Теория бозонных струн - Bosonic string theory

Теория бозонных струн это оригинальная версия теория струн, разработанная в конце 1960-х гг. Он так называется, потому что содержит только бозоны в спектре.

В 1980-х годах суперсимметрия был открыт в контексте теории струн, и новая версия теории струн, названная теория суперструн (суперсимметричная теория струн) стала настоящим фокусом. Тем не менее теория бозонных струн остается очень полезной моделью для понимания многих общих особенностей пертурбативный Теория струн и многие теоретические трудности суперструн на самом деле могут быть обнаружены уже в контексте бозонных струн.

Проблемы

Хотя теория бозонных струн имеет много привлекательных черт, она не является жизнеспособным физическая модель в двух важных областях.

Во-первых, он предсказывает только существование бозоны тогда как многие физические частицы фермионы.

Во-вторых, он предсказывает существование режима струны с воображаемый массы, подразумевая, что теория имеет нестабильность по отношению к процессу, известному как "тахионная конденсация ".

Кроме того, теория бозонных струн в общем измерении пространства-времени обнаруживает несоответствия из-за конформная аномалия. Но, как впервые заметил Клод Лавлейс,^[1] в пространстве-времени 26 измерений (25 пространственных измерений и одно временное), критическое измерение для теории аномалия отменяется. Эта высокая размерность не обязательно является проблемой для теории струн, потому что ее можно сформулировать таким образом, что вдоль 22 дополнительных измерений пространство-время сворачивается вверх, образуя небольшой тор или другое компактное многообразие. Это оставит только знакомые четыре измерения пространства-времени видимыми для экспериментов с низкими энергиями. Существование критического измерения, в котором происходит сокращение аномалии, является общей чертой всех теорий струн.

Типы бозонных струн

Есть четыре возможных теории бозонных струн в зависимости от того, открытые струны разрешены и имеют ли строки указанный ориентация. Напомним, что теория открытых струн должна включать и замкнутые струны; открытые строки можно рассматривать как фиксированные конечные точки на D25-брана который заполняет все пространство-время. Определенная ориентация струны означает, что только взаимодействие, соответствующее ориентируемый мировой лист разрешены (например, две строки могут сливаться только с одинаковой ориентацией). Набросок спектров четырех возможных теорий выглядит следующим образом:

Теория бозонных струн	Неположительный ${\displaystyle M^{2}}$ состояния
Открытые и закрытые, ориентированные	тахион, гравитон, дилатон, безмассовый антисимметричный тензор
Открытые и закрытые, неориентированные	тахион, гравитон, дилатон
Закрытый, ориентированный	тахион, гравитон, дилатон, антисимметричный тензор, U (1) векторный бозон
Закрытый, неориентированный	тахион, гравитон, дилатон

Обратите внимание, что все четыре теории имеют тахион отрицательной энергии (${\displaystyle M^{2}=-{\frac {1}{\alpha '}}}$) и безмассовый гравитон.

Остальная часть этой статьи относится к закрытой ориентированной теории, соответствующей ориентируемым мировым листам без границ.

Математика

Теория возмущений с интегралом по траекториям

Теорию бозонных струн можно сказать^[2] будет определено квантование интегралов по путям из Поляков действие:

${\displaystyle I_{0}[g,X]={\frac {T}{8\pi }}\int _{M}d^{2}\xi {\sqrt {g}}g^{mn}\partial _{m}x^{\mu }\partial _{n}x^{\nu }G_{\mu \nu }(x)}$

${\displaystyle x^{\mu }(\xi )}$ это поле на мировой лист описание вложения строки в пространство-время 25 + 1; в формулировке Полякова, ${\displaystyle g}$ не следует понимать как метрику, индуцированную вложением, а как независимое динамическое поле. ${\displaystyle G}$ - метрика целевого пространства-времени, которая обычно принимается Метрика Минковского в теории возмущений. Под Вращение фитиля, это сводится к евклидовой метрике ${\displaystyle G_{\mu \nu }=\delta _{\mu \nu }}$. M - это мировой лист как топологическое многообразие параметризованный ${\displaystyle \xi }$ координаты. ${\displaystyle T}$ - натяжение струны, связанное с наклоном Редже как ${\displaystyle T={\frac {1}{2\pi \alpha '}}}$.

${\displaystyle I_{0}}$ имеет диффеоморфизм и Инвариантность Вейля. Симметрия Вейля нарушается при квантовании (Конформная аномалия ), поэтому к этому действию необходимо добавить контрчлен, а также гипотетический чисто топологический член, пропорциональный Эйлерова характеристика:

${\displaystyle I=I_{0}+\lambda \chi (M)+\mu _{0}^{2}\int _{M}d^{2}\xi {\sqrt {g}}}$

Явное нарушение вейлевской инвариантности контрчленом может быть отменено в критическое измерение 26.

Затем физические величины строятся из (евклидова) функция распределения и N-точечная функция:

${\displaystyle Z=\sum _{h=0}^{\infty }\int {\frac {{\mathcal {D}}g_{mn}{\mathcal {D}}X^{\mu }}{\mathcal {N}}}\exp(-I[g,X])}$

${\displaystyle \left\langle V_{i_{1}}(k_{1}^{\mu })\cdots V_{i_{p}}(k_{p}^{\mu })\right\rangle =\sum _{h=0}^{\infty }\int {\frac {{\mathcal {D}}g_{mn}{\mathcal {D}}X^{\mu }}{\mathcal {N}}}\exp(-I[g,X])V_{i_{1}}(k_{1}^{\mu })\cdots V_{i_{p}}(k_{p}^{\mu })}$

Пертурбативный ряд выражается в виде суммы топологий, индексированных родом.

Дискретная сумма представляет собой сумму по возможным топологиям, которые для евклидовых бозонных ориентируемых замкнутых струн являются компактными ориентируемыми. Римановы поверхности и поэтому идентифицируются по роду ${\displaystyle h}$. Коэффициент нормализации ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ вводится для компенсации перерасчета из-за симметрии. В то время как вычисление статистической суммы соответствует космологическая постоянная, N-точечная функция, включая ${\displaystyle p}$ вершинные операторы, описывает амплитуду рассеяния струн.

Группа симметрии действия на самом деле резко сокращает пространство интегрирования до конечномерного многообразия. В ${\displaystyle g}$ интеграл по пути в статистической сумме равен априори сумма по возможным римановым структурам; Однако, частное относительно преобразований Вейля позволяет рассматривать только конформные структуры, то есть классы эквивалентности метрик при отождествлении метрик, связанных

${\displaystyle g'(\xi )=e^{\sigma (\xi )}g(\xi )}$

Поскольку мировой лист двумерен, существует соответствие 1-1 между конформными структурами и сложные конструкции. Еще нужно выделить диффеоморфизмы. Это оставляет нам интегрирование по пространству всех возможных комплексных структур по модулю диффеоморфизмов, что является просто пространство модулей данной топологической поверхности и фактически является конечномерным комплексное многообразие. Таким образом, фундаментальной проблемой пертурбативных бозонных струн становится параметризация пространства Модули, что нетривиально для рода ${\displaystyle h\geq 4}$.

h = 0

На уровне дерева, соответствующем роду 0, космологическая постоянная обращается в нуль: ${\displaystyle Z_{0}=0}$.

Четырехточечная функция для рассеяния четырех тахионов - это амплитуда Шапиро-Вирасоро:

${\displaystyle A_{4}\propto (2\pi )^{26}\delta ^{26}(k){\frac {\Gamma (-1-s/2)\Gamma (-1-t/2)\Gamma (-1-u/2)}{\Gamma (2+s/2)\Gamma (2+t/2)\Gamma (2+u/2)}}}$

куда ${\displaystyle k}$ это полный импульс и ${\displaystyle s}$, ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle u}$ являются Переменные Мандельштама.

h = 1

Заштрихованная область - возможная фундаментальная область для модульной группы.

Род 1 - это тор и соответствует однопетлевой уровень. Статистическая функция составляет:

${\displaystyle Z_{1}=\int _{{\mathcal {M}}_{1}}{\frac {d^{2}\tau }{8\pi ^{2}\tau _{2}^{2}}}{\frac {1}{(4\pi ^{2}\tau _{2})^{12}}}\left|\eta (\tau )\right|^{-48}}$

${\displaystyle \tau }$ комплексное число с положительной мнимой частью ${\displaystyle \tau _{2}}$; ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$, голоморфное пространству модулей тора, есть любое фундаментальная область для модульная группа ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )}$ действуя на верхняя полуплоскость, Например ${\displaystyle \left\{\tau _{2}>0,|\tau |^{2}>1,-{\frac {1}{2}}<\tau _{1}<{\frac {1}{2}}\right\}}$. ${\displaystyle \eta (\tau )}$ это Функция Дедекинда эта. Подынтегральное выражение, конечно, инвариантно относительно модулярной группы: мера ${\displaystyle {\frac {d^{2}\tau }{\tau _{2}^{2}}}}$ это просто Метрика Пуанкаре который имеет PSL (2, R) как группа изометрии; остальная часть подынтегрального выражения также инвариантна в силу ${\displaystyle \tau _{2}\rightarrow |c\tau +d|^{2}\tau _{2}}$ и тот факт, что ${\displaystyle \eta (\tau )}$ это модульная форма веса 1/2.

Этот интеграл расходится. Это связано с наличием тахиона и связано с неустойчивостью пертурбативного вакуума.

Смотрите также

• Действие Намбу – Гото
• Поляков действие

Заметки

1. Лавлейс, Клод (1971), «Форм-факторы Померона и двойные разрезы Редже», Письма по физике, B34 (6): 500–506, Bibcode:1971ФЛБ ... 34..500Л, Дои:10.1016/0370-2693(71)90665-4.
2. Д'Хокер, Фонг

использованная литература

Д'Хокер, Эрик и Фонг, Д. Х. (Октябрь 1988 г.). «Геометрия струнной теории возмущений». Ред. Мод. Phys. Американское физическое общество. 60 (4): 917–1065. Bibcode:1988РвМП ... 60..917Д. Дои:10.1103 / RevModPhys.60.917.

Белавин, А.А. & Книжник, В. (Февраль 1986 г.). «Комплексная геометрия и теория квантовых струн». ЖЭТФ. 91 (2): 364–390. Bibcode:1986ЖЕТФ..91..364Б.

внешние ссылки

• Сколько существует теорий струн?
• PIRSA: C09001 - Введение в бозонную струну