Молодая мера - Young measure

В математический анализ, а Молодая мера параметризованный мера который связан с некоторыми подпоследовательностями данной ограниченной последовательности измеримых функций. Меры Юнга находят применение в вариационное исчисление и изучение нелинейный уравнения в частных производных, а также в различных оптимизация (или же оптимальный контроль проблемы). Они названы в честь Лоуренс Чисхолм Янг кто изобрел их в терминах линейных функционалов еще в 1937 г., еще до теория меры была разработана.

Определение

Мы позволяем ${displaystyle {f_{k}}_{k=1}^{infty }}$ - ограниченная последовательность в ${displaystyle L^{infty }(U,mathbb {R} ^{m})}$, куда ${displaystyle U}$ обозначает открытое ограниченное подмножество ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$. Тогда существует подпоследовательность ${displaystyle {f_{k_{j}}}_{j=1}^{infty }subset {f_{k}}_{k=1}^{infty }}$ и почти для каждого ${displaystyle xin U}$ а Вероятностная мера Бореля ${displaystyle u _{x}}$ на ${displaystyle mathbb {R} ^{m}}$ так что для каждого ${displaystyle Fin C(mathbb {R} ^{m})}$ у нас есть ${displaystyle Fcirc f_{k_{j}}{overset {ast }{ightharpoonup }}int _{mathbb {R} ^{m}}F(y)du _{cdot }(y)}$ в ${displaystyle L^{infty }(U)}$. Меры ${displaystyle u _{x}}$ называются мерами Юнга, порожденными последовательностью ${displaystyle {f_{k}}_{k=1}^{infty }}$.

Пример

Для каждой минимизирующей последовательности ${displaystyle u_{n}}$ из ${displaystyle I(u)=int _{0}^{1}(u_{x}^{2}-1)^{2}+u^{2}dx}$ при условии ${displaystyle u(0)=u(1)=0}$ , последовательность производных ${displaystyle u'_{n}}$ генерирует меры Юнга ${displaystyle u _{x}={frac {1}{2}}delta _{-1}+{frac {1}{2}}delta _{1}}$. Это фиксирует основные черты всех минимизирующих последовательностей этой проблемы, а именно разработку все более и более тонких наклонов ${displaystyle pm 1}$ (или близко к${displaystyle pm 1}$).

Рекомендации

• Болл, Дж. М. (1989). «Вариант основной теоремы для мер Юнга». In Rascle, M .; Serre, D .; Слемрод, М. (ред.). УЧП и модели континуума фазового перехода. Конспект лекций по физике. 344. Берлин: Springer. С. 207–215.
• К.Кастен, П.Райно де Фитт, М.Валадье (2004). Меры Юнга на топологических пространствах. Дордрехт: Клувер.
• L.C. Эванс (1990). Методы слабой сходимости для нелинейных уравнений в частных производных. Серия региональных конференций по математике. Американское математическое общество.
• С. Мюллер (1999). Вариационные модели микроструктуры и фазовых переходов. Конспект лекций по математике. Springer.
• П. Педрегаль (1997). Параметризованные меры и вариационные принципы. Базель: Биркхойзер. ISBN  978-3-0348-9815-7.
• Т. Рубичек (1997). Расслабление в теории оптимизации и вариационном исчислении. Берлин: В. де Грюйтер. ISBN  3-11-014542-1.

• Валадье, М. (1990). «Молодые меры». Методы невыпуклого анализа.. Конспект лекций по математике. 1446. Берлин: Springer. С. 152–188.
• Янг, Л. К. (1937), «Обобщенные кривые и существование достигнутого абсолютного минимума в вариационном исчислении», Comptes Rendus des Séances de la Société des Sciences et des Lettres de Varsovie, Класс III, XXX (7–9): 211–234, JFM  63.1064.01, Zbl  0019.21901, мемуары, представленные Станислав Сакс на заседании 16 декабря 1937 г. Варшавское общество наук и литературы. Свобода PDF копия предоставляется РКИН - Цифровой репозиторий научных институтов.
• Янг, Л. К. (1969), Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению, Филадельфия – Лондон – Торонто: В. Б. Сондерс, стр. xi + 331, МИСТЕР  0259704, Zbl  0177.37801.

внешняя ссылка

• «Юная мера», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]