Прямой продукт - Direct product - Wikipedia

В математика, часто можно определить прямой продукт объектов уже известных, даем новый. Это обобщает Декартово произведение лежащих в основе наборы вместе с соответствующим образом определенной структурой набора продуктов. Более абстрактно говорят о продукт в теории категорий, что формализует эти понятия.

Примеры - продукт наборов, группы (описано ниже), кольца, и другие алгебраические структуры. В товар из топологические пространства еще один пример.^{[сомнительный ]}

Также есть прямая сумма - в некоторых областях это используется взаимозаменяемо, а в других это другое понятие.

Примеры

• Если мы подумаем о ${\displaystyle \mathbb {R} }$ как набор действительных чисел, то прямое произведение ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ это просто декартово произведение ${\displaystyle \{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \}}$.
• Если мы подумаем о ${\displaystyle \mathbb {R} }$ как группа действительных чисел при сложении, то прямое произведение ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ все еще есть ${\displaystyle \{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \}}$ как его базовый набор. Разница между этим и предыдущим примером заключается в том, что ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ теперь группа, и поэтому мы также должны сказать, как добавлять их элементы. Это делается путем определения ${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$.
• Если мы подумаем о ${\displaystyle \mathbb {R} }$ как звенеть действительных чисел, то прямое произведение ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ снова имеет ${\displaystyle \{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \}}$ как его базовый набор. Кольцо кольцевой структуры состоит из сложения, определяемого формулой ${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$ и умножение определяется ${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac,bd)}$.
• Однако если мы подумаем о ${\displaystyle \mathbb {R} }$ как поле действительных чисел, то прямое произведение ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ не существует - наивное определение сложения и умножения покомпонентно, как в приведенном выше примере, не приведет к появлению поля, поскольку элемент ${\displaystyle (1,0)}$ не имеет мультипликативный обратный.

Аналогичным образом мы можем говорить о прямом произведении конечного числа алгебраических структур, например ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$. Это основано на том факте, что прямой продукт ассоциативный вплоть до изоморфизм. То есть, ${\displaystyle (A\times B)\times C\cong A\times (B\times C)}$ для любых алгебраических структур ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, и ${\displaystyle C}$ такого же вида. Прямой продукт также коммутативный с точностью до изоморфизма, т.е. ${\displaystyle A\times B\cong B\times A}$ для любых алгебраических структур ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ такого же вида. Мы можем даже говорить о прямом произведении бесконечного множества алгебраических структур; например, мы можем взять прямое произведение счетно много копий ${\displaystyle \mathbb {R} }$, который мы запишем как ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \dotsb }$.

Групповой прямой продукт

Основная статья: Прямое произведение групп

В теория групп можно определить прямое произведение двух групп (грамм, ∘) и (ЧАС, ∙), обозначаемый грамм × ЧАС. За абелевы группы которые записываются аддитивно, его также можно назвать прямая сумма двух групп, обозначаемый ${\displaystyle G\oplus H}$.

Это определяется следующим образом:

• то набор элементов новой группы Декартово произведение наборов элементов грамм и ЧАС, то есть {(грамм, час): грамм ∈ грамм, час ∈ ЧАС};
• над этими элементами поместите операцию, определенную поэлементно:

  (грамм, час) × (грамм', час' ) = (грамм ∘ грамм', час ∙ час')

(Обратите внимание, что (грамм, ∘) может быть таким же, как (ЧАС, ∙))

Эта конструкция дает новую группу. Оно имеет нормальная подгруппа изоморфен грамм (задается элементами формы (грамм, 1)), а один изоморфен ЧАС (состоящий из элементов (1, час)).

Верно и обратное, имеет место следующая теорема распознавания: если группа K содержит две нормальные подгруппы грамм и ЧАС, так что K= GH и пересечение грамм и ЧАС содержит только личность, тогда K изоморфен грамм × ЧАС. Ослабление этих условий, требующее, чтобы только одна подгруппа была нормальной, дает полупрямой продукт.

В качестве примера возьмем как грамм и ЧАС две копии единственной (с точностью до изоморфизмов) группы порядка 2, C₂: say {1, а} и {1, б}. потом C₂×C₂ = {(1,1), (1,б), (а,1), (а,б)} с операцией поэлементно. Например, (1,б)*(а,1) = (1*а, б*1) = (а,б) и (1,б)*(1,б) = (1,б²) = (1,1).

С прямым продуктом мы получаем натуральный гомоморфизмы групп бесплатно: карты проекций определяются

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}:G\times H\to G,\ \ \pi _{1}(g,h)&=g\\\pi _{2}:G\times H\to H,\ \ \pi _{2}(g,h)&=h\end{aligned}}}$

называется координатные функции.

Кроме того, каждый гомоморфизм ж к прямому продукту полностью определяется его составными функциями ${\displaystyle f_{i}=\pi _{i}\circ f}$.

Для любой группы (грамм, ∘) и любое целое число п ≥ 0, повторное применение прямого продукта дает группу всех п-кортежи грамм^п (за п = 0 получаем тривиальная группа ), Например Z^п и р^п.

Прямое произведение модулей

Непосредственный продукт для модули (не путать с тензорное произведение ) очень похож на то, что определено для групп выше, используя декартово произведение с операцией сложения, выполняемой покомпонентно, а скалярное умножение просто распределяется по всем компонентам. Начиная с р мы получили Евклидово пространство р^п, прототипический пример реального п-мерное векторное пространство. Прямое произведение р^м и р^п является р^м+п.

Обратите внимание, что прямое произведение для конечного индекса ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$ идентичен прямая сумма ${\displaystyle \bigoplus _{i=1}^{n}X_{i}}$. Прямая сумма и прямое произведение различаются только для бесконечных индексов, где элементы прямой суммы равны нулю для всех, кроме конечного числа элементов. Они двойственны в смысле теория категорий: прямая сумма - это сопродукт, а прямой продукт - это продукт.

Например, рассмотрим ${\displaystyle X=\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} }$ и ${\displaystyle Y=\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} }$, бесконечное прямое произведение и прямая сумма действительных чисел. Только последовательности с конечным числом ненулевых элементов находятся в Y. Например, (1,0,0,0, ...) находится в Y но (1,1,1,1, ...) нет. Обе эти последовательности находятся в прямом произведении Икс; по факту, Y является собственным подмножеством Икс (то есть, Y ⊂ Икс).^[1][2]

Прямое произведение топологического пространства

Непосредственный продукт для сбора топологические пространства Икс_я за я в я, некоторый набор индексов, снова использует декартово произведение

${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$

Определение топология немного сложно. Для конечного числа факторов это очевидный и естественный поступок: просто принять как основа открытых множеств как совокупность всех декартовых произведений открытых подмножеств каждого фактора:

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{U_{1}\times \cdots \times U_{n}\ |\ U_{i}\ \mathrm {open\ in} \ X_{i}\}.}$

Эта топология называется топология продукта. Например, прямое определение топологии продукта на р² открытыми наборами р (непересекающиеся объединения открытых интервалов), основу этой топологии составили бы все непересекающиеся объединения открытых прямоугольников на плоскости (как оказывается, она совпадает с обычным метрика топология).

Топология продукта для бесконечных продуктов имеет изюминку, и это связано с возможностью сделать все карты проекций непрерывными и сделать все функции в продукте непрерывными тогда и только тогда, когда все его составляющие функции являются непрерывными (т. Е. Удовлетворяют категориальному критерию определение продукта: морфизмы здесь являются непрерывными функциями): мы берем в качестве основы открытых множеств набор всех декартовых произведений открытых подмножеств из каждого фактора, как и раньше, при условии, что все, кроме конечного числа открытых подмножеств весь фактор:

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\ {\Big |}\ (\exists j_{1},\ldots ,j_{n})(U_{j_{i}}\ \mathrm {open\ in} \ X_{j_{i}})\ \mathrm {and} \ (\forall i\neq j_{1},\ldots ,j_{n})(U_{i}=X_{i})\right\}.}$

В этом случае более естественной топологией было бы взятие произведений бесконечно большого числа открытых подмножеств, как и раньше, и это действительно дает несколько интересную топологию: коробчатая топология. Однако не так уж сложно найти пример группы непрерывных компонентных функций, функция продукта которых не является непрерывной (см. Топологию отдельного окна ввода для примера и многое другое). Проблема, которая делает такой поворот необходимым, в конечном итоге коренится в том факте, что пересечение открытых множеств гарантированно будет открытым только для конечного числа множеств в определении топологии.

Продукты (с товарной топологией) хороши с точки зрения сохранения свойств своих факторов; например, произведение хаусдорфовых пространств хаусдорфово; произведение связных пространств связно, а произведение компактных пространств компактно. Тот последний, названный Теорема Тихонова, является еще одним эквивалентом аксиома выбора.

Дополнительные свойства и эквивалентные составы см. В отдельной записи. топология продукта.

Прямое произведение бинарных отношений

О декартовом произведении двух множеств с бинарные отношения R и S определим (а, б) Т (c, d) в качестве арc и бSd. Если R и S оба рефлексивный, иррефлексивный, переходный, симметричный, или же антисимметричный, то T будет также.^[3] Комбинируя свойства, следует, что это также относится к тому, чтобы быть Предварительный заказ и будучи отношение эквивалентности. Однако если R и S полные отношения, T не является общей суммой.

Прямое произведение в универсальной алгебре

Если Σ - фиксированная подпись, я - произвольное (возможно, бесконечное) множество индексов, а (А_я)_я∈я является индексированная семья алгебр Σ, прямой продукт А = ∏_я∈я А_я является Σ-алгеброй, определяемой следующим образом:

• Набор вселенной А из А - декартово произведение множеств вселенной А_я из А_я, формально: А = ∏_я∈я А_я;
• Для каждого п и каждый псимвол операции ж ∈ Σ, его интерпретация ж^А в А определяется покомпонентно, формально: для всех а₁, ..., а_п ∈ А и каждый я ∈ я, то яй компонент ж^А(а₁, ..., а_п) определяется как ж^А_я(а₁(я), ..., а_п(я)).

Для каждого я ∈ я, то я-я проекция π_я : А → А_я определяется π_я(а) = а(я). Это сюръективный гомоморфизм между Σ-алгебрами А и А_я.^[4]

В частном случае, если индекс установлен я = { 1, 2 }, прямое произведение двух Σ алгебр А₁ и А₂ получается, записывается как А = А₁ × А₂. Если Σ содержит только одну бинарную операцию ж, то над определение прямого произведения групп получено с использованием обозначений А₁ = грамм, А₂ = ЧАС, ж^А₁ = ∘, ж^А₂ = ∙, и ж^А = ×. Точно так же сюда включается определение прямого произведения модулей.

Категориальный продукт

Основная статья: Продукт (теория категорий)

Непосредственный продукт можно абстрагировать до произвольного категория. В общей категории, учитывая набор объектов А_я и коллекция морфизмы п_я из А к А_я^{[требуется разъяснение ]} с я ранжирование в некотором наборе индексов я, объект А считается категориальный продукт в категории if для любого объекта B и любой набор морфизмов ж_я из B к А_я, существует единственный морфизм ж из B к А такой, что ж_я = p_я ж и этот объект А уникален. Это работает не только для двух факторов, но и для произвольно (даже бесконечно) многих.

Для групп мы аналогичным образом определяем прямое произведение более общего произвольного набора групп грамм_я за я в я, я индексный набор. Обозначая декартово произведение групп через грамм мы определяем умножение на грамм с операцией покомпонентного умножения; и соответствующий п_я в приведенном выше определении - это карты проекции

${\displaystyle \pi _{i}\colon G\to G_{i}\quad \mathrm {by} \quad \pi _{i}(g)=g_{i}}$,

функции, которые принимают ${\displaystyle (g_{j})_{j\in I}}$ к его яй компонент грамм_я.

Внутренний и внешний прямой продукт

Смотрите также: Внутренняя прямая сумма

Некоторые авторы проводят различие между внутренний прямой продукт и внешний прямой продукт. Если ${\displaystyle A,B\subset X}$ и ${\displaystyle A\times B\cong X}$, то мы говорим, что Икс является внутренний прямой продукт А и B, а если А и B не подобъекты, то мы говорим, что это внешний прямой продукт.

Метрика и норма

Метрика на декартовом произведении метрических пространств и норма на прямом произведении нормированных векторных пространств может быть определена различными способами, см., Например, p-норма.

Смотрите также

• Прямая сумма
• Декартово произведение
• Копродукт
• Бесплатный продукт
• Полупрямой продукт
• Заппа – Сзеп продукт
• Тензорное произведение графов
• Заказы на декартово произведение полностью упорядоченных множеств

Примечания

1. В., Вайсштейн, Эрик. «Прямой продукт». mathworld.wolfram.com. Получено 2018-02-10.
2. В., Вайсштейн, Эрик. «Групповой Директ Продукт». mathworld.wolfram.com. Получено 2018-02-10.
3. Эквивалентность и порядок
4. Стэнли Н. Беррис и Х.П. Санкаппанавар, 1981. Курс универсальной алгебры. Springer-Verlag. ISBN  3-540-90578-2. Здесь: Def.7.8, стр.53 (= стр.67 в файле pdf)

Рекомендации

• Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (Пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, МИСТЕР  1878556