в вариационное исчисление, то Уравнение Эйлера[1] второго порядка уравнение в частных производных чьи решения являются функции для которых данный функциональный является стационарный. Его разработал швейцарский математик. Леонард Эйлер и итальянский математик Жозеф-Луи Лагранж в 1750-х гг.
Поскольку дифференцируемый функционал стационарен на своем локальном экстремумы, уравнение Эйлера – Лагранжа полезно для решения оптимизация задачи, в которых, имея некоторый функционал, ищут функцию, минимизирующую или максимизирующую его. Это аналогично Теорема Ферма в исчисление, утверждая, что в любой точке, где дифференцируемая функция достигает локального экстремума, ее производная равно нулю.
В Лагранжева механика, в соответствии с Принцип Гамильтона стационарного действия эволюция физической системы описывается решениями уравнения Эйлера для действие системы. В этом контексте уравнения Эйлера обычно называют Уравнения Лагранжа. В классическая механика, это эквивалентно Законы движения Ньютона, но у него есть то преимущество, что он принимает ту же форму в любой системе обобщенные координаты, и он лучше подходит для обобщений. В классическая теория поля существует аналогичное уравнение рассчитать динамику поле.
История
Уравнение Эйлера – Лагранжа было разработано в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем в связи с их исследованиями таутохрона проблема. Это проблема определения кривой, на которой взвешенная частица упадет в фиксированную точку за фиксированный промежуток времени, независимо от начальной точки.
Лагранж решил эту проблему в 1755 году и отправил решение Эйлеру. Оба далее развили метод Лагранжа и применили его к механика, что привело к формулировке Лагранжева механика. Их переписка в конечном итоге привела к вариационное исчисление, термин, введенный самим Эйлером в 1766 году.[2]
Заявление
Уравнение Эйлера – Лагранжа - это уравнение, которому удовлетворяет функция qиз настоящий аргумент т, которая является стационарной точкой функциональный
![{ displaystyle displaystyle S ({ boldsymbol {q}}) = int _ {a} ^ {b} L (t, { boldsymbol {q}} (t), { dot { boldsymbol {q}) }} (t)) , mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed91eb6ce4306f6f775d94976381d0e9ba98ad50)
куда:
это функция, которую нужно найти:
![{ begin {align} { boldsymbol {q}} двоеточие [a, b] subset mathbb {R} & to X t & mapsto x = { boldsymbol {q}} (t) end {выровнено}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0449510bda481dee50eb2fea73b3226e90ea65a)
- такой, что
дифференцируема,
, и
.
является производной от
:![{ displaystyle { begin {align} { dot {q}} двоеточие [a, b] & to T_ {q} X t & mapsto v = { dot {q}} (t). конец {выровнен}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bad082ea012a834687ca3ed1426ba44efbccf242)
обозначает касательное расслоение к
по кривой
, (непересекающееся) объединение всех касательных пространств
(видеть касательное пространство ) к
в точках
кривой
.
является действительной функцией с непрерывный первый частные производные:![{ displaystyle { begin {align} L двоеточие [a, b] times TX & to mathbb {R} (t, (x, v)) & mapsto L (t, x, v). конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f0a54fcbcf7d9ca5e2b5111e20be7d1b9c86d04)
будучи касательный пучок из
определяется
.
Таким образом, уравнение Эйлера – Лагранжа имеет вид
![{ displaystyle L_ {x} (t, q (t), { dot {q}} (t)) - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} L_ {v} (t, q (t), { dot {q}} (t)) = 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7def7f7cc1b58786c4605b1e43b6853d3ab68dd)
Здесь
и
обозначим частные производные от
по второму и третьему аргументам соответственно.
Если размер пространства
больше 1, это система дифференциальных уравнений, по одному для каждого компонента:
![{ displaystyle { frac { partial L} { partial q_ {i}}} (t, { boldsymbol {q}} (t), { dot { boldsymbol {q}}} (t)) - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} { frac { partial L} { partial { dot {q}} _ {i}}} (t, { boldsymbol { q}} (t), { dot { boldsymbol {q}}} (t)) = 0 quad { text {for}} i = 1, dots, n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b67c88914a9bdc84f6d001059f26b26ad069a180)
Вывод одномерного уравнения Эйлера – Лагранжа. |
---|
Вывод одномерного уравнения Эйлера – Лагранжа - одно из классических доказательств в математика. Он полагается на основная лемма вариационного исчисления. Мы хотим найти функцию которое удовлетворяет граничным условиям , , и который экстремирует функционал ![{ Displaystyle J = int _ {a} ^ {b} F (x, f (x), f '(x)) , mathrm {d} x .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/827aae3a00452d8e34a41f72fd301541c5ea41e4)
Мы предполагаем, что дважды непрерывно дифференцируемо.[3] Можно использовать более слабое предположение, но доказательство становится сложнее.[нужна цитата ] Если экстремизирует функционал с учетом граничных условий, то любое небольшое возмущение который сохраняет граничные значения, должен либо увеличивать (если является минимизатором) или уменьшить (если является максимайзером). Позволять быть результатом такого возмущения из , куда маленький и дифференцируемая функция, удовлетворяющая . Затем определите ![{ Displaystyle J _ { varepsilon} = int _ {a} ^ {b} F (x, g _ { varepsilon} (x), g _ { varepsilon} '(x)) , mathrm {d} x = int _ {a} ^ {b} F _ { varepsilon} , mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a67361363b29c453fc2160dede709f041a225f0)
куда . Теперь мы хотим вычислить полная производная из относительно ε. ![{ displaystyle { frac { mathrm {d} J _ { varepsilon}} { mathrm {d} varepsilon}} = { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} varepsilon}} int _ {a} ^ {b} F _ { varepsilon} , mathrm {d} x = int _ {a} ^ {b} { frac { mathrm {d} F _ { varepsilon}} { mathrm {d} varepsilon}} , mathrm {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/515cd7e8fcf0854b36f5088e95c0898d590bcd05)
Из полной производной следует, что ![{ begin {align} { frac { mathrm {d} F _ { varepsilon}} { mathrm {d} varepsilon}} & = { frac { mathrm {d} x} { mathrm {d} varepsilon}} { frac { partial F _ { varepsilon}} { partial x}} + { frac { mathrm {d} g _ { varepsilon}} { mathrm {d} varepsilon}} { frac { partial F _ { varepsilon}} { partial g _ { varepsilon}}} + { frac { mathrm {d} g _ { varepsilon} '} { mathrm {d} varepsilon}} { frac { partial F _ { varepsilon}} { partial g _ { varepsilon} '}} & = { frac { mathrm {d} g _ { varepsilon}} { mathrm {d} varepsilon}} { frac { partial F _ { varepsilon}} { partial g _ { varepsilon}}} + { frac { mathrm {d} g '_ { varepsilon}} { mathrm {d} varepsilon}} { frac { partial F _ { varepsilon}} { partial g '_ { varepsilon}}} & = eta (x) { frac { partial F _ { varepsilon}} { partial g _ { varepsilon}}} + eta '(x) { frac { partial F _ { varepsilon}} { partial g _ { varepsilon}'}} . конец {выровнено}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b83cdf7d8bc8b3afcd7ee437e004b607d9a98a3)
Так ![{ frac { mathrm {d} J _ { varepsilon}} { mathrm {d} varepsilon}} = int _ {a} ^ {b} left [ eta (x) { frac { partial F _ { varepsilon}} { partial g _ { varepsilon}}} + eta '(x) { frac { partial F _ { varepsilon}} { partial g _ { varepsilon}'}} , right ] , mathrm {d} х .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/347727c7ed98505991b9194ffbb36e2f4be280bc)
Когда ε = 0 имеем граммε = ж, Fε = F (х, f (x), f '(x)) и Jε имеет экстремум значение, так что ![{ frac { mathrm {d} J _ { varepsilon}} { mathrm {d} varepsilon}} { bigg |} _ { varepsilon = 0} = int _ {a} ^ {b} left [ eta (x) { frac { partial F} { partial f}} + eta '(x) { frac { partial F} { partial f'}} , right] , mathrm {d} х = 0 .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2dcfa38166ff4468cbd8f7512f1c8635edd3f0e)
Следующим шагом будет использование интеграция по частям на втором члене подынтегральной функции, что дает ![int _ {a} ^ {b} left [{ frac { partial F} { partial f}} - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} { frac { partial F} { partial f '}} right] eta (x) , mathrm {d} x + left [ eta (x) { frac { partial F} { partial f'} } right] _ {a} ^ {b} = 0 .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c833f69b728f7321f240fcb5db83e166e892300f)
Используя граничные условия , ![{ displaystyle int _ {a} ^ {b} left [{ frac { partial F} { partial f}} - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} { frac { partial F} { partial f '}} right] eta (x) , mathrm {d} x = 0 .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d293d21e0c5ba28a97f40647e1b06ad98038797a)
Применяя основная лемма вариационного исчисления теперь дает уравнение Эйлера – Лагранжа ![{ frac { partial F} { partial f}} - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} { frac { partial F} { partial f '}} = 0 .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54c61b23f73376e60d05f17b44836a833333b22a)
|
Альтернативный вывод одномерного уравнения Эйлера – Лагранжа. |
---|
Учитывая функционал ![J = int _ {a} ^ {b} F (t, y (t), y '(t)) , mathrm {d} t](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efba975cfc9fb9349564d84f6113de5f9c41d7dd)
на с граничными условиями и , будем приближать экстремальную кривую ломаной с сегментов и переходят к пределу при сколь угодно большом увеличении количества сегментов. Разделите интервал в равные сегменты с конечными точками и разреши . Вместо гладкой функции мы рассматриваем ломаную с вершинами , куда и . Соответственно, наш функционал становится реальной функцией переменные, заданные ![J (y_ {1}, ldots, y_ {n-1}) приблизительно sum _ {k = 0} ^ {n-1} F left (t_ {k}, y_ {k}, { frac {y_ {k + 1} -y_ {k}} { Delta t}} right) Delta t.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263b921f1fc3b3f704eb0bc3cce3dfab676339ed)
Экстремали этого нового функционала, определенные на дискретных точках соответствуют точкам, где ![{ frac { partial J (y_ {1}, ldots, y_ {n})} { partial y_ {m}}} = 0.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5259c0faf032110db11d9a446fdff8aab2d529)
Оценка этой частной производной дает ![{ frac { partial J} { partial y_ {m}}} = F_ {y} left (t_ {m}, y_ {m}, { frac {y_ {m + 1} -y_ {m}) } { Delta t}} right) Delta t + F_ {y '} left (t_ {m-1}, y_ {m-1}, { frac {y_ {m} -y_ {m-1) }} { Delta t}} right) -F_ {y '} left (t_ {m}, y_ {m}, { frac {y_ {m + 1} -y_ {m}} { Delta t }}верно).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/533ed37f603bc72564e682ad33e86e9726f9619e)
Разделив приведенное выше уравнение на дает ![{ frac { partial J} { partial y_ {m} Delta t}} = F_ {y} left (t_ {m}, y_ {m}, { frac {y_ {m + 1} -y_) {m}} { Delta t}} right) - { frac {1} { Delta t}} left [F_ {y '} left (t_ {m}, y_ {m}, { frac {y_ {m + 1} -y_ {m}} { Delta t}} right) -F_ {y '} left (t_ {m-1}, y_ {m-1}, { frac {y_ {m} -y_ {m-1}} { Delta t}} right) right],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bd33ff65f68b6ebc750ce5a31a9b9e7716bf370)
и принимая предел как правой части этого выражения дает ![F_ {y} - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} F_ {y '} = 0.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3482353d1a0a5d63db5cea85bab0f8da5bbb3fe8)
Левая часть предыдущего уравнения - это функциональная производная функционального . Необходимым условием того, чтобы дифференцируемый функционал имел экстремум на некоторой функции, является то, что его функциональная производная на этой функции равна нулю, что дается последним уравнением. |
Примеры
Стандартный пример - поиск функции с действительным знаком у(Икс) на интервале [а, б], такое что у(а) = c и у(б) = d, для чего дорожка длина вдоль изгиб отслеживается у как можно короче.
![{ displaystyle { text {s}} = int _ {a} ^ {b} { sqrt { mathrm {d} x ^ {2} + mathrm {d} y ^ {2}}} = int _ {a} ^ {b} { sqrt {1 + y '^ {2}}} , mathrm {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc2f04054eb98b28eb4e1fb21e1a46b4cb3476c6)
функция подынтегральной функции L(Икс, у, у′) = √1 + у′ ² .
Частные производные от L находятся:
![{ frac { partial L (x, y, y ')} { partial y'}} = { frac {y '} { sqrt {1 + y' ^ {2}}}} quad { текст {и}} quad { frac { partial L (x, y, y ')} { partial y}} = 0.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9548c95ac85007e0db006539a8c5cb17e9ca0bcd)
Подставляя их в уравнение Эйлера – Лагранжа, получаем
![{ displaystyle { begin {align} { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} { frac {y '(x)} { sqrt {1+ (y' (x) ) ^ {2}}}} & = 0 { frac {y '(x)} { sqrt {1+ (y' (x)) ^ {2}}}} & = C = { text {constant}} Стрелка вправо y '(x) & = { frac {C} { sqrt {1-C ^ {2}}}}: = A Стрелка вправо y (x) & = Ax + Б конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c42ba9e682f7a158ef9e766787654a756d1a2451)
то есть функция должна иметь постоянную первую производную, и, следовательно, ее график это прямая линия.
Обобщения
Одиночная функция одной переменной с высшими производными
Стационарные значения функционала
![{ displaystyle I [f] = int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} { mathcal {L}} (x, f, f ', f' ', dots, f ^ {( k)}) ~ mathrm {d} x ~; ~~ f ': = { cfrac { mathrm {d} f} { mathrm {d} x}}, ~ f' ': = { cfrac { mathrm {d} ^ {2} f} { mathrm {d} x ^ {2}}}, ~ f ^ {(k)}: = { cfrac { mathrm {d} ^ {k} f} { mathrm {d} x ^ {k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0225dddd92f86184bf165d4b5e4a58844f9049d)
можно получить из уравнения Эйлера – Лагранжа[4]
![{ displaystyle { cfrac { partial { mathcal {L}}} { partial f}} - { cfrac { mathrm {d}} { mathrm {d} x}} left ({ cfrac { partial { mathcal {L}}} { partial f '}} right) + { cfrac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} x ^ {2}}} left ({ cfrac { partial { mathcal {L}}} { partial f ''}} right) - dots + (- 1) ^ {k} { cfrac { mathrm {d} ^ {k }} { mathrm {d} x ^ {k}}} left ({ cfrac { partial { mathcal {L}}} { partial f ^ {(k)}}} right) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1a53795fe91d7a774134cb1c2915cd696fd7162)
при фиксированных граничных условиях как для самой функции, так и для первого
производные (т.е. для всех
). Конечные значения старшей производной
оставаться гибким.
Несколько функций одной переменной с одной производной
Если проблема связана с поиском нескольких функций (
) одной независимой переменной (
), определяющие экстремум функционала
![{ displaystyle I [f_ {1}, f_ {2}, dots, f_ {m}] = int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} { mathcal {L}} (x, f_ {1}, f_ {2}, dots, f_ {m}, f_ {1} ', f_ {2}', dots, f_ {m} ') ~ mathrm {d} x ~; ~~ f_ {i} ': = { cfrac { mathrm {d} f_ {i}} { mathrm {d} x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f781ed0b37670be01ea7542d64eeef89d72a87c1)
то соответствующие уравнения Эйлера – Лагранжа имеют вид[5]
![{ displaystyle { begin {align} { frac { partial { mathcal {L}}} { partial f_ {i}}} - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} x }} left ({ frac { partial { mathcal {L}}} { partial f_ {i} '}} right) = 0 end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d509e3a7458614a92d6b9088ea66d51e6f5f42af)
Одна функция нескольких переменных с одной производной
Многомерное обобщение происходит из рассмотрения функции от n переменных. Если
некоторая поверхность, то
![{ displaystyle I [f] = int _ { Omega} { mathcal {L}} (x_ {1}, dots, x_ {n}, f, f_ {1}, dots, f_ {n} ) , mathrm {d} mathbf {x} , ! ~; ~~ f_ {j}: = { cfrac { partial f} { partial x_ {j}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e42836df9987f316a4141697b98757b87c6d08f1)
экстремизируется, только если ж удовлетворяет уравнение в частных производных
![{ displaystyle { frac { partial { mathcal {L}}} { partial f}} - sum _ {j = 1} ^ {n} { frac { partial} { partial x_ {j} }} left ({ frac { partial { mathcal {L}}} { partial f_ {j}}} right) = 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00981e4c2723145ba6300f26cb6faadbddcad718)
Когда п = 2 и функционал
это энергетический функционал, это приводит к мыльной пленке минимальная поверхность проблема.
Несколько функций нескольких переменных с одной производной
Если необходимо определить несколько неизвестных функций и несколько переменных, таких что
![{ displaystyle I [f_ {1}, f_ {2}, dots, f_ {m}] = int _ { Omega} { mathcal {L}} (x_ {1}, dots, x_ {n }, f_ {1}, dots, f_ {m}, f_ {1,1}, dots, f_ {1, n}, dots, f_ {m, 1}, dots, f_ {m, n }) , mathrm {d} mathbf {x} , ! ~; ~~ f_ {i, j}: = { cfrac { partial f_ {i}} { partial x_ {j}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80dedbd5d62ca4f9353f7a954124655f21e6266a)
система уравнений Эйлера – Лагранжа имеет вид[4]
![{ displaystyle { begin {align} { frac { partial { mathcal {L}}} { partial f_ {1}}} - sum _ {j = 1} ^ {n} { frac { partial} { partial x_ {j}}} left ({ frac { partial { mathcal {L}}} { partial f_ {1, j}}} right) & = 0_ {1} { frac { partial { mathcal {L}}} { partial f_ {2}}} - sum _ {j = 1} ^ {n} { frac { partial} { partial x_ {j} }} left ({ frac { partial { mathcal {L}}} { partial f_ {2, j}}} right) & = 0_ {2} vdots qquad vdots qquad & quad vdots { frac { partial { mathcal {L}}} { partial f_ {m}}} - sum _ {j = 1} ^ {n} { frac { partial} { partial x_ {j}}} left ({ frac { partial { mathcal {L}}} { partial f_ {m, j}}} right) & = 0_ {m}. end {выровнено }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/821b884ae5e9fb2e17dccc0c3da39717778af339)
Одна функция двух переменных с высшими производными
Если есть одна неизвестная функция ж подлежит определению, который зависит от двух переменных Икс1 и Икс2 и если функционал зависит от высших производных от ж вплоть до п-го порядка, что
![{ displaystyle { begin {align} I [f] & = int _ { Omega} { mathcal {L}} (x_ {1}, x_ {2}, f, f_ {1}, f_ {2 }, f_ {11}, f_ {12}, f_ {22}, dots, f_ {22 dots 2}) , mathrm {d} mathbf {x} & qquad quad f_ {i }: = { cfrac { partial f} { partial x_ {i}}} ;, quad f_ {ij}: = { cfrac { partial ^ {2} f} { partial x_ {i} partial x_ {j}}} ;, ; ; точки конец {выровнены}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c96618e8ff2b1fe9a72186bc017b213b567bb9e9)
то уравнение Эйлера – Лагранжа имеет вид[4]
![{ displaystyle { begin {align} { frac { partial { mathcal {L}}} { partial f}} & - { frac { partial} { partial x_ {1}}} left ( { frac { partial { mathcal {L}}} { partial f_ {1}}} right) - { frac { partial} { partial x_ {2}}} left ({ frac { partial { mathcal {L}}} { partial f_ {2}}} right) + { frac { partial ^ {2}} { partial x_ {1} ^ {2}}} left ( { frac { partial { mathcal {L}}} { partial f_ {11}}} right) + { frac { partial ^ {2}} { partial x_ {1} partial x_ {2 }}} left ({ frac { partial { mathcal {L}}} { partial f_ {12}}} right) + { frac { partial ^ {2}} { partial x_ {2 } ^ {2}}} left ({ frac { partial { mathcal {L}}} { partial f_ {22}}} right) & - dots + (- 1) ^ {n } { frac { partial ^ {n}} { partial x_ {2} ^ {n}}} left ({ frac { partial { mathcal {L}}} { partial f_ {22 dots 2}}} right) = 0 end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a36e47f38bc3dbfe5b1f0471a1cbe3a9270806)
который можно кратко представить как:
![{ Displaystyle { frac { partial { mathcal {L}}} { partial f}} + sum _ {j = 1} ^ {n} sum _ { mu _ {1} leq ldots leq mu _ {j}} (- 1) ^ {j} { frac { partial ^ {j}} { partial x _ { mu _ {1}} dots partial x _ { mu _ { j}}}} left ({ frac { partial { mathcal {L}}} { partial f _ { mu _ {1} dots mu _ {j}}}} right) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a06e36ac101726e4d10a0ccf0601f42fc81e6f9e)
в которой
- индексы, охватывающие количество переменных, то есть здесь они идут от 1 до 2. Здесь суммирование по
индексы только закончились
чтобы избежать многократного подсчета одной и той же частной производной, например
появляется только один раз в предыдущем уравнении.
Несколько функций нескольких переменных с высшими производными
Если есть п неизвестные функции жя подлежат определению, которые зависят от м переменные Икс1 ... Иксм и если функционал зависит от высших производных жя вплоть до п-го порядка, что
![{ displaystyle { begin {align} I [f_ {1}, ldots, f_ {p}] & = int _ { Omega} { mathcal {L}} (x_ {1}, ldots, x_ {m}; f_ {1}, ldots, f_ {p}; f_ {1,1}, ldots, f_ {p, m}; f_ {1,11}, ldots, f_ {p, mm} ; ldots; f_ {p, 1 ldots 1}, ldots, f_ {p, m ldots m}) , mathrm {d} mathbf {x} & qquad quad f_ {i, mu}: = { cfrac { partial f_ {i}} { partial x _ { mu}}} ;, quad f_ {i, mu _ {1} mu _ {2}}: = { cfrac { partial ^ {2} f_ {i}} { partial x _ { mu _ {1}} partial x _ { mu _ {2}}}} ;, ; ; dots конец {выровнен}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52eecfa9f667cb99c73faf1e7335ea31eaf8dfef)
куда
- это индексы, охватывающие количество переменных, то есть они идут от 1 до m. Тогда уравнение Эйлера – Лагранжа имеет вид
![{ displaystyle { frac { partial { mathcal {L}}} { partial f_ {i}}} + sum _ {j = 1} ^ {n} sum _ { mu _ {1} leq ldots leq mu _ {j}} (- 1) ^ {j} { frac { partial ^ {j}} { partial x _ { mu _ {1}} dots partial x _ { mu _ {j}}}} left ({ frac { partial { mathcal {L}}} { partial f_ {i, mu _ {1} dots mu _ {j}}}} справа) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46f3121eaf0f5ae621faec5ba4cefa44f5ed2ec9)
где суммирование по
избегает подсчета одной и той же производной
несколько раз, как и в предыдущем подразделе. Более компактно это можно выразить как
![{ displaystyle sum _ {j = 0} ^ {n} sum _ { mu _ {1} leq ldots leq mu _ {j}} (- 1) ^ {j} partial _ { mu _ {1} ldots mu _ {j}} ^ {j} left ({ frac { partial { mathcal {L}}} { partial f_ {i, mu _ {1} точки mu _ {j}}}} right) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f2d34adb2a64dfd205e7f6a074bf790ab77f742)
Обобщение на многообразия
Позволять
быть гладкое многообразие, и разреши
обозначим пространство гладкие функции
. Тогда для функционалов
формы
![S [f] = int _ {a} ^ {b} (L circ { dot {f}}) (t) , mathrm {d} t](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa07716cf37832981db890147592174562074312)
куда
- лагранжиан, утверждение
эквивалентно утверждению, что для всех
, каждая система координат тривиализация
района
дает следующие
уравнения:
![{ displaystyle forall i: { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} { frac { partial L} { partial X ^ {i}}} { bigg |} _ {{ dot {f}} (t)} = { frac { partial L} { partial x ^ {i}}} { bigg |} _ {{ dot {f}} (t)}. }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fb53ee2599423cd4497bfe04292a334f0e3b90b)
Смотрите также
Примечания
Рекомендации