Определимое действительное число - Definable real number

В квадратный корень из 2 равна длине гипотенуза из прямоугольный треугольник с ногами длиной 1 и поэтому конструктивное число

Неофициально определяемое действительное число это настоящий номер который можно однозначно указать по его описанию. Описание может быть выражено как конструкция или как формула формальный язык. Например, положительный квадратный корень из 2, ${displaystyle {sqrt {2}}}$ , можно определить как единственное положительное решение уравнения ${displaystyle x ^ {2} = 2}$ , и его можно построить с помощью циркуля и линейки.

Различный выбор формального языка или его интерпретация может привести к различным представлениям об определимости. Конкретные разновидности определяемых чисел включают конструктивные числа геометрии, алгебраические числа, а вычислимые числа. Поскольку формальные языки могут иметь только счетно много формул, каждое понятие определимых чисел имеет не более чем счетное число определимых действительных чисел. Однако по Диагональный аргумент Кантора, существует несчетное количество действительных чисел, поэтому почти каждый действительное число не поддается определению.

Конструируемые числа

Один из способов указать действительное число - использовать геометрические методы. Настоящее число р является конструктивным числом, если существует метод построения отрезка длины р используя циркуль и линейку, начиная с отрезка фиксированной линии длиной 1.

Каждое положительное целое число и каждое положительное рациональное число можно построить. Положительный квадратный корень из 2 конструктивен. Однако кубический корень из 2 невозможно построить; это связано с невозможностью удвоение куба.

Действительные алгебраические числа

Алгебраические числа на комплексная плоскость окрашены по градусам (красный = 1, зеленый = 2, синий = 3, желтый = 4)

Настоящее число р называется настоящим алгебраическое число если есть многочлен п(Икс), только с целыми коэффициентами, так что р это корень п, то есть, п(р) = 0. Каждое действительное алгебраическое число можно определить индивидуально, используя отношение порядка вещественных чисел. Например, если многочлен q(Икс) имеет 5 корней, третий можно определить как единственный р такой, что q(р) = 0 и такое, что существует два различных числа меньше, чем р для которого q равно нулю.

Все рациональные числа алгебраичны, и все конструктивные числа алгебраичны. Есть числа, такие как кубический корень из 2, которые являются алгебраическими, но не конструктивными.

Действительные алгебраические числа образуют подполе реальных чисел. Это означает, что 0 и 1 - алгебраические числа и, более того, если а и б являются алгебраическими числами, то также а+б, а−б, ab и если б не равно нулю, а/б.

Действительные алгебраические числа также обладают свойством, выходящим за рамки подполя вещественных чисел, что для каждого положительного целого числа п и каждое действительное алгебраическое число а, Все пкорни а действительные числа также являются алгебраическими.

Есть только счетно много алгебраические числа, но действительных чисел несчетное количество, поэтому в смысле мощность большинство действительных чисел не являются алгебраическими. Этот неконструктивное доказательство что не все действительные числа являются алгебраическими, впервые было опубликовано Георгом Кантором в его статье 1874 г. "Об одном свойстве набора всех вещественных алгебраических чисел ".

Неалгебраические числа называются трансцендентные числа. Конкретные примеры трансцендентных чисел включают π и Число Эйлера е.

Вычислимые действительные числа

Настоящее число - это вычислимое число если существует алгоритм, который при натуральном числе п, производит десятичное разложение для числа с точностью до п десятичные разряды. Это понятие было введено Алан Тьюринг в 1936 г.

Вычислимые числа включают алгебраические числа наряду со многими трансцендентными числами, включая π ие. Как и алгебраические числа, вычислимые числа также образуют подполе действительных чисел, а положительные вычислимые числа замкнуты относительно взятия пкорни th для каждого положительногоп.

Не все действительные числа вычислимы. Весь набор вычислимых чисел исчисляем, поэтому большинство действительных чисел не вычислимы. Конкретные примеры невычислимых действительных чисел включают пределы Последовательности Спекера, и алгоритмически случайные действительные числа Такие как Ω числа Чайтина.

Определимость в арифметике

Другое понятие определимости происходит из формальных теорий арифметики, таких как Арифметика Пеано. В язык арифметики имеет символы для 0, 1, операции-преемника, сложения и умножения, предназначенные для интерпретации обычным образом над натуральные числа. Поскольку никакие переменные этого языка не входят в действительные числа, для обращения к действительным числам необходим другой вид определимости. Настоящее число а является определяемый на языке арифметики (или же арифметический ) если это Дедекинда вырезать можно определить как предикат на этом языке; то есть, если существует формула первого порядка φ на языке арифметики с тремя свободными переменными, такими что

{displaystyle forall m, forall n, forall pleft (varphi (n, m, p) iff {frac {(-1) ^ {p} cdot n} {m + 1}}

Здесь м, п, и п диапазон по неотрицательным целым числам.

В язык арифметики второго порядка такой же, как язык первого порядка, за исключением того, что переменным и квантификаторам разрешено использовать наборы натуральных чисел. Действительное число, определимое второго порядка на языке арифметики, называется аналитический.

Каждое вычислимое действительное число является арифметическим, а арифметические числа образуют подполе действительных чисел, как и аналитические числа. Каждое арифметическое число является аналитическим, но не каждое аналитическое число является арифметическим. Поскольку существует только счетное количество аналитических чисел, большинство действительных чисел не являются аналитическими и, следовательно, не являются арифметическими.

Каждое вычислимое число является арифметическим, но не каждое арифметическое число вычислимо. Например, предел последовательности Спекера - это арифметическое число, которое не вычислимо.

Определения арифметических и аналитических вещественных чисел можно разделить на следующие категории: арифметическая иерархия и аналитическая иерархия. В общем, вещественное число вычислимо тогда и только тогда, когда его дедекиндовский разрез находится на уровне ${displaystyle Delta _ {1} ^ {0}}$ арифметической иерархии, один из низших уровней. Точно так же действительные числа с арифметическими дедекиндовыми разрезами образуют самый нижний уровень аналитической иерархии.

Определимость в моделях ZFC

Настоящее число а является определение первого порядка на языке теории множеств, без параметров, если есть формула φ на языке теория множеств, с одним свободная переменная, так что а - уникальное действительное число такое, что φ(а) выполняется (см. Кунен 1980, п. 153). Это понятие нельзя выразить в виде формулы на языке теории множеств.

Все аналитические числа, и в частности все вычислимые числа, могут быть определены на языке теории множеств. Таким образом, действительные числа, определяемые на языке теории множеств, включают в себя все знакомые действительные числа, такие как 0, 1, π, е и так далее, вместе со всеми алгебраическими числами. Предполагая, что они образуют набор в модели, действительные числа могут быть определены на языке теории множеств по конкретной модели ZFC сформировать поле.

Каждый набор модель M теории множеств ZFC, которая содержит несчетное количество действительных чисел, должна содержать действительные числа, которые не могут быть определены в пределах M (без параметров). Это следует из того факта, что существует только счетное число формул, а значит, только счетное число элементов M можно определить по M. Таким образом, если M имеет несчетное количество реальных чисел, мы можем доказать "извне" M что не каждое реальное количество M можно определить по M.

Этот аргумент становится более проблематичным, если его применить к моделям классов ZFC, таким как Вселенная фон Неймана (Хэмкинс 2010 ). Аргумент, который применяется к моделям множества, не может быть напрямую обобщен на модели классов в ZFC, потому что свойство «действительное число» Икс определяется по модели классов N"не может быть выражено в виде формулы ZFC. Точно так же вопрос о том, содержит ли вселенная фон Неймана действительные числа, которые она не может определить, не может быть выражен в виде предложения на языке ZFC. Более того, существуют счетные модели ZFC, в которых все действительные числа числа, все наборы действительных чисел, функции на действительных числах и т. д. могут быть определены (Хэмкинс, Линецкий и Райтц 2013 ).

Смотрите также

внешняя ссылка

Можно ли указать каждое число конечным текстом?

Число системы
Счетные множества	Натуральные числа ( ${displaystyle mathbb {N}}$ ) Целые числа ( ${displaystyle mathbb {Z}}$ ) Рациональное число ( ${displaystyle mathbb {Q}}$ ) Конструируемые числа Алгебраические числа ( ${displaystyle mathbb {A}}$ ) Периоды Вычислимые числа Определимые действительные числа Арифметические числа Гауссовские целые числа
Композиционные алгебры	Алгебры с делением: Действительные числа ( ${displaystyle mathbb {R}}$ ) Сложные числа ( ${displaystyle mathbb {C}}$ ) Кватернионы ( ${displaystyle mathbb {H}}$ ) Октонионы ( ${displaystyle mathbb {O}}$ )
Расколоть типы	над ${displaystyle mathbb {R}}$ : Сплит-комплексные числа Сплит-кватернионы Сплит-октонионы над ${displaystyle mathbb {C}}$ : Бикомплексные числа Бикватернионы Биоктонионы
Другой гиперкомплекс	Двойные числа Двойные кватернионы Двойные комплексные числа Гиперболические кватернионы Седенионы ( ${displaystyle mathbb {S}}$ ) Сплит-бикватернионы Мультикомплексные номера Геометрическая алгебра Алгебра физического пространства Алгебра пространства-времени
Другие типы	Количественные числительные Иррациональные числа Нечеткие числа Гиперреальные числа Поле Леви-Чивита Сюрреалистические числа Трансцендентные числа Порядковые номера п-адический числа (п-адический соленоиды ) Сверхъестественные числа Сверхреальные числа
Классификация Список