0). Вместо + ∞ и −∞ у нас есть только одно ∞ на обоих концах вещественной прямой. Это часто уместно при работе с рациональными функциями и тригонометрическими функциями. (Это одноточечная компактификация линии.)

В качестве Икс меняется, точка (cosИксгрехИкс) многократно наматывается вокруг единичный круг с центром в (0, 0). Смысл

ходит только один раз по кругу как т идет от −∞ к + ∞ и никогда не достигает точки (−1, 0), к которой приближается как предел, как т приближается к ± ∞. В качестве т переходит от −∞ к −1, точка, определяемая т проходит через часть круга в третьем квадранте от (−1, 0) до (0, −1). В качестве т идет от −1 до 0, точка следует за частью круга в четвертом квадранте от (0, −1) до (1, 0). В качестве т идет от 0 до 1, точка следует за частью круга в первом квадранте от (1, 0) до (0, 1). Наконец, как т идет от 1 до + ∞, точка следует за частью круга во втором квадранте от (0, 1) до (−1, 0).

Вот еще одна геометрическая точка зрения. Нарисуйте единичный круг, и пусть п быть точкой (−1, 0). Линия через п (кроме вертикальной линии) определяется ее наклоном. Кроме того, каждая из прямых (кроме вертикальной) пересекает единичный круг ровно в двух точках, одна из которых п. Это определяет функцию от точек на единичной окружности до уклонов. Тригонометрические функции определяют функцию от углов до точек на единичной окружности, и, комбинируя эти две функции, мы получаем функцию от углов до наклонов.

Галерея


Гиперболические функции

Как и в случае других свойств, общих для тригонометрических функций и гиперболических функций, можно использовать гиперболические тождества чтобы построить аналогичную форму замены:

Смотрите также

дальнейшее чтение

  • Эдвардс, Джозеф (1921). «Глава VI». Трактат по интегральному исчислению с приложениями, примерами и задачами. Лондон: Macmillan and Co, Ltd.

Примечания и ссылки

  1. ^ а б Стюарт, Джеймс (2012). Исчисление: ранние трансцендентальные теории (7-е изд.). Белмонт, Калифорния, США: Cengage Learning. стр.493. ISBN  978-0-538-49790-9.
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Вейерштрасс Замена." Из MathWorld- Веб-ресурс Wolfram. По состоянию на 1 апреля 2020 г.
  3. ^ Джеральд Л. Брэдли и Карл Дж. Смит, Исчисление, Prentice Hall, 1995, стр. 462, 465, 466.
  4. ^ Кристоф Тойшер, Алан Тьюринг: жизнь и наследие великого мыслителя, Springer, 2004 г., стр. 105–6.
  5. ^ Джеймс Стюарт, Исчисление: ранние трансцендентальные теории, Brooks / Cole, 1 апреля 1991 г., стр. 436
  6. ^ Эйлер, Леонард (1768). "Institutiionum calci integrationis volumen primum. E342, Caput V, параграф 261" (PDF). Эйлер архив. Математическая ассоциация Америки (MAA). Получено 1 апреля, 2020.
  7. ^ Михаил Спивак, Исчисление, Издательство Кембриджского университета, 2006, страницы 382–383.
  8. ^ Джеймс Стюарт, Исчисление: ранние трансцендентальные теории, Brooks / Cole, 1991, стр. 439

внешняя ссылка