Число Дотти - Dottie number

Число Дотти - это уникальный реальный фиксированная точка из косинус функция

В математика, то Число Дотти это постоянный это уникальный настоящий корень уравнения

${\displaystyle \cos x=x.}$

где аргумент ${\displaystyle \cos }$ в радианы. Десятичное разложение числа Дотти: ${\displaystyle 0.739085...}$.^[1]

Можно тривиально доказать, что уравнение имеет только одно решение с помощью теорема о промежуточном значении в реальном самолете. Это сингл ценный фиксированная точка из косинус функция, и является нетривиальный пример универсальной притягивающей фиксированной точки. Кроме того, это трансцендентное число как следствие Теорема Линдеманна-Вейерштрасса.^[2] Обобщенный случай ${\displaystyle \cos z=z}$ для комплексной переменной ${\displaystyle z}$ имеет бесконечно много корней, однако, в отличие от числа Дотти, они не притягивают неподвижные точки.

Используя ряд Тейлора обратного ${\displaystyle f(x)=\cos(x)-x}$ в ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ (или, что то же самое, Теорема обращения Лагранжа ), число Дотти можно выразить как бесконечная серия ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\sum _{n\,\mathrm {odd} }a_{n}\pi ^{n}}$ где каждый ${\displaystyle a_{n}}$ это Рациональное число определяется для нечетных n как

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{n!2^{n}}}\lim _{m\to {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial m^{n-1}}}{\left({\frac {\cos m}{m-\pi /2}}-1\right)^{-n}}\\&=-{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{768}},-{\frac {1}{61440}},-{\frac {43}{165150720}},\ldots \end{aligned}}}$

^{[3][4][5][nb 1]}

Имя константы происходит от Сэмюэл Каплан (2007) и относится к французскому профессору, который наблюдал число после многократного нажатия кнопки косинуса на своем калькуляторе.^[3]

Примечания

1. Каплан не дает явной формулы для членов ряда, но она тривиально следует из Теорема обращения Лагранжа

Рекомендации

1. "OEIS A003957". oeis.org. Получено 2019-05-26.
2. Эрик В. Вайсштейн. "Число Дотти".
3. Каплан, Сэмюэл Р. (февраль 2007 г.). "Число Дотти" (PDF). Математический журнал. 80: 73. Дои:10.1080 / 0025570X.2007.11953455. S2CID  125871044. Получено 29 ноябрь 2017.
4. "OEIS A302977 Нумераторы рационального множителя ряда Каплана для числа Дотти". oeis.org. Получено 2019-05-26.
5. "A306254 - OEIS". oeis.org. Получено 2019-07-22.

внешняя ссылка

• Миллер, Т. Х. (февраль 1890 г.). «О численных значениях корней уравнения cosx = x». Труды Эдинбургского математического общества. 9: 80–83. Дои:10.1017 / S0013091500030868.
• Салов, Валерий (2012). «Неизбежное число Дотти. Итералы косинуса и синуса». arXiv:1212.1027.
• Азарян, Мохаммад К. (2008). «О ФИКСИРОВАННЫХ ТОЧКАХ ФУНКЦИИ И ФИКСИРОВАННЫХ ТОЧКАХ ЕЕ КОМПОЗИЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ» (PDF). Международный журнал чистой и прикладной математики.