Гамильтонова оптика - Hamiltonian optics

Гамильтонова оптика^[1] и Лагранжева оптика^[2] две формулировки геометрическая оптика которые разделяют большую часть математического формализма с Гамильтонова механика и Лагранжева механика.

Принцип Гамильтона

Основная статья: Принцип Гамильтона

В физика, Принцип Гамильтона утверждает, что эволюция системы ${\displaystyle \left(q_{1}\left(\sigma \right),\cdots ,q_{N}\left(\sigma \right)\right)}$ описанный ${\displaystyle N}$ обобщенные координаты между двумя указанными состояниями при двух указанных параметрах σ_А и σ_B это стационарная точка (точка, где вариация равен нулю), действие функциональный, или же

${\displaystyle \delta S=\delta \int _{\sigma _{A}}^{\sigma _{B}}L\left(q_{1},\cdots ,q_{N},{\dot {q}}_{1},\cdots ,{\dot {q}}_{N},\sigma \right)\,d\sigma =0}$

куда ${\displaystyle {\dot {q}}_{k}=dq_{k}/d\sigma }$. Условие ${\displaystyle \delta S=0}$ справедливо тогда и только тогда, когда выполняются уравнения Эйлера-Лагранжа

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}-{\frac {d}{d\sigma }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=0}$

с ${\displaystyle k=1,\cdots ,N}$.

Импульс определяется как

${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}}$

и тогда уравнения Эйлера-Лагранжа можно переписать в виде

${\displaystyle {\dot {p}}_{k}={\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}}$

куда ${\displaystyle {\dot {p}}_{k}=dp_{k}/d\sigma }$.

Другой подход к решению этой проблемы состоит в определении гамильтониана (взяв Преобразование Лежандра из Лагранжиан ) в качестве

${\displaystyle H=\sum _{k}{{\dot {q}}_{k}}p_{k}-L}$

для которого новая система дифференциальных уравнений можно вывести глядя на то, как полный дифференциал из Лагранжиан зависит от параметра σ, должности ${\displaystyle q_{i}\,}$ и их производные ${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$ относительно σ. Этот вывод такой же, как в гамильтоновой механике, только со временем т теперь заменен общим параметром σ. Эти дифференциальные уравнения являются уравнениями Гамильтона

${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial q_{k}}}=-{\dot {p}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot {q}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial \sigma }}=-{\partial L \over \partial \sigma }\,.}$

с ${\displaystyle k=1,\cdots ,N}$. Уравнения Гамильтона первого порядка дифференциальные уравнения, а уравнения Эйлера-Лагранжа второго порядка.

Лагранжева оптика

Общие результаты, представленные выше для Принцип Гамильтона может применяться к оптике.^[3][4] В 3D евклидово пространство то обобщенные координаты теперь координаты евклидово пространство.

Принцип Ферма

Основная статья: Принцип Ферма

Принцип Ферма гласит, что оптическая длина пути, по которому свет проходит между двумя фиксированными точками, А и B, является стационарной точкой. Это может быть максимум, минимум, постоянный или точка перегиба. В общем, когда свет распространяется, он движется в среде переменного показатель преломления который является скалярное поле положения в пространстве, то есть ${\displaystyle n=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)}$ в 3D евклидово пространство. Если предположить, что свет движется по Икс₃ оси путь светового луча может быть параметризован как ${\displaystyle s=\left(x_{1}\left(x_{3}\right),x_{2}\left(x_{3}\right),x_{3}\right)}$ начиная с точки ${\displaystyle \mathbf {A} =\left(x_{1}\left(x_{3A}\right),x_{2}\left(x_{3A}\right),x_{3A}\right)}$ и заканчивается в точке ${\displaystyle \mathbf {B} =\left(x_{1}\left(x_{3B}\right),x_{2}\left(x_{3B}\right),x_{3B}\right)}$. В этом случае по сравнению с Принцип Гамильтона выше, координаты ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ взять на себя роль обобщенных координат ${\displaystyle q_{k}}$ пока ${\displaystyle x_{3}}$ играет роль параметра ${\displaystyle \sigma }$, то есть параметр σ =Икс₃ и N=2.

В контексте вариационное исчисление это можно записать как^[2]

${\displaystyle \delta S=\delta \int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\delta \int _{x_{3A}}^{x_{3B}}n{\frac {ds}{dx_{3}}}\,dx_{3}=\delta \int _{x_{3A}}^{x_{3B}}L\left(x_{1},x_{2},{\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},x_{3}\right)\,dx_{3}=0}$

куда ds бесконечно малое смещение вдоль луча, заданного формулой ${\displaystyle ds={\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}}$ и

${\displaystyle L=n{\frac {ds}{dx_{3}}}=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right){\sqrt {1+{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}}}}$

- оптический лагранжиан и ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3}}$.

В длина оптического пути (OPL) определяется как

${\displaystyle S=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }L\,dx_{3}}$

куда п - местный показатель преломления как функция положения на пути между точками А и B.

Уравнения Эйлера-Лагранжа

Общие результаты, представленные выше для Принцип Гамильтона может быть применен к оптике с помощью лагранжиана, определенного в Принцип Ферма. Уравнения Эйлера-Лагранжа с параметром σ =Икс₃ и N= 2 применительно к принципу Ферма приводит к

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x_{k}}}-{\frac {d}{dx_{3}}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}=0}$

с k= 1,2 и где L - оптический лагранжиан и ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3}}$.

Оптический импульс

Оптический импульс определяется как

${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}}$

и из определения оптического лагранжиана ${\displaystyle L=n{\sqrt {1+{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}}}}$ это выражение можно переписать как

${\displaystyle p_{k}=n{\frac {{\dot {x}}_{k}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{ds}}}$

Оптический импульс

или в векторной форме

${\displaystyle \mathbf {p} =n{\frac {\mathbf {ds} }{ds}}=\left(p_{1},p_{2},p_{3}\right)}$

${\displaystyle =\left(n\cos \alpha _{1},n\cos \alpha _{2},n\cos \alpha _{3}\right)=n\mathbf {\hat {e}} }$

куда ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} }$ это единичный вектор и углы α₁, α₂ и α₃ углы п делает ось Икс₁, Икс₂ и Икс₃ соответственно, как показано на рисунке «оптический момент». Следовательно, оптический импульс - это вектор норма

${\displaystyle \|\mathbf {p} \|={\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}}}=n}$

куда п - показатель преломления, при котором п рассчитывается. Вектор п указывает в направлении распространения света. Если свет распространяется в оптика с градиентным индексом путь светового луча изогнут и вектор п касается светового луча.

Выражение для длины оптического пути также можно записать как функцию оптического импульса. Учитывая, что ${\displaystyle {\dot {x}}_{3}=dx_{3}/dx_{3}=1}$ выражение для оптического лагранжиана можно переписать как

${\displaystyle L=n{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}={\dot {x}}_{1}{\frac {n{\dot {x}}_{1}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\dot {x}}_{2}{\frac {n{\dot {x}}_{2}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\frac {n{\dot {x}}_{3}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}}$

${\displaystyle ={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+{\dot {x}}_{3}p_{3}={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+p_{3}}$

а выражение для длины оптического пути имеет вид

${\displaystyle S=\int L\,dx_{3}=\int \mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} }$

Уравнения Гамильтона

Аналогично тому, что происходит в Гамильтонова механика, также в оптике гамильтониан определяется выражением, приведенным над за N= 2, соответствующие функциям ${\displaystyle x_{1}\left(x_{3}\right)}$ и ${\displaystyle x_{2}\left(x_{3}\right)}$ быть определенным

${\displaystyle H={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}-L}$

Сравнивая это выражение с ${\displaystyle L={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+p_{3}}$ для лагранжевых результатов в

${\displaystyle H=-p_{3}=-{\sqrt {n^{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}}}$

И соответствующие уравнения Гамильтона с параметром σ =Икс₃ и k= 1,2 применительно к оптике^[5][6]

${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\dot {p}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot {x}}_{k}}$

с ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/dx_{3}}$ и ${\displaystyle {\dot {p}}_{k}=dp_{k}/dx_{3}}$.

Приложения

Предполагается, что свет движется по Икс₃ ось, дюйм Принцип Гамильтона выше, координаты ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ взять на себя роль обобщенных координат ${\displaystyle q_{k}}$ пока ${\displaystyle x_{3}}$ играет роль параметра ${\displaystyle \sigma }$, то есть параметр σ =Икс₃ и N=2.

Преломление и отражение

Основные статьи: Закон Снеллиуса и Зеркальное отражение

Если самолет Икс₁Икс₂ разделяет две среды показателя преломления п_А ниже и п_B над ним показатель преломления определяется как ступенчатая функция

${\displaystyle n(x_{3})={\begin{cases}n_{A}&{\mbox{if }}x_{3}<0\\n_{B}&{\mbox{if }}x_{3}>0\\\end{cases}}}$

и из Уравнения Гамильтона

${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\sqrt {n(x_{3})^{2}-p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}}=0}$

и поэтому ${\displaystyle {\dot {p}}_{k}=0}$ или же ${\displaystyle p_{k}={\text{Constant}}}$ за k=1,2.

Входящий световой луч имеет импульс п_А до преломления (ниже плоскости Икс₁Икс₂) и импульс п_B после рефракции (над плоскостью Икс₁Икс₂). Луч света делает угол θ_А с осью Икс₃ (нормаль к преломляющей поверхности) до преломления и угол θ_B с осью Икс₃ после преломления. Поскольку п₁ и п₂ компоненты импульса постоянны, только п₃ меняется с п_3А к п_3B.

Преломление

Рисунок «преломление» показывает геометрию этого преломления, от которой ${\displaystyle d=\|\mathbf {p} _{A}\|\sin \theta _{A}=\|\mathbf {p} _{B}\|\sin \theta _{B}}$. С ${\displaystyle \|\mathbf {p} _{A}\|=n_{A}}$ и ${\displaystyle \|\mathbf {p} _{B}\|=n_{B}}$, это последнее выражение можно записать как

${\displaystyle n_{A}\sin \theta _{A}=n_{B}\sin \theta _{B}}$

который Закон Снеллиуса из преломление.

На рисунке "преломление" нормаль к преломляющей поверхности указывает в направлении оси Икс₃, а также вектора ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {p} _{A}-\mathbf {p} _{B}}$. Единица нормальная ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {v} /\|\mathbf {v} \|}$ к преломляющей поверхности может быть получено из импульсов входящих и выходящих лучей:

${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {p} _{A}-\mathbf {p} _{B}}{\|\mathbf {p} _{A}-\mathbf {p} _{B}\|}}={\frac {n_{A}\mathbf {i} -n_{B}\mathbf {r} }{\|n_{A}\mathbf {i} -n_{B}\mathbf {r} \|}}}$

куда я и р - орты в направлениях падающего и преломленного лучей. Также исходящий луч (в направлении ${\displaystyle \mathbf {p} _{B}}$) содержится в плоскости, определяемой падающим лучом (в направлении ${\displaystyle \mathbf {p} _{A}}$) и нормальный ${\displaystyle \mathbf {n} }$ на поверхность.

Аналогичный аргумент можно использовать для отражение в выводе закона зеркальное отражение, только сейчас с п_А=п_B, в результате чего θ_А=θ_B. Кроме того, если я и р - единичные векторы в направлениях падающего и преломленного луча соответственно, соответствующая нормаль к поверхности дается тем же выражением, что и для преломления, только с п_А=п_B

${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {i} -\mathbf {r} }{\|\mathbf {i} -\mathbf {r} \|}}}$

В векторной форме, если я - единичный вектор, указывающий в направлении падающего луча, и п единица нормали к поверхности, направление р преломленного луча определяется выражением:^[3]

${\displaystyle \mathbf {r} ={\frac {n_{A}}{n_{B}}}\mathbf {i} +\left(-\left(\mathbf {i} \cdot \mathbf {n} \right){\frac {n_{A}}{n_{B}}}+{\sqrt {\Delta }}\right)\mathbf {n} }$

с

${\displaystyle \Delta =1-\left({\frac {n_{A}}{n_{B}}}\right)^{2}\left(1-\left(\mathbf {i} \cdot \mathbf {n} \right)^{2}\right)}$

Если я·п<0, тогда -п следует использовать в расчетах. Когда ${\displaystyle \Delta <0}$, свет страдает полное внутреннее отражение а выражение для отраженного луча - это отражение:

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {i} -2\left(\mathbf {i} \cdot \mathbf {n} \right)\mathbf {n} }$

Лучи и волновые фронты

Из определения длины оптического пути ${\displaystyle S=\int L\,dx_{3}}$

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial x_{k}}}=\int {\frac {\partial L}{\partial x_{k}}}\,dx_{3}=\int {\frac {dp_{k}}{dx_{3}}}\,dx_{3}=p_{k}}$

Лучи и волновые фронты

с k= 1,2, где Уравнения Эйлера-Лагранжа ${\displaystyle \partial L/\partial x_{k}=dp_{k}/dx_{3}}$ с k= 1,2. Кроме того, из последнего Уравнения Гамильтона ${\displaystyle \partial H/\partial x_{3}=-\partial L/\partial x_{3}}$ и из ${\displaystyle H=-p_{3}}$ над

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial x_{3}}}=\int {\frac {\partial L}{\partial x_{3}}}\,dx_{3}=\int {\frac {dp_{3}}{dx_{3}}}\,dx_{3}=p_{3}}$

объединяя уравнения для компонент импульса п приводит к

${\displaystyle \mathbf {p} =\nabla S}$

С п вектор, касательный к световым лучам, поверхности S= Константа должна быть перпендикулярна этим световым лучам. Эти поверхности называются волновые фронты. Рисунок «Лучи и волновые фронты» иллюстрирует эту взаимосвязь. Также показан оптический импульс п, касательной к световому лучу и перпендикулярной фронту волны.

Векторное поле ${\displaystyle \mathbf {p} =\nabla S}$ является консервативное векторное поле. В градиентная теорема затем можно применить к длине оптического пути (как указано над ) в результате чего

${\displaystyle S=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }\nabla S\cdot d\mathbf {s} =S(\mathbf {B} )-S(\mathbf {A} )}$

и длина оптического пути S рассчитывается по кривой C между точками А и B является функцией только своих конечных точек А и B а не форму кривой между ними. В частности, если кривая замкнута, она начинается и заканчивается в одной и той же точке, или А=B так что

${\displaystyle S=\oint \nabla S\cdot d\mathbf {s} =0}$

Этот результат можно применить к замкнутому пути. ABCDA как на рисунке «длина оптического пути»

${\displaystyle S=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} +\int _{\mathbf {B} }^{\mathbf {C} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} +\int _{\mathbf {C} }^{\mathbf {D} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} +\int _{\mathbf {D} }^{\mathbf {A} }\mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =0}$

Длина оптического пути

для сегмента кривой AB оптический импульс п перпендикулярно смещению ds по кривой AB, или же ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =0}$. То же верно и для сегмента CD. Для сегмента до н.э оптический импульс п имеет то же направление, что и смещение ds и ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =nds}$. Для сегмента DA оптический импульс п имеет направление, противоположное смещению ds и ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =-n\,ds}$. Однако изменение направления интегрирования так, чтобы интеграл был взят из А к D, ds меняет направление и ${\displaystyle \mathbf {p} \cdot d\mathbf {s} =n\,ds}$. Из этих соображений

${\displaystyle \int _{\mathbf {B} }^{\mathbf {C} }n\,ds=\int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {D} }n\,ds}$

или же

${\displaystyle S_{\mathbf {BC} }=S_{\mathbf {AD} }}$

и длина оптического пути S_{до н.э} между точками B и C вдоль соединяющего их луча такая же, как и длина оптического пути S_{ОБЪЯВЛЕНИЕ} между точками А и D по лучу, соединяющему их. Длина оптического пути постоянна между фронтами волн.

Фазовое пространство

Основная статья: Фазовое пространство

На рисунке «2D фазовое пространство» вверху показаны световые лучи в двухмерном пространстве. Здесь Икс₂= 0 и п₂= 0, поэтому свет распространяется по плоскости Икс₁Икс₃ по направлениям увеличения Икс₃ значения. В этом случае ${\displaystyle p_{1}^{2}+p_{3}^{2}=n^{2}}$ а направление светового луча полностью определяется п₁ компонент импульса ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{3})}$ поскольку п₂= 0. Если п₁ дано, п₃ могут быть рассчитаны (учитывая значение показателя преломления п) и поэтому п₁ Достаточно определить направление светового луча. Показатель преломления среды, в которой проходит луч, определяется выражением ${\displaystyle \|\mathbf {p} \|=n}$.

2D фазовое пространство

Например, луч р_C пересекает ось Икс₁ по координате Икс_B с оптическим импульсом п_C, острие которого находится на окружности радиуса п по центру позиции Икс_B. Координаты Икс_B и горизонтальная координата п_1C импульса п_C полностью определить луч р_C как он пересекает ось Икс₁. Тогда этот луч можно определить точкой р_C=(Икс_B,п_1C) в космосе Икс₁п₁ как показано в нижней части рисунка. Космос Икс₁п₁ называется фазовое пространство и разные световые лучи могут быть представлены разными точками в этом пространстве.

Таким образом, луч р_D показанный вверху представлен точкой р_D в фазовом пространстве внизу. Все лучи пересекают ось Икс₁ по координате Икс_B содержится между лучами р_C и р_D представлены вертикальной линией, соединяющей точки р_C и р_D в фазовом пространстве. Соответственно, все лучи, пересекающие ось Икс₁ по координате Икс_А содержится между лучами р_А и р_B представлены вертикальной линией, соединяющей точки р_А и р_B в фазовом пространстве. В общем, все лучи пересекают ось Икс₁ между Икс_L и Икс_р представлены томом р в фазовом пространстве. Лучи на границе ∂р объема р называются краевыми лучами. Например, на позиции Икс_А оси Икс₁, лучи р_А и р_B являются краевыми лучами, поскольку все остальные лучи находятся между этими двумя. (Луч, параллельный x1, не будет между двумя лучами, поскольку импульс не находится между двумя лучами)

В трехмерной геометрии оптический момент определяется выражением ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},p_{2},p_{3})}$ с ${\displaystyle p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}=n^{2}}$. Если п₁ и п₂ даны, п₃ могут быть рассчитаны (учитывая значение показателя преломления п) и поэтому п₁ и п₂ Достаточно определить направление светового луча. Луч, идущий вдоль оси Икс₃ тогда определяется точкой (Икс₁,Икс₂) в самолете Икс₁Икс₂ и направление (п₁,п₂). Затем он может быть определен точкой в ​​четырехмерном фазовое пространство Икс₁Икс₂п₁п₂.

Сохранение etendue

Основная статья: Etendue

На рисунке «изменение объема» показан объем V связаны областью А. Со временем, если граница А движется, объем V может различаться. В частности, бесконечно малая площадь dA с направленным наружу блоком нормальный п движется со скоростью v.

Изменение объема

Это приводит к изменению объема ${\displaystyle dV=dA(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )dt}$. Используя Теорема Гаусса, изменение во времени общего объема V объем, движущийся в пространстве,

${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}=\int _{A}\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} \,dA=\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {v} \,dV}$

Самый правый член - это объемный интеграл по объему V а средний член - это поверхностный интеграл через границу А объема V. Также, v - скорость, с которой точки в V движутся.

В координатах оптики ${\displaystyle x_{3}}$ берет на себя роль времени. В фазовом пространстве луч света идентифицируется точкой ${\displaystyle (x_{1},x_{2},p_{1},p_{2})}$ который движется с "скорость " ${\displaystyle \mathbf {v} =({\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},{\dot {p}}_{1},{\dot {p}}_{2})}$ где точка представляет собой производную относительно ${\displaystyle x_{3}}$. Набор световых лучей, распространяющихся по ${\displaystyle dx_{1}}$ в координации ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle dx_{2}}$ в координации ${\displaystyle x_{2}}$, ${\displaystyle dp_{1}}$ в координации ${\displaystyle p_{1}}$ и ${\displaystyle dp_{2}}$ в координации ${\displaystyle p_{2}}$ занимает объем ${\displaystyle dV=dx_{1}dx_{2}dp_{1}dp_{2}}$ в фазовом пространстве. В общем, большой набор лучей занимает большой объем ${\displaystyle V}$ в фазовом пространстве, к которому Теорема Гаусса может применяться

${\displaystyle {\frac {dV}{dx_{3}}}=\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {v} \,dV}$

и используя Уравнения Гамильтона

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} ={\frac {\partial {\dot {x}}_{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial {\dot {x}}_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{1}}{\partial p_{1}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{2}}{\partial p_{2}}}={\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{1}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{2}}}-{\frac {\partial }{\partial p_{1}}}{\frac {\partial H}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial }{\partial p_{2}}}{\frac {\partial H}{\partial x_{2}}}=0}$

или же ${\displaystyle dV/dx_{3}=0}$ и ${\displaystyle dV=dx_{1}dx_{2}dp_{1}dp_{2}={\text{Constant}}}$ это означает, что объем фазового пространства сохраняется при прохождении света по оптической системе.

Объем, занимаемый набором лучей в фазовом пространстве, называется продолжать, которая сохраняется при прохождении световых лучей в оптической системе вдоль направления Икс₃. Это соответствует Теорема Лиувилля, что также относится к Гамильтонова механика.

Однако смысл теоремы Лиувилля в механике довольно сильно отличается от теоремы о сохранении étendue. Теорема Лиувилля является статистической по своей природе и относится к эволюции во времени ансамбля механических систем с одинаковыми свойствами, но с разными начальными условиями. Каждая система представлена ​​одной точкой в ​​фазовом пространстве, и теорема утверждает, что средняя плотность точек в фазовом пространстве постоянна во времени. Примером могут служить молекулы идеального классического газа, находящиеся в равновесии в контейнере. Каждая точка в фазовом пространстве, которая в этом примере имеет 2N измерений, где N - количество молекул, представляет одну из ансамбля идентичных контейнеров, ансамбля, достаточно большого, чтобы позволить получить статистическое среднее значение плотности репрезентативных точек. Теорема Лиувилля утверждает, что если все контейнеры остаются в равновесии, средняя плотность точек остается постоянной.^[3]

Изображающая и невизуальная оптика

Основная статья: Невизуальная оптика

На рисунке "сохранение внешнего вида" слева схематично изображена двумерная оптическая система, в которой Икс₂= 0 и п₂= 0, поэтому свет движется по плоскости Икс₁Икс₃ по направлениям увеличения Икс₃ значения.

Сохранение etendue

Световые лучи, пересекающие входную апертуру оптики в точке Икс₁=Икс_я содержатся между краевыми лучами р_А и р_B представлен вертикальной линией между точками р_А и р_B в фазовом пространстве входной апертуры (правый нижний угол рисунка). Все лучи, пересекающие входную апертуру, представлены в фазовом пространстве областью р_я.

Кроме того, световые лучи, пересекающие выходную апертуру оптики в точке Икс₁=Икс_О содержатся между краевыми лучами р_А и р_B представлен вертикальной линией между точками р_А и р_B в фазовом пространстве выходной апертуры (правый верхний угол рисунка). Все лучи, пересекающие выходную апертуру, представлены в фазовом пространстве областью р_О.

Сохранение длины в оптической системе означает, что объем (или площадь в этом двумерном случае) в фазовом пространстве, занимаемый р_я на входной апертуре должен быть таким же, как объем в фазовом пространстве, занимаемый р_О на выходной апертуре.

В оптике формирования изображений все световые лучи, пересекающие входную апертуру на Икс₁=Икс_я перенаправляются им к выходной апертуре на Икс₁=Икс_О куда Икс_я=м х_О. Это гарантирует, что изображение входа формируется на выходе с увеличением м. В фазовом пространстве это означает, что вертикальные линии в фазовом пространстве на входе преобразуются в вертикальные линии на выходе. Это было бы в случае вертикальной линии р_А р_B в р_я преобразован в вертикальную линию р_А р_B в р_О.

В не отображающая оптика, цель состоит не в том, чтобы сформировать изображение, а просто перенести весь свет из входной апертуры в выходную апертуру. Это достигается преобразованием краевых лучей ∂р_я из р_я к краевым лучам ∂р_О из р_О. Это известно как принцип краевого луча.

Обобщения

Выше предполагалось, что свет движется по Икс₃ ось, дюйм Принцип Гамильтона выше, координаты ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ взять на себя роль обобщенных координат ${\displaystyle q_{k}}$ пока ${\displaystyle x_{3}}$ играет роль параметра ${\displaystyle \sigma }$, то есть параметр σ =Икс₃ и N= 2. Однако возможны различные параметризации световых лучей, а также использование обобщенные координаты.

Общая параметризация лучей

Можно рассмотреть более общую ситуацию, в которой путь светового луча параметризуется как ${\displaystyle s=\left(x_{1}\left(\sigma \right),x_{2}\left(\sigma \right),x_{3}\left(\sigma \right)\right)}$ в котором σ - общий параметр. В этом случае по сравнению с Принцип Гамильтона выше, координаты ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$ и ${\displaystyle x_{3}}$ взять на себя роль обобщенных координат ${\displaystyle q_{k}}$ с N= 3. Применение Принцип Гамильтона к оптике в этом случае приводит к

${\displaystyle \delta S=\delta \int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }n\,ds=\delta \int _{\sigma _{A}}^{\sigma _{B}}n{\frac {ds}{d\sigma }}\,d\sigma }$

${\displaystyle =\delta \int _{\sigma _{A}}^{\sigma _{B}}L\left(x_{1},x_{2},x_{3},{\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},{\dot {x}}_{3},\sigma \right)\,d\sigma =0}$

где сейчас ${\displaystyle L=nds/d\sigma }$ и ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma }$ и для которого уравнения Эйлера-Лагранжа, примененные к этой форме принципа Ферма, приводят к

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x_{k}}}-{\frac {d}{d\sigma }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}=0}$

с k= 1,2,3 и где L - оптический лагранжиан. Также в этом случае оптический импульс определяется как

${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}_{k}}}}$

и гамильтониан п определяется выражением, данным над за N= 3, что соответствует функциям ${\displaystyle x_{1}\left(\sigma \right)}$, ${\displaystyle x_{2}\left(\sigma \right)}$ и ${\displaystyle x_{3}\left(\sigma \right)}$ быть определенным

${\displaystyle P={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+{\dot {x}}_{3}p_{3}-L}$

И соответствующие уравнения Гамильтона с k= 1,2,3 прикладная оптика

${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}=-{\dot {p}}_{k}\,,\quad {\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}={\dot {x}}_{k}}$

с ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma }$ и ${\displaystyle {\dot {p}}_{k}=dp_{k}/d\sigma }$.

Оптический лагранжиан определяется выражением

${\displaystyle L=n{\frac {ds}{d\sigma }}=n\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right){\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}=L\left(x_{1},x_{2},x_{3},{\dot {x}}_{1},{\dot {x}}_{2},{\dot {x}}_{3}\right)}$

и не зависит явно от параметра σ. По этой причине не все решения уравнений Эйлера-Лагранжа будут возможными световыми лучами, так как их вывод предполагал явную зависимость L на σ чего не бывает в оптике.

Компоненты оптического момента могут быть получены из

${\displaystyle p_{k}=n{\frac {{\dot {x}}_{k}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{\sqrt {dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}}}}=n{\frac {dx_{k}}{ds}}}$

куда ${\displaystyle {\dot {x}}_{k}=dx_{k}/d\sigma }$. Выражение для лагранжиана можно переписать как

${\displaystyle L=n{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}={\dot {x}}_{1}{\frac {n{\dot {x}}_{1}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\dot {x}}_{2}{\frac {n{\dot {x}}_{2}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}+{\dot {x}}_{3}{\frac {n{\dot {x}}_{3}}{\sqrt {{\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {x}}_{3}^{2}}}}}$

${\displaystyle ={\dot {x}}_{1}p_{1}+{\dot {x}}_{2}p_{2}+{\dot {x}}_{3}p_{3}}$

Сравнивая это выражение для L с этим для гамильтониана п можно сделать вывод, что

${\displaystyle P=0}$

Из выражений для компонентов ${\displaystyle p_{k}}$ результатов оптического импульса

${\displaystyle p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}-n^{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=0}$

Оптический гамильтониан выбран как

${\displaystyle P=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}-n^{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=0}$

хотя можно было сделать и другой выбор.^[3][4] Уравнения Гамильтона с k= 1,2,3 определено выше вместе с ${\displaystyle P=0}$ определить возможные световые лучи.

Обобщенные координаты

Как в Гамильтонова механика, также можно записать уравнения гамильтоновой оптики в терминах обобщенные координаты ${\displaystyle \left(q_{1}\left(\sigma \right),q_{2}\left(\sigma \right),q_{3}\left(\sigma \right)\right)}$, обобщенные импульсы ${\displaystyle \left(u_{1}\left(\sigma \right),u_{2}\left(\sigma \right),u_{3}\left(\sigma \right)\right)}$ и гамильтониан п в качестве^[3][4]

${\displaystyle {\frac {dq_{1}}{d\sigma }}={\frac {\partial P}{\partial u_{1}}}\quad \quad {\frac {du_{1}}{d\sigma }}=-{\frac {\partial P}{\partial q_{1}}}}$

${\displaystyle {\frac {dq_{2}}{d\sigma }}={\frac {\partial P}{\partial u_{2}}}\quad \quad {\frac {du_{2}}{d\sigma }}=-{\frac {\partial P}{\partial q_{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {dq_{3}}{d\sigma }}={\frac {\partial P}{\partial u_{3}}}\quad \quad {\frac {du_{3}}{d\sigma }}=-{\frac {\partial P}{\partial q_{3}}}}$

${\displaystyle P=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} -n^{2}=0}$

где оптический импульс определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {p} =u_{1}\nabla q_{1}+u_{2}\nabla q_{2}+u_{3}\nabla q_{3}}$

${\displaystyle =u_{1}\|\nabla q_{1}\|{\frac {\nabla q_{1}}{\|\nabla q_{1}\|}}+u_{2}\|\nabla q_{2}\|{\frac {\nabla q_{2}}{\|\nabla q_{2}\|}}+u_{3}\|\nabla q_{3}\|{\frac {\nabla q_{3}}{\|\nabla q_{3}\|}}}$

${\displaystyle =u_{1}a_{1}\mathbf {\hat {e}} _{1}+u_{2}a_{2}\mathbf {\hat {e}} _{2}+u_{3}a_{3}\mathbf {\hat {e}} _{3}}$

и ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{1}}$, ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{2}}$ и ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{3}}$ находятся единичные векторы. Частный случай получается, когда эти векторы образуют ортонормированный базис, то есть все они перпендикулярны друг другу. В таком случае, ${\displaystyle u_{k}a_{k}/n}$ косинус угла оптического момента ${\displaystyle \mathbf {p} }$ делает единичный вектор ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{k}}$.

Смотрите также

• Учебные материалы, связанные с простой одномерный вывод гамильтоновой оптики в Викиверситете
• Гамильтонова механика
• Вариационное исчисление

Рекомендации

1. Х. А. Бухдаль, Введение в гамильтонову оптику, Dover Publications, 1993 г., ISBN  978-0486675978.
2. Васудеван Лакшминараянан и др., Лагранжева оптика, Springer, Нидерланды, 2011 г., ISBN  978-0792375821.
3. Чавес, Хулио (2015). Введение в не отображающую оптику, второе издание. CRC Press. ISBN  978-1482206739.
4. Роланд Уинстон и др., Невизуальная оптика, Academic Press, 2004 г., ISBN  978-0127597515.
5. Дитрих Маркузе, Оптика передачи света, Компания Van Nostrand Reinhold, Нью-Йорк, 1972 г., ISBN  978-0894643057.
6. Рудольф Карл Люнебург,Математическая теория оптики, University of California Press, Беркли, Калифорния, 1964, стр. 90.