Основная лемма вариационного исчисления - Fundamental lemma of calculus of variations

В математика, особенно в вариационное исчисление, вариант δf функции ж можно сосредоточить на сколь угодно малом интервале, но не в одной точке. Соответственно, необходимое условие экстремума (функциональная производная равно нулю) появляется в слабая формулировка (вариационная форма), интегрированная с произвольной функцией δf. В основная лемма вариационного исчисления обычно используется для преобразования этой слабой формулировки в сильную формулировку (дифференциальное уравнение ), без интегрирования с произвольной функцией. Доказательство обычно использует возможность выбора δf сосредоточен на интервале, на котором ж держит знак (положительный или отрицательный). Используются несколько версий леммы. Базовые версии легко сформулировать и доказать. При необходимости используются более мощные версии.

Базовая версия

Если непрерывная функция ${\displaystyle f}$ на открытом интервале ${\displaystyle (a,b)}$ удовлетворяет равенству

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)h(x)\,\operatorname {d} x=0}$

для всех компактно поддерживается гладкие функции ${\displaystyle h}$ на ${\displaystyle (a,b)}$, тогда ${\displaystyle f}$ тождественно нулю.^[1][2]

Здесь «гладкий» можно интерпретировать как «бесконечно дифференцируемый»,^[1] но часто интерпретируется как «дважды непрерывно дифференцируемый» или «непрерывно дифференцируемый» или даже просто «непрерывный»,^[2] поскольку эти более слабые утверждения могут быть достаточно сильными для данной задачи. «Компактно поддерживается» означает «исчезает снаружи. ${\displaystyle [c,d]}$ для некоторых ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ такой, что ${\displaystyle a<c<d<b}$";^[1] но часто достаточно более слабого утверждения, предполагая только то, что ${\displaystyle h}$ (или же ${\displaystyle h}$ и ряд его производных) обращается в нуль на концах ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$;^[2] в этом случае закрытый интервал ${\displaystyle [a,b]}$ используется.

Версия для двух заданных функций

Если пара непрерывных функций ж, грамм на интервале (а,б) удовлетворяет равенству

${\displaystyle \int _{a}^{b}(f(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x))\,\mathrm {d} x=0}$

для всех гладких функций с компактным носителем час на (а,б), тогда грамм дифференцируема, а грамм' = ж повсюду.^[3][4]

Особый случай для грамм = 0 - это просто базовая версия.

Вот частный случай для ж = 0 (часто достаточно).

Если непрерывная функция грамм на интервале (а,б) удовлетворяет равенству

${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,h'(x)\,\mathrm {d} x=0}$

для всех гладких функций час на (а,б) такие, что ${\displaystyle h(a)=h(b)=0}$, тогда грамм является постоянный.^[5]

Если, кроме того, непрерывная дифференцируемость из грамм предполагается, то интеграция по частям сводит оба оператора к базовой версии; этот случай приписывается Жозеф-Луи Лагранж, а доказательство дифференцируемости грамм связано с Поль дю Буа-Реймон.

Версии для разрывных функций

Данные функции (ж, грамм) могут быть прерывистыми при условии, что они локально интегрируемый (на заданном интервале). В этом случае, Интеграция Лебега имеется ввиду, выводы остаются в силе почти всюду (таким образом, во всех точках непрерывности), а дифференцируемость грамм интерпретируется как местный абсолютная непрерывность (а не непрерывная дифференцируемость).^[6][7] Иногда предполагается, что данные функции кусочно-непрерывный, в таком случае Интеграция Римана достаточно, и выводы формулируются всюду, кроме конечного множества точек разрыва.^[4]

Высшие производные

Если набор непрерывных функций ${\displaystyle f_{0},f_{1},\dots ,f_{n}}$ на интервале (а,б) удовлетворяет равенству

${\displaystyle \int _{a}^{b}(f_{0}(x)\,h(x)+f_{1}(x)\,h'(x)+\dots +f_{n}(x)\,h^{(n)}(x))\,\mathrm {d} x=0}$

для всех гладких функций с компактным носителем час на (а,б), то существуют непрерывно дифференцируемые функции ${\displaystyle u_{0},u_{1},\dots ,u_{n-1}}$ на (а,б) такие, что

${\displaystyle f_{0}=u'_{0},\;f_{1}=u_{0}+u'_{1},\;\dots ,\;f_{n-1}=u_{n-2}+u'_{n-1},\;f_{n}=u_{n-1}}$

повсюду.^[8]

Этого необходимого условия также достаточно, поскольку подынтегральное выражение принимает вид ${\displaystyle (u_{0}h)'+(u_{1}h')'+\dots +(u_{n-1}h^{(n-1)})'.}$

Дело п = 1 - это просто версия для двух заданных функций, поскольку ${\displaystyle f=f_{0}=u'_{0}}$ и ${\displaystyle f_{1}=u_{0},}$ таким образом, ${\displaystyle f_{0}-f'_{1}=0.}$

Напротив, случай п= 2 не приводит к соотношению ${\displaystyle f_{0}-f'_{1}+f''_{2}=0,}$ поскольку функция ${\displaystyle f_{2}=u_{1}}$ не обязательно дифференцировать дважды. Достаточное условие ${\displaystyle f_{0}-f'_{1}+f''_{2}=0}$ не обязательно. Скорее, необходимое и достаточное условие можно записать как ${\displaystyle f_{0}-(f_{1}-f'_{2})'=0}$ за п=2, ${\displaystyle f_{0}-(f_{1}-(f_{2}-f'_{3})')'=0}$ за п= 3 и так далее; в общем, скобки раскрыть нельзя из-за недифференцируемости.

Векторозначные функции

Обобщение на векторнозначные функции ${\displaystyle (a,b)\to \mathbb {R} ^{d}}$ прямолинейно; результаты для скалярных функций применяются к каждой координате отдельно,^[9] или рассматривает векторнозначный случай с самого начала.^[10]

Функции с несколькими переменными

Если непрерывный функция с несколькими переменными ж на открытой площадке ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$ удовлетворяет равенству

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\,h(x)\,\mathrm {d} x=0}$

для всех гладких функций с компактным носителем час на Ω, то ж тождественно нулю.

Аналогично базовому варианту можно рассматривать непрерывную функцию ж на замыкании Ω, полагая час обращается в нуль на границе Ω (а не с компактным носителем).^[11]

Вот версия для разрывных функций с несколькими переменными.

Позволять ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$ быть открытым набором, и ${\displaystyle f\in L^{2}(\Omega )}$ удовлетворяют равенству

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\,h(x)\,\mathrm {d} x=0}$

для всех гладких функций с компактным носителем час на Ω. потом ж= 0 (в L², то есть почти везде).^[12]

Приложения

Эта лемма используется для доказательства того, что экстремумы из функциональный

${\displaystyle J[y]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}L(t,y(t),{\dot {y}}(t))\,\mathrm {d} t}$

находятся слабые решения ${\displaystyle y:[x_{0},x_{1}]\to V}$ (для подходящего векторного пространства ${\displaystyle V}$) из Уравнение Эйлера – Лагранжа.

${\displaystyle {\partial L(t,y(t),{\dot {y}}(t)) \over \partial y}={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial L(t,y(t),{\dot {y}}(t)) \over \partial {\dot {y}}}.}$

Уравнение Эйлера – Лагранжа играет важную роль в классическая механика и дифференциальная геометрия.

Примечания

1. Йост и Ли-Йост 1998, Лемма 1.1.1 на стр.6
2. Гельфанд и Фомин 1963 г., Лемма 1 на с.9 (и замечание)
3. Гельфанд и Фомин 1963 г., Лемма 4 на с.11
4. Hestenes 1966, Лемма 15.1 на с.50
5. Гельфанд и Фомин 1963 г., Лемма 2 на стр.10
6. Йост и Ли-Йост 1998, Лемма 1.2.1 на с.13
7. Джакинта и Хильдебрандт, 1996 г., раздел 2.3: Смягчители
8. Hestenes 1966, Лемма 13.1 на с.105
9. Гельфанд и Фомин 1963 г., стр.35
10. Йост и Ли-Йост 1998
11. Гельфанд и Фомин 1963 г., Лемма на стр.22; доказательство применимо в обеих ситуациях.
12. Йост и Ли-Йост 1998, Лемма 3.2.3 на с.170

Рекомендации

• Йост, Юрген; Ли-Йост, Сяньцин (1998), Вариационное исчисление, Кембриджский университет
• Гельфанд, I.M .; Фомин, С.В. (1963), Вариационное исчисление, Прентис-Холл (пер. с русского).
• Hestenes, Магнус Р. (1966), Вариационное исчисление и теория оптимального управления, Джон Вили
• Джакинта, Мариано; Хильдебрандт, Стефан (1996), Вариационное исчисление I, Springer