Метод Рэлея – Ритца - Rayleigh–Ritz method

В Метод Рэлея – Ритца численный метод нахождения приближений к собственное значение уравнения, которые сложно решить аналитически, особенно в контексте решения физических краевые задачи что можно выразить как матричные дифференциальные уравнения. Он используется в машиностроении для приближения собственные моды физической системы, например, поиск резонансные частоты структуры, чтобы направлять соответствующие демпфирование.

Название Рэлей-Ритц это распространенное неправильное название^[1] используется для описания метода, который более уместно назвать Метод Ритца, так как этот метод был изобретен Вальтер Ритц в 1909 г. В 1911 г. Лорд Рэйли написал статью, поздравляя Ритца с его работой, но заявляя, что сам использовал метод Ритца во многих местах своей книги и другой публикации. Это утверждение, хотя позже оспаривалось, и тот факт, что метод в тривиальном случае одного вектора приводит к Фактор Рэлея сохранить неправильное употребление.

Описание метода

В Метод Рэлея – Ритца позволяет вычислять пары Ритца ${\displaystyle ({\tilde {\lambda }}_{i},{\tilde {\textbf {x}}}_{i})}$ которые аппроксимируют решения задачи на собственные значения^[2]

${\displaystyle A{\textbf {x}}=\lambda {\textbf {x}}}$

куда ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{N\times N}}$.

Порядок действий следующий:^[3]

1. Вычислить ортонормированный базис ${\displaystyle V\in \mathbb {C} ^{N\times m}}$ приближается к собственное подпространство соответствующий м собственные векторы
2. Вычислить ${\displaystyle R\gets V^{*}AV}$
3. Вычислить собственные значения R решения ${\displaystyle R\mathbf {v} _{i}={\tilde {\lambda }}_{i}\mathbf {v} _{i}}$
4. Сформируйте пары Ritz ${\displaystyle ({\tilde {\lambda }}_{i},{\tilde {\textbf {x}}}_{i})=({\tilde {\lambda }}_{i},V{\textbf {v}}_{i})}$

Всегда можно вычислить точность такого приближения через ${\displaystyle \|A{\tilde {\textbf {x}}}_{i}-{\tilde {\lambda }}_{i}{\tilde {\textbf {x}}}_{i}\|}$

Если Крыловское подпространство используется и A - общая матрица, то это Алгоритм Арнольди.

Метод вариационного исчисления

В этом методе мы приближаем вариационный проблема и заканчивается конечномерная проблема. Итак, давайте начнем с проблемы поиска функция ${\displaystyle y(x)}$ что экстремизирует интеграл ${\displaystyle I[y(x)]}$. Предположим, что мы можем аппроксимировать y (x) линейной комбинацией некоторых линейно независимых функций типа:

${\displaystyle y(x)\approx \varphi _{0}(x)+c_{1}\varphi _{1}(x)+c_{2}\varphi _{2}(x)+\cdots +c_{N}\varphi _{N}(x)}$

куда ${\displaystyle c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}}$ - константы, которые должны быть определены вариационным методом, таким как тот, который будет описан ниже.

Выбор аппроксимирующих функций ${\displaystyle \varphi _{i}(x)}$ использовать произвольно, за исключением следующих соображений:

а) Если проблема возникла граничные условия например, фиксированные конечные точки, тогда ${\displaystyle \varphi _{0}(x)}$ выбирается так, чтобы удовлетворить граничным условиям задачи, а все остальные ${\displaystyle \varphi _{i}(x)}$ исчезают на границе.

б) Если вид решения известен, то ${\displaystyle \varphi _{i}(x)}$ можно выбрать так, чтобы ${\displaystyle y(x)}$ будет иметь такую ​​форму.

Расширение ${\displaystyle y(x)}$ в терминах аппроксимирующих функций заменяет вариационную задачу экстремизации функционального интеграла ${\displaystyle I[y(x)]}$ к задаче поиска набора констант ${\displaystyle c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}}$ что усугубляет ${\displaystyle I(c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N})}$. Теперь мы можем решить эту проблему, установив частные производные равными нулю. Для каждого значения i

${\displaystyle {\partial I \over \partial c_{i}}=0}$

Процедура состоит в том, чтобы сначала определить первоначальную оценку ${\displaystyle c_{1}}$ по приближению ${\displaystyle y(x)\approx \varphi _{0}(x)+c_{1}\varphi _{1}(x)}$. Далее приближение ${\displaystyle y(x)\approx \varphi _{0}(x)+c_{1}\varphi _{1}(x)+c_{2}\varphi _{2}(x)}$ используется (с ${\displaystyle c_{1}}$ переопределение). Процесс продолжается с ${\displaystyle y(x)\approx \varphi _{0}(x)+c_{1}\varphi _{1}(x)+c_{2}\varphi _{2}(x)+c_{3}\varphi _{3}(x)}$ в третьем приближении и так далее. На каждом этапе верны следующие два пункта:

1. На i-м этапе условия ${\displaystyle c_{1},\cdots ,c_{i-1}}$ переопределены
2. Приближение на ${\displaystyle i^{th}}$ сцена ${\displaystyle y(x)\approx \varphi _{0}(x)+c_{1}\varphi _{1}(x)+\cdots +c_{i}\varphi _{i}(x)}$ будет не хуже, чем приближение на ${\displaystyle (i-1)^{th}}$ сцена

Сходимость процедуры означает, что при стремлении i к бесконечности приближение будет стремиться к точной функции ${\displaystyle y(x)}$ что экстремизирует интеграл ${\displaystyle I[y(x)]}$.

Во многих случаях используется полный набор функций e. грамм. многочлены или синусы и косинусы. Набор функций ${\displaystyle \varphi _{i}(x)}$ называется полным над [a, b], если для каждого Риман интегрируемая функция ${\displaystyle f(x)}$, есть набор значений коэффициентов ${\displaystyle c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}}$ что воспроизводит ${\displaystyle f(x)}$.

Вышеописанная процедура может быть распространена на случаи с более чем одной независимой переменной.

Применение в машиностроении

Метод Рэлея – Ритца часто используется в машиностроение для нахождения приблизительного реального резонансные частоты из нескольких степень свободы системы, такие как системы пружинных масс или же маховики на валу с переменным поперечное сечение. Это расширение метода Рэлея. Его также можно использовать для определения нагрузок изгиба и поведения колонн после изгиба.

Рассмотрим случай, когда мы хотим найти резонансную частоту колебаний системы. Сначала запишите колебание в виде

${\displaystyle y(x,t)=Y(x)\cos \omega t}$

с неизвестной формой моды ${\displaystyle Y(x)}$. Затем найдите полную энергию системы, состоящую из члена кинетической энергии и члена потенциальной энергии. Член кинетической энергии включает квадрат производной по времени от ${\displaystyle y(x,t)}$ и, таким образом, получает коэффициент ${\displaystyle \omega ^{2}}$. Таким образом, мы можем вычислить полную энергию системы и выразить ее в следующем виде:

${\displaystyle E=T+V\equiv A[Y(x)]\omega ^{2}\sin ^{2}\omega t+B[Y(x)]\cos ^{2}\omega t}$

По закону сохранения энергии средняя кинетическая энергия должна быть равна средней потенциальной энергии. Таким образом,

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {B[Y(x)]}{A[Y(x)]}}=R[Y(x)]}$

который также известен как Фактор Рэлея. Таким образом, если бы мы знали форму моды ${\displaystyle Y(x)}$, мы сможем вычислить ${\displaystyle A[Y(x)]}$ и ${\displaystyle B[Y(x)]}$, и, в свою очередь, получить собственную частоту. Однако мы еще не знаем формы колебаний. Чтобы найти это, мы можем приблизительно ${\displaystyle Y(x)}$ как комбинация нескольких приближающих функций ${\displaystyle Y_{i}(x)}$

${\displaystyle Y(x)=\sum _{i=1}^{N}c_{i}Y_{i}(x)}$

куда ${\displaystyle c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}}$ - константы, которые предстоит определить. В общем, если мы выберем случайный набор ${\displaystyle c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}}$, он будет описывать суперпозицию реальных собственных мод системы. Однако если мы будем искать ${\displaystyle c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}}$ такая, что собственная частота ${\displaystyle \omega ^{2}}$ минимизируется, то режим, описываемый этим набором ${\displaystyle c_{1},c_{2},\cdots ,c_{N}}$ будет близка к наименьшей возможной фактической собственной моде системы. Таким образом, будет найдена самая низкая собственная частота. Если мы найдем собственные моды, ортогональные этой аппроксимированной самой низкой собственной моде, мы также сможем приблизительно найти следующие несколько собственных частот.

В общем, мы можем выразить ${\displaystyle A[Y(x)]}$ и ${\displaystyle B[Y(x)]}$ как набор членов, квадратичных по коэффициентам ${\displaystyle c_{i}}$:

${\displaystyle B[Y(x)]=\sum _{i}\sum _{j}c_{i}c_{j}K_{ij}={\bf {c^{T}Kc}}}$

${\displaystyle A[Y(x)]=\sum _{i}\sum _{j}c_{i}c_{j}M_{ij}={\bf {c^{T}Mc}}}$

Минимизация ${\displaystyle \omega ^{2}}$ становится:

${\displaystyle {\partial \omega ^{2} \over \partial c_{i}}={\partial \over \partial c_{i}}{\frac {\bf {c^{T}Kc}}{\bf {c^{T}Mc}}}=0}$

Решая это,

${\displaystyle {\bf {{c^{T}Mc}{\partial {\bf {c^{T}Kc}} \over \partial c}-{\bf {{c^{T}Kc}{\partial {\bf {c^{T}Mc}} \over \partial c}=0}}}}}$

${\displaystyle {\bf {{Kc}-{\frac {\bf {c^{T}Kc}}{\bf {c^{T}Mc}}}{\bf {{Mc}=0}}}}}$

${\displaystyle {\bf {{Kc}-\omega ^{2}{\bf {{Mc}=0}}}}}$

Для нетривиального решения c мы требуем, чтобы определитель матричного коэффициента c был равен нулю.

${\displaystyle \det({\bf {{K}-\omega ^{2}{\bf {M}}}})=0}$

Это дает решение для первых N собственных частот и собственных мод системы, где N - число аппроксимирующих функций.

Простой корпус двойной пружинно-массовой системы

В следующем обсуждении используется простейший случай, когда система имеет две сосредоточенные пружины и две сосредоточенные массы, и предполагаются только две формы колебаний. Следовательно M = [м₁, м₂] и K = [k₁, k₂].

А форма моды предполагается для системы с двумя членами, одно из которых взвешено с коэффициентомB, например Y = [1, 1] + B[1, −1].Простые гармонические колебания теория говорит, что скорость в момент, когда прогиб равен нулю, угловая частота ${\displaystyle \omega }$ умноженное на отклонение (y) во время максимального отклонения. В этом примере кинетическая энергия (KE) для каждой массы равно ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\omega ^{2}Y_{1}^{2}m_{1}}$ и т. д., а потенциальная энергия (PE) для каждого весна является ${\displaystyle {\frac {1}{2}}k_{1}Y_{1}^{2}}$ и Т. Д.

Мы также знаем, что без демпфирования максимальный KE равен максимальному PE. Таким образом,

${\displaystyle \sum _{i=1}^{2}\left({\frac {1}{2}}\omega ^{2}Y_{i}^{2}M_{i}\right)=\sum _{i=1}^{2}\left({\frac {1}{2}}K_{i}Y_{i}^{2}\right)}$

Обратите внимание, что общая амплитуда формы колебаний всегда компенсируется с каждой стороны. То есть фактический размер предполагаемого прогиба не имеет значения, только режим форма.

Математические манипуляции затем дают выражение для ${\displaystyle \omega }$, через B, который может быть дифференцированный относительно B, чтобы найти минимум, т.е. когда ${\displaystyle d\omega /dB=0}$. Это дает значение B, для которого ${\displaystyle \omega }$ самый низкий. Это верхняя оценка решения для ${\displaystyle \omega }$ если ${\displaystyle \omega }$ предполагается, что это предсказанная основная частота системы, потому что форма моды предполагается, но мы нашли наименьшее значение этой верхней границы, учитывая наши предположения, потому что B используется, чтобы найти оптимальное «сочетание» двух предполагаемых функций формы моды.

Есть много уловок с этим методом, самый важный - попытаться выбрать реалистичные предполагаемые формы колебаний. Например, в случае отклонение луча Для задач целесообразно использовать деформированную форму, аналитически аналогичную ожидаемому решению. А квартика может соответствовать большинству простых задач просто связанных балок, даже если порядок деформированного решения может быть ниже. Пружины и массы не обязательно должны быть дискретными, они могут быть непрерывными (или смешанными), и этот метод можно легко использовать в электронная таблица найти собственные частоты довольно сложных распределенных систем, если вы можете легко описать распределенные термины KE и PE, или разбить непрерывные элементы на отдельные части.

Этот метод можно использовать итеративно, добавляя дополнительные формы колебаний к предыдущему лучшему решению, или вы можете создать длинное выражение с множеством B и множеством форм колебаний, а затем различать их. частично.

Смотрите также

• Метод Ритца
• Итерация Арнольди

Примечания и ссылки

1. Лейсса, А. (2005). «Исторические основы методов Рэлея и Ритца». Журнал звука и вибрации. 287 (4–5): 961–978. Bibcode:2005JSV ... 287..961L. Дои:10.1016 / j.jsv.2004.12.021.
2. Trefethen, Lloyd N .; Бау, III, Дэвид (1997). Числовая линейная алгебра. СИАМ. п. 254. ISBN  978-0-89871-957-4.
3. Шофилд, Грейди; Chelikowsky, James R .; Саад, Юсеф (2012). "Метод сечения спектра для проблемы Кона – Шэма" (PDF). Компьютерная физика Коммуникации. 183 (3): 497–505. Bibcode:2012CoPhC.183..497S. CiteSeerX  10.1.1.228.9553. Дои:10.1016 / j.cpc.2011.11.005. ISSN  0010-4655.

внешняя ссылка

• В курсе по вариационному исчислению есть раздел о методе Рэлея – Ритца..