S-дуальность - S-duality

В теоретическая физика, S-дуальность (Короче для дуальность сильная – слабая) является эквивалентом двух физических теорий, которые могут быть либо квантовые теории поля или же теории струн. S-дуальность полезна для выполнения вычислений в теоретической физике, потому что она связывает теорию, в которой вычисления трудны, с теорией, в которой они проще.^[1]

В квантовой теории поля S-дуальность обобщает хорошо установленный факт из классическая электродинамика, а именно инвариантность из Уравнения Максвелла при обмене электрический и магнитные поля. Одним из самых ранних известных примеров S-дуальности в квантовой теории поля является Двойственность Монтонена-Оливии который связывает две версии квантовой теории поля, называемые N = 4 суперсимметричная теория Янга – Миллса. Последние работы Антон Капустин и Эдвард Виттен предполагает, что двойственность Монтонена-Олива тесно связана с исследовательской программой в области математики, называемой геометрическая программа Ленглендса. Еще одна реализация S-дуальности в квантовой теории поля: Двойственность Зайберга, который связывает две версии теории, называемой N = 1 суперсимметричная теория Янга – Миллса.

В теории струн также есть много примеров S-дуальности. Существование этих струнные дуальности означает, что кажущиеся разными формулировками теории струн фактически физически эквивалентны. Это привело к осознанию в середине 1990-х годов, что все пять последовательных теории суперструн представляют собой разные предельные случаи единой одиннадцатимерной теории, называемой М-теория.^[2]

Обзор

В квантовой теории поля и теории струн a константа связи это число, которое контролирует силу взаимодействий в теории. Например, сила сила тяжести описывается числом, называемым Постоянная Ньютона, который появляется в Закон всемирного тяготения Ньютона а также в уравнениях Альберт Эйнштейн с общая теория относительности. Точно так же сила электромагнитная сила описывается константой связи, которая связана с зарядом, переносимым одним протон.

Для вычисления наблюдаемых величин в квантовой теории поля или теории струн физики обычно применяют методы теория возмущений. В теории возмущений величины, называемые амплитуды вероятности, определяющие вероятность возникновения различных физических процессов, выражаются как суммы бесконечно многих членов, где каждый член пропорционален мощность константы связи ${ displaystyle g}$ :

{ displaystyle A = A_ {0} + A_ {1} g + A_ {2} g ^ {2} + A_ {3} g ^ {3} + точки}

.

Чтобы такое выражение имело смысл, константа связи должна быть меньше 1, чтобы более высокие степени ${ displaystyle g}$ становятся пренебрежимо малыми, а сумма конечна. Если константа связи не меньше 1, то члены этой суммы будут становиться все больше и больше, и выражение дает бессмысленный бесконечный ответ. В этом случае говорят, что теория сильно связанный, и нельзя использовать теорию возмущений для предсказаний.

Для некоторых теорий S-дуальность обеспечивает способ выполнения вычислений при сильной связи, переводя эти вычисления в различные вычисления в слабосвязанной теории. S-дуальность - частный пример общего понятия двойственность по физике. Период, термин двойственность относится к ситуации, когда два, казалось бы, разные физические системы оказываются эквивалентными нетривиальным образом. Если две теории связаны двойственностью, это означает, что одна теория может быть каким-то образом трансформирована так, что в итоге она будет выглядеть так же, как другая теория. Затем говорят, что две теории двойной друг к другу при преобразовании. Иными словами, две теории математически представляют собой разные описания одних и тех же явлений.

S-дуальность полезна, потому что она связывает теорию с константой связи ${ displaystyle g}$ к эквивалентной теории с константой связи ${ displaystyle 1 / g}$ . Таким образом, он связывает теорию с сильной связью (где константа связи ${ displaystyle g}$ много больше 1) в слабосвязанную теорию (где константа связи ${ displaystyle 1 / g}$ намного меньше 1, и вычисления возможны). По этой причине S-двойственность называется двойственность сильная-слабая.

S-дуальность в квантовой теории поля

Симметрия уравнений Максвелла

В классическая физика, поведение электрический и магнитное поле описывается системой уравнений, известной как Уравнения Максвелла. Работая на языке векторное исчисление и предполагая, что нет электрические заряды или же токи присутствуют, эти уравнения можно записать^[3]

{ Displaystyle { begin {align} nabla cdot mathbf {E} & = 0, nabla cdot mathbf {B} & = 0, nabla times mathbf {E} & = - { frac { partial mathbf {B}} { partial t}}, nabla times mathbf {B} & = { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { partial mathbf {E}} { partial t}}. end {align}}}

Здесь ${ displaystyle mathbf {E}}$ это вектор (а точнее векторное поле величина и направление которого могут изменяться от точки к точке в пространстве), представляющее электрическое поле, ${ displaystyle mathbf {B}}$ вектор, представляющий магнитное поле, ${ displaystyle t}$ время, и ${ displaystyle c}$ это скорость света. Остальные символы в этих уравнениях относятся к расхождение и завиток, которые являются понятиями из векторного исчисления.

Важное свойство этих уравнений^[4] является их инвариантность при преобразовании, одновременно заменяющем электрическое поле ${ displaystyle mathbf {E}}$ магнитным полем ${ displaystyle mathbf {B}}$ и заменяет ${ displaystyle mathbf {B}}$ к ${ displaystyle -1 / c ^ {2} mathbf {E}}$ :

{ displaystyle { begin {align} mathbf {E} & rightarrow mathbf {B} mathbf {B} & rightarrow - { frac {1} {c ^ {2}}} mathbf { E}. End {align}}}

Другими словами, учитывая пару электрического и магнитного полей, которые решать Уравнениями Максвелла можно описать новую физическую установку, в которой эти электрические и магнитные поля существенно меняются местами, и новые поля снова дадут решение уравнений Максвелла. Эта ситуация является самым основным проявлением S-дуальности в квантовой теории поля.

Двойственность Монтонена-Оливии

В квантовой теории поля электрическое и магнитное поля объединены в единое целое, называемое электромагнитное поле, и это поле описывается специальным типом квантовой теории поля, называемым калибровочная теория или же Теория Янга – Миллса. В калибровочной теории физические поля имеют высокую степень симметрия который можно понять математически, используя понятие Группа Ли. Эта группа Ли известна как группа датчиков. Электромагнитное поле описывается очень простой калибровочной теорией, соответствующей абелевский группа датчиков U (1), но есть и другие калибровочные теории с более сложными неабелевы калибровочные группы.^[5]

Естественно спросить, есть ли в калибровочной теории аналог симметрии, меняющей местами электрическое и магнитное поля в уравнениях Максвелла. Ответ был дан в конце 1970-х гг. Клаус Монтонен и Дэвид Олив,^[6] опираясь на более раннюю работу Питер Годдард, Жан Нуйтс, и Олив.^[7] Их работа представляет собой пример S-дуальности, ныне известной как Двойственность Монтонена-Оливии. Двойственность Монтонена – Олива применима к очень особому типу калибровочной теории, называемой N = 4 суперсимметричная теория Янга – Миллса, и он говорит, что две такие теории могут быть эквивалентны в определенном точном смысле.^[1] Если в одной из теорий есть калибровочная группа ${ displaystyle G}$ , то дуальная теория имеет калибровочную группу ${ displaystyle {^ {L}} G}$ куда ${ displaystyle {^ {L}} G}$ обозначает Двойная группа Ленглендса что в целом отличается от ${ displaystyle G}$ .^[8]

Важной величиной в квантовой теории поля является комплексная константа связи. Это комплексное число определяется формулой^[9]

{ displaystyle tau = { frac { theta} {2 pi}} + { frac {4 pi i} {g ^ {2}}}}

куда ${ displaystyle theta}$ это тета угол, количество, фигурирующее в Лагранжиан что определяет теорию,^[9] и ${ displaystyle g}$ - константа связи. Например, в теории Янга – Миллса, описывающей электромагнитное поле, это число ${ displaystyle g}$ это просто элементарный заряд ${ displaystyle e}$ переносится одним протоном.^[1] Помимо обмена калибровочными группами двух теорий, дуальность Монтонена – Олива преобразует теорию с комплексной константой связи ${ Displaystyle тау}$ к теории с комплексной константой ${ Displaystyle -1 / тау}$ .^[9]

Отношение к программе Langlands

В геометрическое соответствие Ленглендса связь между абстрактными геометрическими объектами, связанными с алгебраическая кривая такой как эллиптические кривые показано выше.

В математике классическая Переписка Ленглендса представляет собой собрание результатов и гипотез, касающихся теория чисел в раздел математики, известный как теория представлений.^[10] Сформулировано Роберт Лэнглендс в конце 1960-х соответствие Ленглендса было связано с важными гипотезами теории чисел, такими как Гипотеза Таниямы – Шимуры, который включает Последняя теорема Ферма как частный случай.^[10]

Несмотря на важность для теории чисел, установление соответствия Ленглендса в теоретико-числовом контексте оказалось чрезвычайно трудным.^[10] В результате некоторые математики разработали родственную гипотезу, известную как геометрическое соответствие Ленглендса. Это геометрическая переформулировка классического соответствия Ленглендса, которое получается заменой числовые поля появляется в оригинальной версии функциональные поля и применяя методы из алгебраическая геометрия.^[10]

В статье 2007 г. Антон Капустин и Эдвард Виттен предположил, что геометрическое соответствие Ленглендса можно рассматривать как математическое утверждение двойственности Монтонена-Олива.^[11] Начав с двух теорий Янга – Миллса, связанных S-дуальностью, Капустин и Виттен показали, что можно построить пару квантовых теорий поля в двумерном пространстве. пространство-время. Анализируя, что это уменьшение размеров делает с некоторыми физическими объектами, называемыми D-браны, они показали, что можно восстановить математические составляющие геометрического соответствия Ленглендса.^[12] Их работа показывает, что соответствие Ленглендса тесно связано с S-дуальностью в квантовой теории поля с возможными приложениями в обеих областях.^[10]

Двойственность Зайберга

Еще одна реализация S-дуальности в квантовой теории поля: Двойственность Зайберга, впервые представленный Натан Зайберг около 1995 года.^[13] В отличие от двойственности Монтонена – Олива, которая связывает две версии максимально суперсимметричной калибровочной теории в четырехмерном пространстве-времени, двойственность Зайберга связывает менее симметричные теории, называемые N = 1 суперсимметричных калибровочных теорий. Две N = 1 теории, возникающие в двойственности Зайберга, не идентичны, но они порождают одну и ту же физику на больших расстояниях. Подобно двойственности Монтонена – Олива, дуальность Зайберга обобщает симметрию уравнений Максвелла, которые меняют местами электрические и магнитные поля.

S-дуальность в теории струн

Диаграмма дуальностей теории струн. Синие края указывают на S-двойственность. Красные края указывают Т-дуальность.

Вплоть до середины 1990-х гг. Физики работали над теория струн считал, что существует пять различных версий теории: тип I, тип IIA, тип IIB, и два вкуса гетеротическая струна теория (ТАК (32) и E₈× E₈ ). Различные теории допускают разные типы струн, а частицы, возникающие при низких энергиях, обладают разной симметрией.

В середине 1990-х физики заметили, что эти пять теорий струн на самом деле связаны весьма нетривиальной двойственностью. Одна из этих двойственностей - S-двойственность. Существование S-дуальности в теории струн было впервые предложено Ашоке Сен в 1994 г.^[14] Было показано, что теория струн типа IIB с константой связи ${ displaystyle g}$ через S-дуальность эквивалентно той же теории струн с константой связи ${ displaystyle 1 / g}$ . По аналогии, теория струн типа I с муфтой ${ displaystyle g}$ эквивалентен ТАК (32) гетеротическая теория струн с константой связи ${ displaystyle 1 / g}$ .

Существование этих дуальностей показало, что на самом деле не все теории пяти струн были отдельными. В 1995 г. на конференции по теории струн в г. Университет Южной Калифорнии Эдвард Виттен сделал удивительное предположение, что все пять этих теорий были всего лишь разными пределами одной теории, ныне известной как М-теория.^[15] Предложение Виттена было основано на наблюдении, что типы IIA и E₈× E₈ теории гетеротических струн тесно связаны с теорией гравитации, называемой одиннадцатимерной супергравитация. Его объявление привело к шквалу работ, теперь известных как вторая суперструнная революция.

Смотрите также

Примечания

^ ^а ^б ^c Френкель 2009, стр.2
^ Цвибах 2009, стр. 325
^ Гриффитс 1999, стр.326.
^ Гриффитс 1999, стр. 327
^ Для введения в квантовую теорию поля в целом, включая основы калибровочной теории, см. Zee 2010.
^ Монтонен и Олив 1977
^ Годдард, Нуйтс и Олив 1977
^ Френкель 2009, стр.5
^ ^а ^б ^c Френкель 2009, стр.12
^ ^а ^б ^c ^d ^е Френкель 2007
^ Капустин и Виттен 2007
^ Aspinwall et al. 2009, с.415
^ Зайберг 1995
^ Сен 1994
^ Виттен 1995

Теория струн
Фон	Струны История теории струн Первая суперструнная революция Вторая суперструнная революция Пейзаж теории струн
Теория	Действие Намбу – Гото Поляков действие Теория бозонных струн Теория суперструн Строка типа I Струна типа II Строка типа IIA Строка типа IIB Гетеротическая строка N = 2 суперструны F-теория Теория струнного поля Матричная теория струн Некритическая теория струн Нелинейная сигма-модель Тахионная конденсация Формализм RNS Формализм GS
Струнная двойственность	Т-дуальность S-дуальность U-дуальность Двойственность Монтонена-Оливии
Частицы и поля	Гравитон Дилатон Тахион Рамон-Рамонское месторождение Поле Калба – Рамона Магнитный монополь Двойной гравитон Двойной фотон
Бранес	D-брана NS5-брана М2-брана М5-брана S-брана Черная брана Черные дыры Черная строка Космология браны Схема колчана Переход Ханани – Виттена
Конформная теория поля	Алгебра Вирасоро Зеркальная симметрия Конформная аномалия Конформная алгебра Суперконформная алгебра Вершинная операторная алгебра Алгебра петель Алгебра Каца – Муди Модель Весса – Зумино – Виттена.
Калибровочная теория	Аномалии Instantons Форма Черна – Саймонса Граница Богомольного – Прасада – Соммерфилда Исключительные группы Ли (грамм₂, F₄, E₆, E₇, E₈ ) Классификация ADE Струна Дирака п-формная электродинамика
Геометрия	Теория Калуцы – Клейна Компактификация Почему 10 измерений ? Кэлерово многообразие Риччи-плоское многообразие Многообразие Калаби – Яу Гиперкэлерово многообразие K3 поверхность грамм₂ многообразие Спиновое (7) -многообразие Обобщенное комплексное многообразие Орбифолд Конифолд Ориентифолд Модульное пространство Доменная стена Горжава – Виттена К-теория (физика) Витая K-теория
Суперсимметрия	Супергравитация Суперпространство Супералгебра Ли Супергруппа Ли
Голография	Голографический принцип AdS / CFT корреспонденция
М-теория	Матричная теория Введение в М-теорию
Теоретики струн	Аганагич Аркани-Хамед Атья банки Беренштейн Буссо Тесак Curtright Dijkgraaf Дистлер Дуглас Дафф Феррара Фишлер Фридан Ворота Глиоцци Гопакумар Зеленый Грин Валовой Губсер Гуков Guth Hanson Харви Горжава Гиббонс Качру Каку Каллош Калуца Капустин Клебанов Книжник Концевич Кляйн Linde Мальдасена Мандельштам Марольф Мартинек Минвалла Мур Motl Мухи Майерс Нанопулос Нэстасе Некрасов Невеу Nielsen van Nieuwenhuizen Новиков Оливковое Ooguri Оврут Полчинский Поляков Раджараман Рамон Randall Ранджбар-Дэми Рочек Ром Scherk Шварц Зайберг Сен Шенкер Сигель Сильверштейн Сын Staudacher Steinhardt Strominger Сундрам Сасскинд 'т Хофт Townsend Триведи Турок Вафа Венециано Верлинде Верлинде Wess Виттен Яу Йонея Замолодчиков Замолодчиков Заслоу Зумино Zwiebach