Теорема о промежуточном значении - Intermediate value theorem

Теорема о промежуточном значении: Пусть ж - непрерывная функция, определенная на [а, б] и разреши s быть числом с ж(а) < s < ж(б). Тогда существует некая Икс между а и б такой, что ж(Икс) = s.

В математический анализ, то теорема о промежуточном значении заявляет, что если ж это непрерывный функция чей домен содержит интервал [а, б], то принимает любое заданное значение между ж(а) и ж(б) в какой-то момент в пределах интервала.

Здесь есть два важных следствия:

1. Если непрерывная функция имеет значения противоположного знака внутри интервала, то она имеет корень в этом интервале (Теорема Больцано).^[1]
2. В изображение непрерывной функции на интервале сам является интервалом.

Мотивация

Теорема о промежуточном значении

Это отражает интуитивное свойство непрерывных функций над действительные числа: данный ж непрерывна на [1, 2] с известными значениями ж(1) = 3 и ж(2) = 5, то график у = ж(Икс) должен проходить через горизонтальную линию у = 4, а Икс переходит от 1 к 2. Он представляет собой идею о том, что график непрерывной функции на отрезке можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги.

Теорема

Теорема о промежуточном значении утверждает следующее:

Рассмотрим интервал ${\displaystyle I=[a,b]}$ реальных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и непрерывная функция ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$. потом

• Версия I. если ${\displaystyle u}$ это число между ${\displaystyle f(a)}$ и ${\displaystyle f(b)}$,

то есть, ${\displaystyle \min(f(a),f(b))<u<\max(f(a),f(b))}$,

тогда есть ${\displaystyle c\in (a,b)}$ такой, что ${\displaystyle f(c)=u}$.

• Версия II. то набор изображений ${\displaystyle f(I)}$ также является интервалом и содержит ${\displaystyle {\bigl [}\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b)){\bigr ]}}$,

Замечание: Версия II заявляет, что набор значений функции не имеет пробела. Для любых двух значений функции ${\displaystyle c<d}$, даже если они находятся вне интервала между ${\displaystyle f(a)}$ и ${\displaystyle f(b)}$, все точки в интервале ${\displaystyle {\bigl [}c,d{\bigr ]}}$ также являются значениями функций,

${\displaystyle {\bigl [}c,d{\bigr ]}\subseteq f(I)}$.

Подмножество действительных чисел без внутреннего пробела - это интервал. Версия I естественно содержится в Версия II.

Отношение к полноте

Теорема зависит от полнота действительных чисел. Теорема о промежуточном значении неприменима к рациональное число ℚ потому что между рациональными числами существуют промежутки; иррациональные числа заполните эти пробелы. Например, функция ${\displaystyle f(x)=x^{2}-2}$ за ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$ удовлетворяет ${\displaystyle f(0)=-2}$ и ${\displaystyle f(2)=2}$. Однако рационального числа нет ${\displaystyle x}$ такой, что ${\displaystyle f(x)=0}$, потому что ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ - иррациональное число.

Доказательство

Теорема может быть доказана как следствие полнота свойство действительных чисел следующим образом:^[2]

Мы докажем первый случай, ${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$. Второй случай аналогичен.

Позволять ${\displaystyle S}$ быть набором всех ${\displaystyle x\in [a,b]}$ такой, что ${\displaystyle f(x)\leq u}$. потом ${\displaystyle S}$ не пусто, так как ${\displaystyle a}$ является элементом ${\displaystyle S}$, и ${\displaystyle S}$ ограничен сверху ${\displaystyle b}$. Следовательно, по полноте супремум ${\displaystyle c=\sup S}$ существуют. То есть, ${\displaystyle c}$ наименьшее число, которое больше или равно каждому члену ${\displaystyle S}$. Мы утверждаем, что ${\displaystyle f(c)=u}$.

Исправить некоторые ${\displaystyle \varepsilon >0}$. С ${\displaystyle f}$ непрерывно, существует ${\displaystyle \delta >0}$ такой, что ${\displaystyle |f(x)-f(c)|<\varepsilon }$ в любое время ${\displaystyle |x-c|<\delta }$. Это означает, что

${\displaystyle f(x)-\varepsilon <f(c)<f(x)+\varepsilon }$

для всех ${\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}$. По свойствам супремума существует ${\displaystyle a^{*}\in (c-\delta ,c]}$ что содержится в ${\displaystyle S}$, и так

${\displaystyle f(c)<f(a^{*})+\varepsilon \leq u+\varepsilon }$.

Сбор ${\displaystyle a^{**}\in (c,c+\delta )}$, мы знаем это ${\displaystyle a^{**}\not \in S}$ потому что ${\displaystyle c}$ это супремум ${\displaystyle S}$. Это означает, что

${\displaystyle f(c)>f(a^{**})-\varepsilon \ >u-\varepsilon }$.

Оба неравенства

${\displaystyle u-\varepsilon <f(c)<u+\varepsilon }$

действительны для всех ${\displaystyle \varepsilon >0}$, из которого мы выводим ${\displaystyle f(c)=u}$ как единственно возможное значение, как указано.

Замечание: Теорема о промежуточном значении может быть также доказана методами нестандартный анализ, который ставит «интуитивные» аргументы, связанные с бесконечно малыми величинами, на строгую основу.^[3]

История

За ты = 0 выше, утверждение также известно как Теорема Больцано. (Поскольку в ты = 0, это, очевидно, эквивалентно самой теореме о промежуточном значении.) Эта теорема была впервые доказана Бернар Больцано в 1817 г. Огюстен-Луи Коши предоставил доказательство в 1821 году.^[4] Оба были вдохновлены целью формализовать анализ функций и работы Жозеф-Луи Лагранж. Идея о том, что непрерывные функции обладают свойством промежуточного значения, имеет более раннее происхождение. Саймон Стевин доказал теорему о промежуточном значении для многочлены (используя кубический в качестве примера), предоставив алгоритм построения десятичного разложения решения. Алгоритм итеративно делит интервал на 10 частей, создавая дополнительную десятичную цифру на каждом шаге итерации.^[5] До того, как было дано формальное определение непрерывности, свойство промежуточного значения было дано как часть определения непрерывной функции. Сторонники включают Луи Арбогаст, которые предполагали, что функции не имеют скачков, удовлетворяют свойству промежуточного значения и имеют приращения, размеры которых соответствуют размерам приращений переменной.^[6]Ранее авторы считали результат интуитивно очевидным и не требующим доказательств. Идея Больцано и Коши состояла в том, чтобы определить общее понятие непрерывности (в терминах бесконечно малые в случае Коши и с использованием действительных неравенств в случае Больцано), а также предоставить доказательство, основанное на таких определениях.

Обобщения

Теорема о промежуточном значении тесно связана с топологический понятие связность и следует из основных свойств связных множеств в метрических пространствах и, в частности, связных подмножеств:

• Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ находятся метрические пространства, ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ - непрерывное отображение, и ${\displaystyle E\subset X}$ это связаны подмножество, тогда ${\displaystyle f(E)}$ подключен. (*)
• Подмножество ${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$ связано тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующему свойству: ${\displaystyle x,y\in E,\ x<r<y\implies r\in E}$. (**)

Фактически, связность - это топологическое свойство и (*) обобщает на топологические пространства: Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ топологические пространства, ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ - непрерывное отображение, и ${\displaystyle X}$ это связанное пространство, тогда ${\displaystyle f(X)}$ подключен. Сохранение связности при непрерывных отображениях можно рассматривать как обобщение теоремы о промежуточном значении, свойства вещественнозначных функций действительной переменной, на непрерывные функции в общих пространствах.

Вспомните первую версию теоремы о промежуточном значении, сформулированную ранее:

Теорема о промежуточном значении. (Версия I). Рассмотрим закрытый интервал ${\displaystyle I=[a,b]}$ в реальных числах ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и непрерывная функция ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$. Тогда, если ${\displaystyle u}$ это действительное число такое, что ${\displaystyle \min(f(a),f(b))<u<\max(f(a),f(b))}$, Существует ${\displaystyle c\in (a,b)}$ такой, что ${\displaystyle f(c)=u}$.

Теорема о промежуточном значении является непосредственным следствием этих двух свойств связности:^[7]

Доказательство: К (**), ${\displaystyle I=[a,b]}$ является связным множеством. Из (*) следует, что изображение, ${\displaystyle f(I)}$, тоже связано. Для удобства предположим, что ${\displaystyle f(a)<f(b)}$. Затем еще раз вызывая (**), ${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$ подразумевает, что ${\displaystyle u\in f(I)}$, или же ${\displaystyle f(c)=u}$ для некоторых ${\displaystyle c\in I}$. С ${\displaystyle u\neq f(a),f(b)}$, ${\displaystyle c\in (a,b)}$ должен действительно выполняться, и следует желаемый вывод. Тот же аргумент применим, если ${\displaystyle f(b)<f(a)}$Итак, мы закончили.${\displaystyle \ \ \blacksquare }$

Теорема о промежуточном значении обобщается естественным образом: предположим, что Икс связное топологическое пространство и (Y, <) является полностью заказанный комплект оснащен топология заказа, и разреши ж : Икс → Y - непрерывное отображение. Если а и б две точки в Икс и ты это точка в Y лежащий между ж(а) и ж(б) по <, то существует c в Икс такой, что ж(c) = ты. Исходная теорема восстанавливается, если заметить, что связно и что его естественное топология топология порядка.

В Теорема Брауэра о неподвижной точке является связанной теоремой, которая в одном измерении дает частный случай теоремы о промежуточном значении.

Converse ложный

А Функция Дарбу является действительной функцией ж который обладает "свойством промежуточного значения", т. е. удовлетворяет заключению теоремы о промежуточном значении: для любых двух значений а и б в области ж, и любые у между ж(а) и ж(б), существует некоторое c между а и б с ж(c) = у. Теорема о промежуточном значении утверждает, что каждая непрерывная функция является функцией Дарбу. Однако не всякая функция Дарбу непрерывна; т.е. обратное утверждение теоремы о промежуточном значении неверно.

В качестве примера возьмем функцию ж : [0, ∞) → [−1, 1] определено формулой ж(Икс) = грех (1 /Икс) за Икс > 0 и ж(0) = 0. Эта функция не является непрерывной при Икс = 0, поскольку предел из ж(Икс) в качестве Икс стремится к 0 не существует; но функция имеет свойство промежуточного значения. Другой, более сложный пример дается Основание 13 Конвея.

Фактически, Теорема Дарбу заявляет, что все функции, являющиеся результатом дифференциация какой-либо другой функции на некотором интервале имеют недвижимость средней стоимости (даже если они не обязательно должны быть непрерывными).

Исторически это свойство промежуточного значения предлагалось как определение непрерывности функций с действительными значениями;^[8] это определение не было принято.

Практическое применение

Аналогичный результат дает Теорема Борсука – Улама., который говорит, что непрерывное отображение из ${\displaystyle n}$-сфера в евклидову ${\displaystyle n}$-space всегда будет отображать пару противоположных точек в одно и то же место.

Доказательство для одномерного случая: Брать ${\displaystyle f}$ быть любой непрерывной функцией на окружности. Проведите линию через центр круга, пересекая его в двух противоположных точках. ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$. Определять ${\displaystyle d}$ быть ${\displaystyle f(A)-f(B)}$. Если линия повернута на 180 градусов, значение -d будет получен взамен. Согласно теореме о промежуточном значении должен быть некоторый промежуточный угол поворота, для которого d = 0, и как следствие ж(А) = ж(B) под этим углом.

Вообще говоря, для любой непрерывной функции, область определения которой является некоторой замкнутой выпуклой ${\displaystyle n}$-мерной формы и любой точки внутри фигуры (не обязательно ее центра) существуют две противоположные точки по отношению к данной точке, функциональное значение которых одинаково.

Теорема также подкрепляет объяснение того, почему вращение качающегося стола приводит его к устойчивости (при соблюдении некоторых легко выполняемых ограничений).^[9]

Смотрите также

• Теорема о среднем значении
• Теорема о волосатом шарике

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Больцано». MathWorld.
2. По существу следует Кларк, Дуглас А. (1971). Основы анализа. Appleton-Century-Crofts. п. 284.
3. Сандерс, Сэм (2017). «Нестандартный анализ и конструктивизм!». arXiv:1704.00281 [math.LO ].
4. Грабинер, Джудит В. (март 1983 г.). «Кто дал вам эпсилон? Коши и истоки строгого исчисления» (PDF). Американский математический ежемесячник. 90 (3): 185–194. Дои:10.2307/2975545. JSTOR  2975545.
5. Карин Усади Кац и Михаил Г. Кац (2011) Берджесская критика номиналистических тенденций в современной математике и ее историографии. Основы науки. Дои:10.1007 / s10699-011-9223-1 Видеть связь
6. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., «Теорема о промежуточном значении», Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
7. Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 42, 93. ISBN  978-0-07-054235-8.
8. Сморински, Крейг (2017-04-07). MVT: наиболее ценная теорема. Springer. ISBN  9783319529561.
9. Кейт Девлин (2007) Как стабилизировать шаткий стол

внешняя ссылка

• Теорема о промежуточном значении в ProofWiki
• Теорема о промежуточном значении - Теорема Больцано в завязать узел
• Теорема Больцано Хулио Сезар де ла Инсера, Вольфрам Демонстрационный проект.
• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема о промежуточном значении". MathWorld.
• Белк, Джим (2 января 2012 г.). «Двумерная версия теоремы о промежуточном значении». Обмен стеком.
• Система Мицар доказательство: http://mizar.org/version/current/html/topreal5.html#T4