Крылова подпространство - Krylov subspace - Wikipedia

В линейная алгебра, приказ-р Крылова подпространство созданный п-к-п матрица А и вектор б измерения п это линейное подпространство охватывал посредством изображений из б под первым р полномочия А (начиная с ${\displaystyle A^{0}=I}$), то есть,

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}(A,b)=\operatorname {span} \,\{b,Ab,A^{2}b,\ldots ,A^{r-1}b\}.\,}$^[1]

Фон

Концепция названа в честь российского прикладного математика и морского инженера. Алексей Крылов, который опубликовал об этом статью в 1931 году.^[2]

Характеристики

• ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}(A,b),A{\mathcal {K}}_{r}(A,b)\subset {\mathcal {K}}_{r+1}(A,b)}$.
• Векторы ${\displaystyle \{b,Ab,A^{2}b,\ldots ,A^{r-1}b\}}$ линейно независимы до тех пор, пока ${\displaystyle r<r_{0}}$, и ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}(A,b)\subset {\mathcal {K}}_{r_{0}}(A,b)}$. ${\displaystyle r_{0}}$ - максимальная размерность подпространства Крылова.
• Для таких ${\displaystyle r_{0}}$ у нас есть ${\displaystyle r_{0}\leq 1+\mathrm {rank} A}$ и ${\displaystyle r_{0}\leq n}$, точнее ${\displaystyle r_{0}\leq \partial p(A)}$^{[требуется разъяснение ]}, куда ${\displaystyle p(A)}$ - минимальный многочлен от ${\displaystyle A}$.
• Существует ${\displaystyle b}$ такой, что ${\displaystyle r_{0}=\partial p(A)}$.
• ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}(A,b)}$ циклический подмодуль, порожденный ${\displaystyle b}$ из кручение ${\displaystyle k[x]}$-модуль ${\displaystyle (k^{n})^{A}}$, куда ${\displaystyle k^{n}}$ линейное пространство на ${\displaystyle k}$.
• ${\displaystyle k^{n}}$ можно разложить в прямую сумму подпространств Крылова.

Использовать

Подпространства Крылова используются в алгоритмах поиска приближенных решений многомерных задач линейной алгебры.^[1]

Современное итерационные методы для нахождения одного (или нескольких) собственных значений большого разреженные матрицы или решение больших систем линейных уравнений избегает матричных операций, а скорее умножает векторы на матрицу и работает с результирующими векторами. Начиная с вектора, б, вычисляется ${\displaystyle Ab}$, затем этот вектор умножается на ${\displaystyle A}$ найти ${\displaystyle A^{2}b}$ и так далее. Все алгоритмы, которые работают таким образом, называются методами подпространства Крылова; они являются одними из самых успешных методов, доступных в настоящее время в численной линейной алгебре.

вопросы

Поскольку векторы обычно вскоре становятся почти линейно зависимый из-за свойств итерация мощности, методы, основанные на подпространстве Крылова, часто включают некоторые ортогонализация схема, например Итерация Ланцоша за Эрмитовы матрицы или же Итерация Арнольди для более общих матриц.

Существующие методы

Наиболее известными методами подпространств Крылова являются Арнольди, Ланцош, Сопряженный градиент, IDR (ов) (Вынужденное уменьшение размеров), GMRES (обобщенный минимальный остаток), BiCGSTAB (стабилизированный двусопряженный градиент), QMR (квазиминимальная невязка), TFQMR (QMR без транспонирования), и MINRES (минимальная невязка) методы.

Смотрите также

• Итерационный метод, в котором есть раздел о методах подпространств Крылова

Рекомендации

1. Симончини, Валерия (2015), «Крыловские подпространства», в Николасе Дж. Хайэме; и другие. (ред.), Принстонский компаньон по прикладной математике, Princeton University Press, стр. 113–114.
2. Крылов, А. Н. (1931). "О численном решении уравнений, в технических характеристиках малых колебаний материальных систем" [О численном решении уравнения, по которому в технических задачах определяются частоты малых колебаний материальных систем]. Известия Академии наук СССР (на русском). 7 (4): 491–539.

дальнейшее чтение

• Неванлинна, Олави (1993). Сходимость итераций для линейных уравнений. Лекции по математике ETH Zürich. Базель: Birkhäuser Verlag. стр. viii + 177 с. ISBN  3-7643-2865-7. МИСТЕР  1217705.
• Саад, Юсеф (2003). Итерационные методы для разреженных линейных систем (2-е изд.). СИАМ. ISBN  0-89871-534-2. OCLC  51266114.
• Жерар Меурант и Юрьен Дуинтьер Теббенс: «Методы Крылова для несимметричных линейных систем - от теории к вычислениям», Springer Series in Computational Mathematics, vol.57, (октябрь 2020 г.). ISBN  978-3-030-55250-3, url =https://doi.org/10.1007/978-3-030-55251-0.
• Иман Фарахбахш: «Методы подпространства Крылова с применением в решателях потоков несжимаемой жидкости», Wiley, ISBN  978-1119618683 (Сентябрь, 2020).