Минимальное сцепление - Minimal coupling

В аналитическая механика и квантовая теория поля, минимальное сцепление относится к связи между поля который включает только обвинять раздача и не выше мультипольные моменты распределения заряда. Эта минимальная связь отличается, например, от Муфта Паули, который включает магнитный момент из электрон прямо в Лагранжиан.

Электродинамика

В электродинамика минимальная связь достаточна для учета всех электромагнитных взаимодействий. Высшие моменты частиц являются следствием минимального взаимодействия и ненулевого вращение.

Нерелятивистская заряженная частица в электромагнитном поле

В Декартовы координаты, то Лагранжиан нерелятивистской классической частицы в электромагнитном поле составляет (в Единицы СИ ):

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}q{\dot {x}}_{i}A_{i}-q\varphi }$

куда q это электрический заряд частицы, φ это электрический скалярный потенциал, а А_я компоненты магнитный векторный потенциал все это может явно зависеть от ${\displaystyle x_{i}}$ и ${\displaystyle t}$.

Этот лагранжиан в сочетании с Уравнение Эйлера – Лагранжа., производит Сила Лоренца закон

${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {x} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \,,}$

и называется минимальное сцепление.

Обратите внимание, что значения скалярного потенциала и векторного потенциала будут меняться во время калибровочное преобразование^[1], и сам лагранжиан также получит дополнительные члены; Но дополнительные члены в лагранжиане складываются в полную производную по времени скалярной функции и, следовательно, по-прежнему дают то же уравнение Эйлера-Лагранжа.

В канонические импульсы даны:

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+qA_{i}}$

Обратите внимание, что канонические импульсы не калибровочный инвариант, и физически не поддаются измерению. Тем не менее кинетический импульс

${\displaystyle P_{i}\equiv m{\dot {x}}_{i}=p_{i}-qA_{i}}$

калибровочно инвариантно и физически измеримо.

В Гамильтониан, как Превращение Лежандра лагранжиана, следовательно:

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\left\{\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}\right\}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i}\right)^{2}}{2m}}+q\varphi }$

Это уравнение часто используется в квантовая механика.

Под калибровочным преобразованием:

${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f}}\,,}$

куда ж(р,т) - любая скалярная функция пространства и времени, вышеупомянутый лагранжиан, канонические импульсы и гамильтоново преобразование, например:

${\displaystyle L\rightarrow L'=L+q{\frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=H-q{\frac {\partial f}{\partial t}}\,,}$

который по-прежнему дает то же уравнение Гамильтона:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}&=\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-\left.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\\&=-\left.{\frac {\partial L}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}{\frac {df}{dt}}\\&=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\right)\\&=-{\dot {p}}'_{i}\end{aligned}}}$

В квантовой механике волновая функция также пройдет местный U (1) групповое преобразование^[2] во время калибровочного преобразования, что означает, что все физические результаты должны быть инвариантными относительно локальных преобразований U (1).

Релятивистская заряженная частица в электромагнитном поле

В релятивистский лагранжиан для частицы (масса покоя м и обвинять q) дан кем-то:

${\displaystyle {\mathcal {L}}(t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{{\dot {\mathbf {x} }}(t)}^{2}}{c^{2}}}}}+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} \left(\mathbf {x} (t),t\right)-q\varphi \left(\mathbf {x} (t),t\right)}$

Таким образом, канонический импульс частицы равен

${\displaystyle \mathbf {p} (t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}={\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\mathbf {A} }$

то есть сумма кинетического и потенциального импульса.

Решая для скорости, мы получаем

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\frac {\mathbf {p} -q\mathbf {A} }{\sqrt {m^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}}}$

Итак, гамильтониан

${\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {p} -{\mathcal {L}}=c{\sqrt {m^{2}c^{2}+{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}+q\varphi }$

Это приводит к уравнению силы (эквивалентному Уравнение Эйлера – Лагранжа. )

${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {x} }}=q{\dot {\mathbf {x} }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi =q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi }$

из которого можно вывести

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}\right)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )={\dot {\mathbf {p} }}-q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \end{aligned}}}$

Приведенный выше вывод использует тождество с векторным исчислением:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ \mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {A} )\ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} ).}$

Эквивалентное выражение для гамильтониана как функции релятивистского (кинетического) импульса: п = γmИкс(т) = п - qА, является

${\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {P} (t)+{\frac {mc^{2}}{\gamma }}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=\gamma mc^{2}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=E+V}$

Это имеет то преимущество, что кинетический импульс п можно измерить экспериментально, тогда как канонический импульс п не можешь. Обратите внимание, что гамильтониан (полная энергия ) можно рассматривать как сумму релятивистская энергия (кинетическая + покой), E = γmc², плюс потенциальная энергия, V = eφ.

Инфляция

В исследованиях космологическая инфляция, минимальное сцепление скалярного поля обычно относится к минимальной связи с гравитацией. Это означает, что действие для инфлатонное поле ${\displaystyle \varphi }$ не связан с скалярная кривизна. Его единственная связь с гравитацией - это связь с Инвариант Лоренца мера ${\displaystyle {\sqrt {g}}\,d^{4}x}$ построенный из метрика (в Планковские единицы ):

${\displaystyle S=\int d^{4}x\,{\sqrt {g}}\,\left(-{\frac {1}{2}}R+{\frac {1}{2}}\nabla _{\mu }\varphi \nabla ^{\mu }\varphi -V(\varphi )\right)}$

куда ${\displaystyle g:=\det g_{\mu \nu }}$, и используя калибровочная ковариантная производная.

Рекомендации

1. Средницки, Марк (январь 2007 г.). Квантовая теория поля. Кембриджское ядро. Дои:10.1017 / cbo9780511813917. ISBN  9780511813917. Получено 2020-05-08.
2. Зинн-Джастин, Жан; Гуида, Риккардо (2008-12-04). «Калибровочная инвариантность». Scholarpedia. 3 (12): 8287. Дои:10.4249 / scholarpedia.8287. ISSN  1941-6016.