Двойное комплексное число - Dual-complex number

Двойное комплексное умножение

${\displaystyle \times }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle \varepsilon j}$	${\displaystyle \varepsilon k}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle \varepsilon j}$	${\displaystyle \varepsilon k}$
${\displaystyle i}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle \varepsilon k}$	${\displaystyle -\varepsilon j}$
${\displaystyle \varepsilon j}$	${\displaystyle \varepsilon j}$	${\displaystyle -\varepsilon k}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \varepsilon k}$	${\displaystyle \varepsilon k}$	${\displaystyle \varepsilon j}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$

В двойные комплексные числа составляют четырехмерный алгебра над действительные числа.^[1][2] Их основное применение - представление движения твердого тела в 2D пространстве.

В отличие от умножения двойные числа или из сложные числа, двойственно-комплексные числа некоммутативный.

Определение

В этой статье множество двойственно-комплексных чисел обозначается ${\displaystyle \mathbb {DC} }$. Общий элемент ${\displaystyle q}$ из ${\displaystyle \mathbb {DC} }$ имеет форму ${\textstyle A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$ куда ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ настоящие числа; ${\displaystyle \varepsilon }$ это двойной номер что квадратов к нулю; и ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$, и ${\displaystyle k}$ являются стандартными базовыми элементами кватернионы.

Умножение выполняется так же, как и с кватернионами, но с дополнительным правилом, которое ${\textstyle \varepsilon }$ является нильпотентный индекса ${\displaystyle 2}$, т.е. ${\textstyle \varepsilon ^{2}=0}$. Отсюда следует, что мультипликативные обратные двойственно-комплексные числа задаются

${\displaystyle (A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k)^{-1}={\frac {A-Bi-C\varepsilon j-D\varepsilon k}{A^{2}+B^{2}}}}$

Набор ${\displaystyle \{1,i,\varepsilon j,\varepsilon k\}}$ образует основу векторного пространства двойственно-комплексных чисел, где скаляры - действительные числа.

Величина двойного комплексного числа ${\displaystyle q}$ определяется как

$${\displaystyle |q|={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}.}$$

Для приложений в компьютерной графике число ${\displaystyle A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$ должны быть представлены как 4-кортеж ${\displaystyle (A,B,C,D)}$.

Матричное представление

Двойное комплексное число ${\displaystyle q=A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$ имеет следующее представление в виде комплексной матрицы 2x2:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A+Bi&C+Di\\0&A-Bi\end{pmatrix}}.}$

Его также можно представить в виде матрицы двойных чисел 2x2:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A+C\epsilon &-B+D\epsilon \\B+D\epsilon &A-C\epsilon \end{pmatrix}}.}$

Терминология

Алгебру, обсуждаемую в этой статье, иногда называют двойные комплексные числа. Это название может вводить в заблуждение, потому что предполагает, что алгебра должна иметь форму:

1. Двойные числа, но с записями комплексных чисел
2. Комплексные числа, но с двойными числами

Алгебра, удовлетворяющая любому описанию, существует. И оба описания эквивалентны. (Это связано с тем, что тензорное произведение алгебр коммутативен с точностью до изоморфизма ). Эту алгебру можно обозначить как ${\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{2})}$ с помощью кольцевое частное. Полученная алгебра имеет коммутативное произведение и в дальнейшем не обсуждается.

Представление движений твердого тела

Позволять

$${\displaystyle q=A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$$

быть двойным комплексным числом единичной длины, т.е. мы должны иметь, что

$${\displaystyle |q|={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}=1.}$$

Евклидова плоскость может быть представлена ​​множеством ${\textstyle \Pi =\{i+x\varepsilon j+y\varepsilon k\mid x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}}$.

Элемент ${\displaystyle v=i+x\varepsilon j+y\varepsilon k}$ на ${\displaystyle \Pi }$ представляет точку на Евклидова плоскость с декартова координата ${\displaystyle (x,y)}$.

${\displaystyle q}$ можно сделать действовать на ${\displaystyle v}$ к

$${\displaystyle qvq^{-1},}$$

который отображает ${\displaystyle v}$ на какой-то другой момент ${\displaystyle \Pi }$.

У нас есть следующие (несколько) полярные формы за ${\displaystyle q}$:

1. Когда ${\displaystyle B\neq 0}$, элемент ${\displaystyle q}$ можно записать как
   $${\displaystyle \cos(\theta /2)+\sin(\theta /2)(i+x\varepsilon j+y\varepsilon k),}$$
   что означает поворот на угол ${\displaystyle \theta }$ вокруг точки ${\displaystyle (x,y)}$.
2. Когда ${\displaystyle B=0}$, элемент ${\displaystyle q}$ можно записать как
   $${\displaystyle {\begin{aligned}&1+i(x\varepsilon j+y\varepsilon k)\\={}&1-y\varepsilon j+x\varepsilon k,\end{aligned}}}$$
   что обозначает перевод вектором ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.}$

Геометрическая конструкция

Принципиальная конструкция двойственно-комплексных чисел может быть найдена, сначала заметив, что они являются подмножеством двойные кватернионы.

Есть две геометрические интерпретации двойные кватернионы, оба из которых могут быть использованы для получения действия двойных комплексных чисел на плоскости:

• Как способ представить движения твердого тела в трехмерном пространстве. Затем можно увидеть, что двойные комплексные числа представляют собой подмножество этих движений твердого тела. Это требует некоторого знакомства с тем, как двойственные кватернионы действуют в евклидовом пространстве. Мы не будем описывать здесь этот подход, поскольку он есть. адекватно сделано в другом месте.
• Двойные кватернионы можно понимать как «бесконечно малое утолщение» кватернионов.^[3][4][5] Напомним, что кватернионы могут использоваться для представления 3D пространственные вращения, а двойные числа могут использоваться для обозначения "бесконечно малые ". Объединение этих функций вместе позволяет бесконечно изменять вращение. Пусть ${\displaystyle \Pi }$ обозначим бесконечно малую плоскость, лежащую на единичной сфере, равную ${\displaystyle \{i+x\varepsilon j+y\varepsilon k\mid x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}}$. Заметьте, что ${\displaystyle \Pi }$ является подмножеством сферы, несмотря на то, что она плоская (это благодаря поведению двойственных чисел бесконечно малых).

Обратите внимание, что как подмножество двойственных кватернионов, двойственные комплексные числа вращают плоскость ${\displaystyle \Pi }$ обратно на себя. Влияние этого на ${\displaystyle v\in \Pi }$ зависит от стоимости ${\displaystyle q=A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$ в ${\displaystyle qvq^{-1}}$:

1. Когда ${\displaystyle B\neq 0}$, ось вращения направлена ​​к некоторой точке ${\displaystyle p}$ на ${\displaystyle \Pi }$, так что точки на ${\displaystyle \Pi }$ испытать вращение вокруг ${\displaystyle p}$.
2. Когда ${\displaystyle B=0}$ось вращения направлена ​​в сторону от плоскости, а угол поворота бесконечно мал. В этом случае точки на ${\displaystyle \Pi }$ испытать перевод.

Смотрите также

• Эдуард Этюд
• Кватернионы
• Двойные числа
• Двойные кватернионы
• Алгебра Клиффорда
• Изометрия евклидовой плоскости
• Аффинное преобразование
• Проективная плоскость
• Однородные координаты
• SLERP
• Конформная геометрическая алгебра

Рекомендации

1. Мацуда, Генки; Кадзи, Шизуо; Очиай, Хироюки (2014), Анджио, Кен (ред.), "Антикоммутативные двойственные комплексные числа и двумерное жесткое преобразование", Математический прогресс в синтезе экспрессивных изображений I: расширенные и избранные результаты симпозиума MEIS2013, Математика для промышленности, Springer Japan, стр. 131–138, arXiv:1601.01754, Дои:10.1007/978-4-431-55007-5_17, ISBN  9784431550075
2. Ганн К. (2011) Об однородной модели евклидовой геометрии. В: Дорст Л., Ласенби Дж. (Ред.) Руководство по геометрической алгебре на практике. Спрингер, Лондон
3. «Прямые в евклидовой группе SE (2)». Какие новости. 2011-03-06. Получено 2019-05-28.
4. Этюд, Э. (декабрь 1891 г.). "Фон ден Bewegungen und Umlegungen". Mathematische Annalen. 39 (4): 441–565. Дои:10.1007 / bf01199824. ISSN  0025-5831.
5. Зауэр, Р. (1939). "Доктор Вильгельм Блашке, профессор ad Universität Hamburg, Ebene Kinematik, eine Vorlesung (Hamburger Math. Einzelschriften, 25. Heft, 1938). 56 S. m. 19 Abb. Leipzig-Berlin 1938, Verlag BG Teubner. Preis br. 4 м. ». ZAMM - Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 19 (2): 127. Bibcode:1939ЗаММ ... 19Р.127С. Дои:10.1002 / zamm.19390190222. ISSN  0044-2267.