Интегральный тест на сходимость - Integral test for convergence

Интегральный тест, примененный к гармонический ряд. Поскольку площадь под кривой у = 1/Икс за Икс ∈ [1, ∞) бесконечно, общая площадь прямоугольников также должна быть бесконечной.

В математика, то интегральный критерий сходимости это метод, используемый для проверки бесконечный серии из неотрицательный условия для конвергенция. Он был разработан Колин Маклорен и Огюстен-Луи Коши и иногда его называют Тест Маклорена – Коши.

Заявление об испытании

Рассмотрим целое число N и неотрицательная функция ж определены на неограниченном интервал [N, ∞), на котором это монотонно убывающий. Тогда бесконечный ряд

${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }f(n)}$

сходится к настоящий номер если и только если несобственный интеграл

${\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}$

конечно. Другими словами, если интеграл расходится, то серия расходится также.

Замечание

Если несобственный интеграл конечен, то доказательство также дает нижняя и верхняя границы

${\displaystyle \int _{N}^{\infty }f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{\infty }f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx}$

(1)

для бесконечной серии.

Доказательство

Доказательство в основном использует сравнительный тест, сравнивая срок ж(п) с интегралом ж через интервалы[п − 1, п) и [п, п + 1), соответственно.

С ж - монотонно убывающая функция, мы знаем, что

${\displaystyle f(x)\leq f(n)\quad {\text{for all }}x\in [n,\infty )}$

и

${\displaystyle f(n)\leq f(x)\quad {\text{for all }}x\in [N,n].}$

Следовательно, для любого целого числа п ≥ N,

${\displaystyle \int _{n}^{n+1}f(x)\,dx\leq \int _{n}^{n+1}f(n)\,dx=f(n)}$

(2)

и для каждого целого числа п ≥ N + 1,

${\displaystyle f(n)=\int _{n-1}^{n}f(n)\,dx\leq \int _{n-1}^{n}f(x)\,dx.}$

(3)

Суммируя по всем п из N до некоторого большего целого числа M, получаем из (2)

${\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx=\sum _{n=N}^{M}\underbrace {\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx} _{\leq \,f(n)}\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)}$

и из (3)

${\displaystyle \sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\sum _{n=N+1}^{M}\underbrace {\int _{n-1}^{n}f(x)\,dx} _{\geq \,f(n)}=f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.}$

Объединение этих двух оценок дает

${\displaystyle \int _{N}^{M+1}f(x)\,dx\leq \sum _{n=N}^{M}f(n)\leq f(N)+\int _{N}^{M}f(x)\,dx.}$

Сдача M стремятся к бесконечности, оценки в (1) и результат.

Приложения

В гармонический ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$

расходится, потому что, используя натуральный логарифм, это первообразный, а основная теорема исчисления, мы получили

${\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{n}}\,dn=\ln n{\Bigr |}_{1}^{M}=\ln M\to \infty \quad {\text{for }}M\to \infty .}$

Напротив, сериал

${\displaystyle \zeta (1+\varepsilon )=\sum _{x=1}^{\infty }{\frac {1}{x^{1+\varepsilon }}}}$

(ср. Дзета-функция Римана ) сходится для каждого ε > 0, потому что правило власти

${\displaystyle \int _{1}^{M}{\frac {1}{x^{1+\varepsilon }}}\,dx=-{\frac {1}{\varepsilon x^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{1}^{M}={\frac {1}{\varepsilon }}{\Bigl (}1-{\frac {1}{M^{\varepsilon }}}{\Bigr )}\leq {\frac {1}{\varepsilon }}<\infty \quad {\text{for all }}M\geq 1.}$

Из (1) получаем оценку сверху

${\displaystyle \zeta (1+\varepsilon )=\sum _{x=1}^{\infty }{\frac {1}{x^{1+\varepsilon }}}\leq {\frac {1+\varepsilon }{\varepsilon }},}$

что можно сравнить с некоторыми из частные значения дзета-функции Римана.

Граница между расхождением и конвергенцией

Приведенные выше примеры с гармоническими рядами поднимают вопрос, существуют ли такие монотонные последовательности, что ж(п) уменьшается до 0 быстрее, чем 1/п но медленнее, чем 1/п^1+ε в том смысле, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n}}=0\quad {\text{and}}\quad \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{1/n^{1+\varepsilon }}}=\infty }$

для каждого ε > 0, и будет ли соответствующий ряд ж(п) все еще расходится. Как только такая последовательность найдена, аналогичный вопрос можно задать с помощью ж(п) взяв на себя роль 1/п, и так далее. Таким способом можно исследовать границу между расхождением и сходимостью бесконечных рядов.

Используя интегральный критерий сходимости, можно показать (см. Ниже), что для любого натуральное число k, сериал

${\displaystyle \sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)\ln _{k}(n)}}}$

(4)

все еще расходится (ср. доказательство того, что сумма обратных простых чисел расходится за k = 1) но

${\displaystyle \sum _{n=N_{k}}^{\infty }{\frac {1}{n\ln(n)\ln _{2}(n)\cdots \ln _{k-1}(n)(\ln _{k}(n))^{1+\varepsilon }}}}$

(5)

сходится для каждого ε > 0. Здесь пер_k обозначает k-складывать сочинение натурального логарифма, определенного рекурсивно к

${\displaystyle \ln _{k}(x)={\begin{cases}\ln(x)&{\text{for }}k=1,\\\ln(\ln _{k-1}(x))&{\text{for }}k\geq 2.\end{cases}}}$

Более того, N_k обозначает наименьшее натуральное число такое, что k-складчатая композиция четко определена и пер_k(N_k) ≥ 1, т.е.

${\displaystyle N_{k}\geq \underbrace {e^{e^{\cdot ^{\cdot ^{e}}}}} _{k\ e'{\text{s}}}=e\uparrow \uparrow k}$

с помощью тетрация или же Обозначение Кнута со стрелкой вверх.

Чтобы увидеть расхождение ряда (4) используя интегральный тест, обратите внимание, что при повторном применении Правило цепи

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln _{k+1}(x)={\frac {d}{dx}}\ln(\ln _{k}(x))={\frac {1}{\ln _{k}(x)}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}},}$

следовательно

${\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k}(x)}}=\ln _{k+1}(x){\bigr |}_{N_{k}}^{\infty }=\infty .}$

Чтобы увидеть сходимость ряда (5), отметим, что правило власти, цепное правило и приведенный выше результат

${\displaystyle -{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}={\frac {1}{(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}{\frac {d}{dx}}\ln _{k}(x)=\cdots ={\frac {1}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}},}$

следовательно

${\displaystyle \int _{N_{k}}^{\infty }{\frac {dx}{x\ln(x)\cdots \ln _{k-1}(x)(\ln _{k}(x))^{1+\varepsilon }}}=-{\frac {1}{\varepsilon (\ln _{k}(x))^{\varepsilon }}}{\biggr |}_{N_{k}}^{\infty }<\infty }$

и (1) дает оценки для бесконечного ряда в (5).

Смотрите также

• Тесты сходимости
• Конвергенция (математика)
• Тест прямого сравнения
• Теорема о доминирующей сходимости
• Формула Эйлера-Маклорена
• Предел сравнительного теста
• Теорема о монотонной сходимости

Рекомендации

• Кнопп, Конрад, «Бесконечные последовательности и серии», Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1956. (§ 3.3) ISBN  0-486-60153-6
• Уиттакер, Э. Т., и Уотсон, Г. Н., Курс современного анализа, четвертое издание, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN  0-521-58807-3
• Феррейра, Хайме Кампос, Эд Калуст Гюльбенкян, 1987, ISBN  972-31-0179-3