Хинчин интеграл - Khinchin integral

В математике Хинчин интеграл (иногда пишется Интеграл Хинчина), также известный как Интеграл Данжуа – Хинчина, обобщенный интеграл Данжуа или же широкий интеграл Данжуа, является одним из множества определений интеграл из функция. Это обобщение Риман и Лебег интегралы. Он назван в честь Александр Хинчин и Арно Данжуа, но не следует путать с (узким) Интеграл Данжуа.

Мотивация

Если грамм : я → р является интегрируемой по Лебегу функцией на некотором интервале я = [а,б], и если

${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}g(t)\,dt}$

- ее неопределенный интеграл Лебега, то верны следующие утверждения:^[1]

1. ж абсолютно непрерывна (см. ниже)
2. ж дифференцируемый почти всюду
3. Его производная почти всюду совпадает с грамм(Икс). (Фактически, все Таким образом получаются абсолютно непрерывные функции.^[2])

Интеграл Лебега можно определить следующим образом: грамм интегрируем по Лебегу на я если существует функция ж который абсолютно непрерывен, производная которого совпадает с грамм почти всюду.

Однако даже если ж : я → р дифференцируемый повсюду, и грамм его производная, из этого не следует, что ж является (с точностью до константы) неопределенным интегралом Лебега от грамм, просто потому что грамм может не быть интегрируемым по Лебегу, т. е. ж может не быть абсолютно непрерывным. Приведен пример этого^[3] производной грамм функции (дифференцируемой, но не абсолютно непрерывной) ж(Икс)=Икс² · sin (1 /Икс²) (функция грамм не интегрируется по Лебегу около 0).

Интеграл Данжуа исправляет этот недостаток, гарантируя, что производная любой функции ж который всюду дифференцируем (или даже дифференцируем всюду, кроме не более чем счетного числа точек), интегрируем, и его интеграл восстанавливает ж с точностью до константы; интеграл Хинчина является еще более общим, поскольку он может интегрировать приблизительный производная приближенно дифференцируемой функции (определения см. ниже). Для этого сначала находят условие, более слабое, чем абсолютная непрерывность, но которому удовлетворяет любая приближенно дифференцируемая функция. Это концепция обобщенный абсолютная преемственность; обобщенными абсолютно непрерывными функциями будут в точности те функции, которые являются неопределенными интегралами Хинчина.

Определение

Обобщенная абсолютно непрерывная функция

Позволять я = [а,б] - интервал и ж : я → р - вещественная функция на я.

Напомним, что ж является абсолютно непрерывный на подмножестве E из я тогда и только тогда, когда для каждого положительного числа ε есть положительное число δ такой, что всякий раз, когда конечный набор [Икс_k,у_k] попарно непересекающихся подынтервалов я с конечными точками в E удовлетворяет

${\displaystyle \sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta }$

это также удовлетворяет

${\displaystyle \sum _{k}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon .}$

Определять^[4][5] функция ж быть обобщенный абсолютно непрерывный на подмножестве E из я если ограничение ж к E непрерывна (на E) и E можно записать как счетное объединение подмножеств E_я такой, что ж абсолютно непрерывна на каждом E_я. Это эквивалентно^[6] к утверждению, что каждое непустое идеально подмножество E содержит часть^[7] на котором ж абсолютно непрерывно.

Приблизительная производная

Позволять E быть Измеримый по Лебегу набор реалов. Напомним, что реальное число Икс (не обязательно в E) называется точка плотности из E когда

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\mu (E\cap [x-\varepsilon ,x+\varepsilon ])}{2\varepsilon }}=1}$

(куда μ обозначает меру Лебега). Функция, измеримая по Лебегу грамм : E → р говорят, что имеет приблизительный предел^[8] у в Икс (точка плотности E) если для каждого положительного числа ε, смысл Икс точка плотности ${\displaystyle g^{-1}([y-\varepsilon ,y+\varepsilon ])}$. (Если к тому же грамм(Икс)  = у, можно сказать, что грамм является приблизительно непрерывный в Икс.^[9]) Эквивалентно, грамм имеет приблизительный предел у в Икс тогда и только тогда, когда существует измеримое подмножество F из E такой, что Икс точка плотности F и (обычный) предел при Икс ограничения ж к F является у. Как и обычный предел, приблизительный предел уникален, если он существует.

Наконец, измеримая по Лебегу функция ж : E → р говорят, что имеет приблизительная производная у в Икс если только

${\displaystyle {\frac {f(x')-f(x)}{x'-x}}}$

имеет приблизительный предел у в Икс; это означает, что ж приблизительно непрерывна при Икс.

Теорема

Напомним, что из Теорема Люсина что измеримая по Лебегу функция почти всюду приближенно непрерывна (и наоборот).^[10][11] Ключевая теорема при построении интеграла Хинчина такова: функция ж обобщенно абсолютно непрерывное (или даже более слабое понятие «обобщенной ограниченной вариации») имеет приближенную производную почти всюду.^[12][13][14] Кроме того, если ж обобщенно абсолютно непрерывна и ее приближенная производная почти всюду неотрицательна, то ж не убывает,^[15] и, следовательно, если эта приближенная производная почти всюду равна нулю, то ж постоянно.

Интеграл Хинчина

Позволять я = [а,б] - интервал и грамм : я → р - вещественная функция на я. Функция грамм называется интегрируемым по Хинчину на я если существует функция ж которое является обобщенно абсолютно непрерывным, приближенная производная которого совпадает с грамм почти всюду;^[16] в этом случае функция ж определяется грамм с точностью до константы, а интеграл Хинчина от грамм из а к б определяется как ж(б) − ж(а).

Частный случай

Если ж : я → р непрерывна и имеет приближенную производную всюду на я за исключением не более чем счетного количества очков, тогда ж фактически является обобщенно абсолютно непрерывным, так что это (неопределенный) интеграл Хинчина от своей приближенной производной.^[17]

Этот результат неверен, если множество точек, где ж не предполагается иметь приближенную производную, является просто нулевой мерой Лебега, поскольку Функция Кантора показывает.

Примечания

1. (Гордон 1994, теорема 4.12)
2. (Гордон 1994, теорема 4.14)
3. (Брукнер 1994, глава 5, §2)
4. (Брукнер 1994, глава 5, §4)
5. (Гордон 1994, определение 6.1)
6. (Гордон 1994, теорема 6.10)
7. А часть идеального набора п это п ∩ [ты, v] такое, что это пересечение совершенно и непусто.
8. (Брукнер 1994, глава 10, §1)
9. (Гордон 1994, теорема 14.5)
10. (Брукнер 1994, теорема 5.2)
11. (Гордон 1994, теорема 14.7)
12. (Брукнер 1994, глава 10, теорема 1.2)
13. (Гордон 1994, теорема 14.11)
14. (Филиппов 1998, глава IV, теорема 6.1)
15. (Гордон 1994, теорема 15.2)
16. (Гордон 1994, определение 15.1)
17. (Гордон 1994, теорема 15.4)

Рекомендации

• Энциклопедия математики Спрингера: статья «Интеграл Данжуа»
• Энциклопедия математики Springer: статья «Приближенная производная»
• Брукнер, Эндрю (1994). Дифференциация реальных функций. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-6990-1.
• Гордон, Рассел А. (1994). Интегралы Лебега, Данжуа, Перрона и Хенстока. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3805-1.
• Филиппов, В. (1998). Основные топологические структуры обыкновенных дифференциальных уравнений. ISBN  978-0-7923-4951-8.