Метод Ритца - Ritz method

В Метод Ритца прямой метод поиска приближенного решения для краевые задачи. Метод назван в честь Вальтер Ритц, хотя также обычно называют Метод Рэлея-Ритца.

В квантовая механика система частиц может быть описана с помощью «функционала энергии» или Гамильтониан, который будет измерять энергию любой предложенной конфигурации упомянутых частиц. Оказывается, некоторые привилегированные конфигурации более вероятны, чем другие конфигурации, и это связано с собственный анализ («анализ характеристик») этого Гамильтонова система. Поскольку часто невозможно проанализировать все бесконечные конфигурации частиц, чтобы найти ту, которая имеет наименьшее количество энергии, становится важным иметь возможность каким-то образом аппроксимировать этот гамильтониан с целью численные расчеты.

Для достижения этой цели можно использовать метод Ритца. На языке математики это как раз то метод конечных элементов используется для вычисления собственные векторы и собственные значения гамильтоновой системы.

Обсуждение

Как и в случае с другими вариационные методы, а пробная волновая функция, ${ Displaystyle Psi}$ , протестирован в системе. Эта пробная функция выбрана с учетом граничных условий (и любых других физических ограничений). Точная функция неизвестна; пробная функция содержит один или несколько настраиваемых параметров, которые изменяются, чтобы найти конфигурацию с наименьшим энергопотреблением.

Можно показать, что энергия основного состояния, ${ displaystyle E_ {0}}$ , удовлетворяет неравенству:

{ displaystyle E_ {0} leq { frac { langle Psi | { hat {H}} | Psi rangle} { langle Psi | Psi rangle}}.}

То есть энергия основного состояния меньше этого значения. Пробная волновая функция всегда будет давать математическое ожидание, большее или равное основной энергии.

Если известно, что пробная волновая функция ортогональный в основное состояние, то он будет обеспечивать границу энергии некоторого возбужденного состояния.

Функция анзаца Ритца представляет собой линейную комбинацию N известные базисные функции ${ displaystyle left lbrace Psi _ {i} right rbrace}$ , параметризованные неизвестными коэффициентами:

{ displaystyle Psi = sum _ {i = 1} ^ {N} c_ {i} Psi _ {i}.}

Имея известный гамильтониан, мы можем записать его математическое ожидание в виде

{ displaystyle varepsilon = { frac { left langle displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} c_ {i} Psi _ {i} right | { hat {H}} left | displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} c_ {i} Psi _ {i} right rangle} { left langle left. displaystyle sum _ {i = 1} ^ { N} c_ {i} Psi _ {i} right | displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} c_ {i} Psi _ {i} right rangle}} = { frac { displaystyle sum _ {я = 1} ^ {N} displaystyle sum _ {j = 1} ^ {N} c_ {i} ^ {*} c_ {j} H_ {ij}} { displaystyle sum _ {я = 1} ^ {N} displaystyle sum _ {j = 1} ^ {N} c_ {i} ^ {*} c_ {j} S_ {ij}}} Equ { frac {A} {B}}.}

Базисные функции обычно не ортогональны, так что матрица перекрытия S имеет ненулевые недиагональные элементы. Либо ${ displaystyle left lbrace c_ {i} right rbrace}$ или же ${ displaystyle left lbrace c_ {i} ^ {*} right rbrace}$ (спряжение первого) может использоваться для минимизации математического ожидания. Например, делая частные производные от ${ displaystyle varepsilon}$ над ${ displaystyle left lbrace c_ {i} ^ {*} right rbrace}$ нуля, то для каждого k = 1, 2, ..., N:

{ displaystyle { frac { partial varepsilon} { partial c_ {k} ^ {*}}} = { frac { displaystyle sum _ {j = 1} ^ {N} c_ {j} (H_ {kj} - varepsilon S_ {kj})} {B}} = 0,}

что приводит к набору N светские уравнения:

{ displaystyle sum _ {j = 1} ^ {N} c_ {j} left (H_ {kj} - varepsilon S_ {kj} right) = 0 quad { text {for}} quad k = 1,2, точки, N.}

В приведенных выше уравнениях энергия ${ displaystyle varepsilon}$ а коэффициенты ${ displaystyle left lbrace c_ {j} right rbrace}$ неизвестны. Что касается c, это однородная система линейных уравнений, которая имеет решение, когда детерминант коэффициентов к этим неизвестным равен нулю:

{ Displaystyle det left (H- varepsilon S right) = 0,}

что, в свою очередь, верно только для N ценности ${ displaystyle varepsilon}$ . Кроме того, поскольку гамильтониан является эрмитский оператор, то ЧАС матрица также эрмитский и значения ${ Displaystyle varepsilon _ {я}}$ будет реально. Наименьшее значение среди ${ Displaystyle varepsilon _ {я}}$ (i = 1,2, .., N), ${ displaystyle varepsilon _ {0}}$ , будет наилучшим приближением к основному состоянию для используемых базисных функций. Остальные N-1 энергии - это оценки энергий возбужденного состояния. Приближение волновой функции состояния я можно получить, найдя коэффициенты ${ displaystyle left lbrace c_ {j} right rbrace}$ из соответствующего секулярного уравнения.

Связь с методом конечных элементов

На языке метода конечных элементов матрица ${ displaystyle H_ {kj}}$ это именно матрица жесткости гамильтониана в кусочно-линейном пространстве элементов, а матрица ${ displaystyle S_ {kj}}$ это матрица масс. На языке линейной алгебры значение ${ displaystyle epsilon}$ - собственное значение дискретизированного гамильтониана, а вектор ${ displaystyle c}$ - дискретизированный собственный вектор.

Смотрите также

Источники

Статьи

Вальтер Ритц (1909) "Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der Mathematischen Physik" Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, т. 135, страницы 1–61. Доступно в Интернете по адресу: http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=261182 .
J.K. Макдональд, "Последовательные приближения вариационным методом Рэлея – Ритца", Phys. Ред. 43 (1933) 830 Доступно онлайн по адресу: http://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.43.830

внешняя ссылка

SpringerLink - метод Ритца
Гандер, Мартин Дж .; Ваннер, Герхард (2012). «От Эйлера, Ритца и Галеркина до современных вычислений». SIAM Обзор. 54 (4): 627–666. Дои:10.1137/100804036.