Алгебра петель - Loop algebra

Не путать с квазигруппа с элемент идентичности, также называемый алгебраической петлей.

В математика, алгебры петель есть определенные типы Алгебры Ли, представляющих особый интерес в теоретическая физика.

Определение

Если грамм является алгеброй Ли, тензорное произведение из грамм с C^∞(S¹), то алгебра из (комплекс) гладкие функции над круг многообразие S¹ (равносильно гладкой комплекснозначной периодические функции заданного периода),

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(S^{1})}$,

является бесконечномерной алгеброй Ли с Кронштейн лжи данный

${\displaystyle [g_{1}\otimes f_{1},g_{2}\otimes f_{2}]=[g_{1},g_{2}]\otimes f_{1}f_{2}}$.

Здесь грамм₁ и грамм₂ являются элементами грамм и ж₁ и ж₂ являются элементами C^∞(S¹).

Это не совсем то, что соответствовало бы прямой продукт бесконечно много копий грамм, по одному на каждую точку в S¹, из-за ограничения гладкости. Вместо этого его можно рассматривать с точки зрения гладкая карта из S¹ к грамм; гладкий параметризованный цикл в грамм, другими словами. Вот почему он называется алгебра петель.

Группа петель

Аналогично, множество всех гладких отображений из S¹ к Группа Ли грамм образует бесконечномерную группу Ли (группу Ли в том смысле, что мы можем определить функциональные производные над ним) называется группа петель. Алгебра Ли группы петель - это соответствующая алгебра петель.

преобразование Фурье

Мы можем взять преобразование Фурье на этой алгебре петель, определив

${\displaystyle g\otimes t^{n}}$

в качестве

${\displaystyle g\otimes e^{-in\sigma }}$

куда

0 ≤ σ <2π

является координацией S¹.

Приложения

Если грамм это полупростая алгебра Ли, то нетривиальный центральное расширение алгебры петель порождает аффинная алгебра Ли.

Рекомендации

• Фукс, Юрген (1992), Аффинные алгебры Ли и квантовые группы, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-48412-X