Список лимитов - List of limits

Этот список неполный; вы можете помочь добавление недостающих предметов с надежные источники.

Это Список пределы для общего функции. В этой статье термины а, б и c являются константами относительно Икс.

Пределы для общих функций

Определения пределов и связанных понятий

${displaystyle lim _{x o c}f(x)=L}$ если и только если ${displaystyle forall varepsilon >0 exists delta >0 0<|x-c|<delta ightarrow |f(x)-L|<varepsilon }$. Это (ε, δ) -определение предела.

Верхний предел и нижний предел последовательности определяются как ${displaystyle limsup _{n o infty }x_{n}=lim _{n o infty }left(sup _{mgeq n}x_{m}ight)}$и ${displaystyle liminf _{n o infty }x_{n}=lim _{n o infty }left(inf _{mgeq n}x_{m}ight)}$.

Функция, ${displaystyle f(x)}$, называется непрерывным в точке, c, если

${displaystyle lim _{x o c}f(x)=f(c)}$.

Операции с одним известным пределом

${displaystyle { ext{If }}lim _{x o c}f(x)=L{ ext{ then:}}}$

${displaystyle lim _{x o c},[f(x)pm a]=Lpm a}$

${displaystyle lim _{x o c},af(x)=aL}$^[1][2][3]

${displaystyle lim _{x o c}{frac {1}{f(x)}}={frac {1}{L}}}$^[4] если L не равно 0.

${displaystyle lim _{x o c},f(x)^{n}=L^{n}qquad { ext{ if }}n{ ext{ is a positive integer}}}$^[1][2][3]

${displaystyle lim _{x o c},f(x)^{1 over n}=L^{1 over n}qquad { ext{ if }}n{ ext{ is a positive integer, and if }}n{ ext{ is even, then }}L>0}$^[1][3]

В общем, если г (х) непрерывно на L и ${displaystyle lim _{x o c}f(x)=L}$тогда

${displaystyle lim _{x o c}gleft(f(x)ight)=g(L)}$^[1][2]

Операции на двух известных лимитах

${displaystyle { ext{If }}lim _{x o c}f(x)=L_{1}{ ext{ and }}lim _{x o c}g(x)=L_{2}{ ext{ then:}}}$

${displaystyle lim _{x o c},[f(x)pm g(x)]=L_{1}pm L_{2}}$^[1][2][3]

${displaystyle lim _{x o c},[f(x)g(x)]=L_{1}cdot L_{2}}$^[1][2][3]

${displaystyle lim _{x o c}{frac {f(x)}{g(x)}}={frac {L_{1}}{L_{2}}}qquad { ext{ if }}L_{2}eq 0}$^[1][2][3]

Пределы, связанные с производными или бесконечно малыми изменениями

В этих пределах бесконечно малое изменение ${displaystyle h}$ часто обозначается ${displaystyle Delta x}$ или же ${displaystyle delta x}$. Если ${displaystyle f(x)}$является дифференцируемый в ${displaystyle x}$,

${displaystyle lim _{h o 0}{f(x+h)-f(x) over h}=f'(x)}$. Это определение производная. Все правила дифференциации также могут быть переформулированы как правила, предусматривающие ограничения. Например, если g (x) дифференцируема в x,

${displaystyle lim _{h o 0}{fcirc g(x+h)-fcirc g(x) over h}=f'[g(x)]g'(x)}$. Это Правило цепи.

${displaystyle lim _{h o 0}{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x) over h}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$. Это правило продукта.

${displaystyle lim _{h o 0}left({frac {f(x+h)}{f(x)}}ight)^{frac {1}{h}}=exp left({frac {f'(x)}{f(x)}}ight)}$

${displaystyle lim _{h o 0}{left({f(x(1+h)) over {f(x)}}ight)^{1 over {h}}}=exp left({frac {xf'(x)}{f(x)}}ight)}$

Если ${displaystyle f(x)}$ и ${displaystyle g(x)}$ дифференцируемы на открытом интервале, содержащем c, кроме, возможно, самого c, и ${displaystyle lim _{x o c}f(x)=lim _{x o c}g(x)=0{ ext{ or }}pm infty }$, Правило л'Опиталя может быть использован:

${displaystyle lim _{x o c}{frac {f(x)}{g(x)}}=lim _{x o c}{frac {f'(x)}{g'(x)}}}$^[2]

Неравенства

Если ${displaystyle f(x)leq g(x)}$для всех x в интервале, который содержит c, кроме, возможно, самого c, и предел ${displaystyle f(x)}$и ${displaystyle g(x)}$оба существуют в c, тогда

${displaystyle lim _{x o c}f(x)leq lim _{x o c}g(x)}$^[5]

${displaystyle { ext{If }}lim _{x o c}f(x)=lim _{x o c}h(x)=L}$ и ${displaystyle f(x)leq g(x)leq h(x)}$для всех x в открытом интервале, содержащем c, кроме, возможно, самого c,

${displaystyle lim _{x o c}g(x)=L}$. Это известно как теорема сжатия.^[1][2] Это применимо даже в тех случаях, когда f (x) и g (x) принимают разные значения в c или разрываются в c.

Многочлены и функции вида Икс^а

${displaystyle lim _{x o c}a=a}$^[1][2][3]

Многочлены от x

${displaystyle lim _{x o c}x=c}$^[1][2][3]

${displaystyle lim _{x o c}(ax+b)=ac+b}$

${displaystyle lim _{x o c}x^{n}=c^{n}qquad {mbox{ if }}n{mbox{ is a positive integer}}}$^[5]

${displaystyle lim _{x o infty }x/a={egin{cases}infty ,&a>0{ ext{does not exist}},&a=0-infty ,&a<0end{cases}}}$

В общем, если ${displaystyle p(x)}$является многочленом, то по непрерывности многочленов

${displaystyle lim _{x o c}p(x)=p(c)}$^[5]

Это также верно для рациональные функции, поскольку они непрерывны на своих доменах.^[5]

Функции формы Икс^а

${displaystyle lim _{x o c}x^{a}=c^{a}.}$^[5] Особенно,

${displaystyle lim _{x o infty }x^{a}={egin{cases}infty ,&a>01,&a=0�,&a<0end{cases}}}$

${displaystyle lim _{x o c}x^{1/a}=c^{1/a}}$.^[5] Особенно,

${displaystyle lim _{x o infty }x^{1/a}=lim _{x o infty }{sqrt[{a}]{x}}=infty { ext{ for any }}a>0}$^[6]

${displaystyle lim _{x o 0^{+}}x^{-n}=lim {frac {1}{x^{n}}}=+infty }$

${displaystyle lim _{x o 0^{-}}x^{-n}=lim _{x o 0^{-}}{frac {1}{x^{n}}}={egin{cases}-infty ,&{ ext{if }}n{ ext{ is odd}}+infty ,&{ ext{if }}n{ ext{ is even}}end{cases}}}$

${displaystyle lim _{x o infty }ax^{-1}=lim _{x o infty }a/x=0{ ext{ for any real }}a}$

Экспоненциальные функции

Функции формы а^{г (х)}

${displaystyle lim _{x o c}e^{x}=e^{c}}$, благодаря непрерывности ${displaystyle e^{x}}$

${displaystyle lim _{x o infty }a^{x}={egin{cases}infty ,&a>11,&a=1�,&0<a<1end{cases}}}$

${displaystyle lim _{x o infty }a^{-x}={egin{cases}0,&a>11,&a=1infty ,&0<a<1end{cases}}}$^[6]

${displaystyle lim _{x o infty }{sqrt[{x}]{a}}=lim _{x o infty }{a}^{1/x}={egin{cases}1,&a>0�,&a=0{ ext{does not exist}},&a<0end{cases}}}$

Функции формы Икс^{г (х)}

${displaystyle lim _{x o infty }{sqrt[{x}]{x}}=lim _{x o infty }{x}^{1/x}=1}$

Функции формы f (x)^{г (х)}

${displaystyle lim _{x o +infty }left({frac {x}{x+k}}ight)^{x}=e^{-k}}$^[2]

${displaystyle lim _{x o 0}left(1+xight)^{frac {1}{x}}=e}$^[2]

${displaystyle lim _{x o 0}left(1+kxight)^{frac {m}{x}}=e^{mk}}$

${displaystyle lim _{x o +infty }left(1+{frac {1}{x}}ight)^{x}=e}$^[7]

${displaystyle lim _{x o +infty }left(1-{frac {1}{x}}ight)^{x}={frac {1}{e}}}$

${displaystyle lim _{x o +infty }left(1+{frac {k}{x}}ight)^{mx}=e^{mk}}$^[6]

${displaystyle lim _{x o 0}left(1+aleft({e^{-x}-1}ight)ight)^{-{frac {1}{x}}}=e^{a}qquad }$. Этот предел может быть получен из этот предел.

Суммы, произведения и композиты

${displaystyle lim _{x o 0}xe^{-x}=0}$

${displaystyle lim _{x o infty }xe^{-x}=0}$

${displaystyle lim _{x o 0}left({frac {a^{x}-1}{x}}ight)=ln {a},qquad forall ~a>0}$^[4][7]

${displaystyle lim _{x o 0}left({frac {e^{x}-1}{x}}ight)=1}$

${displaystyle lim _{x o 0}left({frac {e^{ax}-1}{x}}ight)=a}$

Логарифмические функции

Натуральные логарифмы

${displaystyle lim _{x o c}ln {x}=ln c}$, благодаря непрерывности ${displaystyle ln {x}}$. Особенно,

${displaystyle lim _{x o 0^{+}}log x=-infty }$

${displaystyle lim _{x o infty }log x=infty }$

${displaystyle lim _{x o 1}{frac {ln(x)}{x-1}}=1}$

${displaystyle lim _{x o 0}{frac {ln(x+1)}{x}}=1}$^[7]

${displaystyle lim _{x o 0}{frac {-ln left(1+aleft({e^{-x}-1}ight)ight)}{x}}=a}$. Этот предел следует из Правило L'Hôpital.

${displaystyle lim _{x o 0^{+}}xln x=0}$

${displaystyle lim _{x o infty }{frac {ln x}{x}}=0}$^[6]

Логарифмы в произвольные основания

За а > 1,

${displaystyle lim _{x o 0^{+}}log _{a}x=-infty }$

${displaystyle lim _{x o infty }log _{a}x=infty }$

За а < 1,

${displaystyle lim _{x o 0^{+}}log _{a}x=infty }$

${displaystyle lim _{x o infty }log _{a}x=-infty }$

Тригонометрические функции

Если ${displaystyle x}$ выражается в радианах:

${displaystyle lim _{x o a}sin x=sin a}$

${displaystyle lim _{x o a}cos x=cos a}$

Оба эти ограничения вытекают из непрерывности греха и созна.

${displaystyle lim _{x o 0}{frac {sin x}{x}}=1}$.^[7] Или вообще

${displaystyle lim _{x o 0}{frac {sin ax}{ax}}=1}$, за а не равно 0.

${displaystyle lim _{x o 0}{frac {sin ax}{x}}=a}$

${displaystyle lim _{x o 0}{frac {sin ax}{bx}}={frac {a}{b}}}$, за б не равно 0.

${displaystyle lim _{x o infty }xsin left({frac {1}{x}}ight)=1}$

${displaystyle lim _{x o 0}{frac {1-cos x}{x}}=0}$^[4]

${displaystyle lim _{x o 0}{frac {1-cos x}{x^{2}}}={frac {1}{2}}}$

${displaystyle lim _{x o n^{pm }} an left(pi x+{frac {pi }{2}}ight)=mp infty }$, для целого числа п.

${displaystyle lim _{n o infty } underbrace {sin sin ldots sin(x_{0})} _{n}=0}$, где x₀ - произвольное действительное число.

${displaystyle lim _{n o infty } underbrace {cos cos ldots cos(x_{0})} _{n}=d}$, где d - Число Дотти. Икс₀ может быть любым произвольным действительным числом.

Суммы

Вообще говоря, любой бесконечный ряд является пределом его частичных сумм. Например, аналитическая функция - это предел своего ряда Тейлора в пределах своего радиуса сходимости.

${displaystyle lim _{n o infty }sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k}}=infty }$. Это известно как гармонический ряд.^[6]

${displaystyle lim _{n o infty }left(sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k}}-log night)=gamma }$. Это постоянная Эйлера Маскерони.

Примечательные специальные ограничения

${displaystyle lim _{n o infty }{frac {n}{sqrt[{n}]{n!}}}=e}$

${displaystyle lim _{n o infty }left(n!ight)^{1/n}=infty }$. Это можно доказать, рассматривая неравенство ${displaystyle e^{x}geq {frac {x^{n}}{n!}}}$ в ${displaystyle x=n}$.

${displaystyle lim _{n o infty },2^{n}underbrace {sqrt {2-{sqrt {2+{sqrt {2+{ ext{...}}+{sqrt {2}}}}}}}} _{n}=pi }$. Это можно вывести из Формула Вьете для пи.

Ограничивающее поведение

Асимптотические эквивалентности

Асимптотические эквивалентности, ${displaystyle f(x)sim g(x)}$, верны, если ${displaystyle lim _{x o infty }{frac {f(x)}{g(x)}}=1}$. Следовательно, их также можно переформулировать как пределы. Некоторые известные асимптотические эквивалентности включают

${displaystyle lim _{x o infty }{frac {x/ln x}{pi (x)}}=1}$, из-за теорема о простых числах, ${displaystyle pi (x)sim {frac {x}{ln x}}}$, где π (x) - функция подсчета простых чисел.

${displaystyle lim _{n o infty }{frac {{sqrt {2pi n}}left({frac {n}{e}}ight)^{n}}{n!}}=1}$, из-за Приближение Стирлинга, ${displaystyle n!sim {sqrt {2pi n}}left({frac {n}{e}}ight)^{n}}$.

Обозначение Big O

Поведение функций, описываемых Обозначение Big O также можно описать пределами. Например

${displaystyle f(x)in {mathcal {O}}(g(x))}$ если ${displaystyle limsup _{x o infty }{frac {|f(x)|}{g(x)}}<infty }$

Рекомендации

1. «Основные предельные законы». math.oregonstate.edu. Получено 2019-07-31.
2. «Памятка по ограничениям - Symbolab». www.symbolab.com. Получено 2019-07-31.
3. «Раздел 2.3: Расчет лимитов с использованием законов о лимитах» (PDF).
4. «Формулы пределов и производных» (PDF).
5. «Предельные теоремы». archives.math.utk.edu. Получено 2019-07-31.
6. «Некоторые особые ограничения». www.sosmath.com. Получено 2019-07-31.
7. «НЕКОТОРЫЕ ВАЖНЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ - Математические формулы - Математические формулы - Основные математические формулы». www.pioneermat Mathematics.com. Получено 2019-07-31.